黑龙江省哈尔滨市第三中学校2025届高三第四次模拟考试数学试卷

哈三中2025年高三学年第四次模拟考试 数学试卷 考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分． 考试时间为120分钟． 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，，那么是（ ） A. B. C. D. 2. 已知条件，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知随机变量服从标准正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.6 4. 已知是关于的实系数方程的一个根（为虚数单位），则（ ） A. 3 B. 2 C. -2 D. -3 5. 已知的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为81，则其展开式中的系数是（ ） A. 4 B. 8 C. 32 D. 64 6. 直线与圆相交于，两点，当面积最大时，（ ） A. 0 B. C. D. 7. 已知函数为奇函数，则在上的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为的牛顿数列．设，已知，的前项和为，则等于（ ） A. 2025 B. 2026 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，为平面内两个单位向量，且，则下列说法正确的有（ ） A. 在上的投影向量为 B. C. 与可以构成平面内所有向量的一组基底 D. 10. 双曲线的左、右焦点分别为，，下列说法正确的有（ ） A. 若双曲线的两条渐近线互相垂直，则 B. 过作渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线离心率为 C. 若双曲线的焦距为，为双曲线上一点，则到两渐近线距离之积为 D. 若点为该双曲线上的一点，且，则 11. 已知棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，为棱上一点，动点在线段上，动点在正方形内及其边界上，且．记点的轨迹为曲线，则（ ） A. B. 曲线的长度为 C. 存在，，使得平面 D. 当与只有一个公共点时， 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 等比数列的公比为2，若，成等差数列，设为的前项和，则_____． 13. 4位学生被分配到、、三地学习，每地至少分配一名学生，每名学生只能去一个地点学习，其中学生甲必须去地，则共有_____种不同分配方式（用数字作答）． 14. 已知函数，若存在实数、b、，满足且，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知四棱锥，平面，底面是矩形，，，，分别是与的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，． （1）求； （2）若，为线段的中点，请从①；②；③这三个条件中选一个，使得存在，求此时线段的长． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 平面直角坐标系中，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1． （1）求曲线的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线、，直线与曲线交于、两点，直线与曲线交于、两点，求的最小值． 18. 已知． （1）若有两个零点，求的取值范围； （2）若恒成立，求实数的最小值； （3）时，设，判断在上解的个数． 19. 某医院对原有生命维持设备安装升级装置，安装后该升级装置的控制系统由个相同的电子模块组成，每个模块正常工作的概率均为，各模块之间相互独立．控制系统有不少于个模块正常工作时升级装置正常运行，否则升级装置不工作（原设备正常工作）．升级装置正常运行的概率为（例如表示控制系统由5个模块组成时升级装置正常运行的概率）． （1）若每个模块正常工作的概率为0.75． （i）计算； （ii）当时，求控制系统中正常工作的模块个数的分布列和期望； （2）已知设备安装升级装置前单位时间可维持患者生命体征的稳定率为60%，安装后升级装置正常运行时有90%的概率触发“基础模式”，稳定率可提升至90%，有10%的概率触发“高效模式”，稳定率可达95%． （i）用表示安装升级装置后该设备的平均稳定率； （ii）在确保模块总数为奇数的条件下，能否通过增加模块的数量来提高平均稳定率?请说明理由． 哈三中2025年高三学年第四次模拟考试 数学试卷 考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分． 考试时间为120分钟． 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】AC 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 【12题答案】 【答案】62 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）证明如下： 取的中点，连接. 则. 而底面为矩形，是的中点， 所以. 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，而不在平面内， 所以平面. （2） （3） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）一个解 【19题答案】 【答案】（1）（i）； （ii） 0 1 2 3 4 5 （2）（i）， （ii）因为控制系统中模块总数为奇数，若增加2个模块， 则第一类：原系统中至少有个模块正常工作， 其概率为； 第二类：原系统中恰好有个模块正常工作，新增2个模块中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中有个模块正常工作，新增2个模块全部正常工作， 其概率为； 所以 ， 则， 所以当时，，单调递增， 即增加模块个数设备正常工作的概率变大， 当时，， 即增加模块个数设备正常工作的概率没有变大， 又因为安装升级装置后该设备的平均稳定率为，为增函数， 所以当时，设备可以通过增加控制系统中模块的个数来提高平均稳定率； 当时，设备不可以通过增加控制系统中模块的个数来提高平均稳定率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $