精品解析：安徽省宿州市埇桥区教育集团2024-2025学年七年级下学期期中学业质量检测数学试卷

埇桥区教育集团2024—2025学年度第二学期期中学业质量检测 七年级数学试题卷 时间100分钟 满分100分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A. 守株待兔 B. 种豆得豆 C. 水中捞月 D. 水涨船高 2. 古语有云：“水滴石穿”，若水珠不断滴在一块石头上，经过40年，石头上会形成一个深为的小洞．数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（　　） A. 从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率 B. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率 C. 从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 D. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率 6. 整式的乘法计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 8. 二十四节气，基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，如图所示，若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（ ） A. 与互余 B. C 平分 D. 与互补 10. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出的展开式的系规律（按的次数由大到小的顺序）． 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 小兰在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是，但中间项的某一部分不慎被墨汁污染了，则处所对应的数是______（写出一个值即可）． 12. 如图，点P到一条笔直的公路共有四条路径，若要用相同速度从点P走到公路，最快到达的路径是选择沿线段去公路，这一选择用到的数学知识是______ 13. 生活中常见一种折叠拦道闸，若想求解某些特殊状态下的角度，需抽象为几何图形，如图，垂直于地面于A，平行于地面，则______． 14. “头盔是生命之盔”．质检部门对某工厂生产头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n（个） 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m（个） 95 194 289 479 769 959 2880 合格头盔的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.959 0.960 则该工厂每生产一个头盔，合格的概率约为 ______．（结果精确到0.01） 15. 若，则的结果是______． 16. 我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： （1）若，则______； （2）若，则______； 三、解答题（共52分） 17. 计算： （1）． （2） 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，△ABC中，点DBC边上． （1）在AC边上求作点E，使得∠CDE＝∠ABC； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若∠A＝65°，求∠AED的度数． 20. 已知一个不透明的口袋中装有7个除颜色外其他都相同的球，其中3个白球，4个黑球． （1）从中随机取出1个球是白球概率是多少？ （2）若向口袋中再放入5个白球和若干个黑球，从口袋中随机取出1个球是白球的概率是，求需放入多少个黑球． 21. 在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．货车盲区的部分分布图如图所示，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形． （1）用含的代数式表示图中盲区的总面积．（结果需化简） （2）若，求图中盲区的总面积． 22. 现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用、的等式表示出来） 图1表示：______； 图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）若，，则______；______； （3）拓展提升：若满足，求______； （4）问题解决：如图3，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 23. 数学课上，老师出示了这样一道题： 如图1，已知，点分别在上，，．求的度数． 小明：“如图2，通过作平行线，发现，，由已知，可以求出度数．” 小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得，也能求出的度数．” 小华：“如图4，也能求出的度数．” （1）根据他们的解法，______； （2）请在图2，图3，图4中任选一个，求的度数，写出求解过程； （3）老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题”请大家参考这三位同学的方法，解决问题：如图，，点分别在上，平分，，若，请直接写出与的数量关系______；（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 埇桥区教育集团2024—2025学年度第二学期期中学业质量检测 七年级数学试题卷 时间100分钟 满分100分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A. 守株待兔 B. 种豆得豆 C. 水中捞月 D. 水涨船高 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此即可判断求解，掌握必然事件、不可能事件和随机事件的定义是解题的关键． 【详解】解：、守株待兔是随机事件，故符合题意； 、种豆得豆是必然事件，故不符合题意； 、水中捞月是不可能事件，故不符合题意； 、水涨船高是必然事件，故不符合题意； 故选：． 2. 古语有云：“水滴石穿”，若水珠不断滴在一块石头上，经过40年，石头上会形成一个深为的小洞．数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.0000052用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握公式，，是解本题的关键． 【详解】解：A．，不能进行运算，结论错误，不符合题意； B．，结论错误，不符合题意； C．，结论正确，符合题意； D．，结论错误，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先利用平行线的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：D． 5. 小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（　　） A. 从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率 B. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率 C. 从一副去掉大小王扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 D. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率 【答案】A 【解析】 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】A、从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球，摸到红球的概率为≈0.33，故此选项正确； B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误； C、从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率；故此选项错误； D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率不确定，但不一定是0.33，故此选项错误． 故选A． 【点睛】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够分别求得每个选项的概率，然后求解，难度不大． 6. 整式的乘法计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】原式利用完全平方公式、平方差公式及单项式、多项式乘法运算进行判断即可得到结果. 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； D、，故选项正确 故选D. 【点睛】本题考查了整式乘法，熟练掌握完全平方公式，以及平方差公式及单项式、多项式乘法运算是解本题的关键. 7. 图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键． 先利用平行线的性质可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 8. 二十四节气，基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，如图所示，若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键． 【详解】解：从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为， 故选：D． 9. 按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（ ） A. 与互余 B. C. 平分 D. 与互补 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、余角和补角、角平分线的定义，由折叠的性质可得，求出，即可判断A；求出即可判断B；根据即可判断C；根据即可判断D． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴， ∴与互余，故A正确，不符合题意； ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴不平分，故C错误，符合题意； ∵， ∴与互补，故D正确，不符合题意； 故选：C． 10. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出的展开式的系规律（按的次数由大到小的顺序）． 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，首先确定含的项是的展开式中的第二项，再根据杨辉三角可得展开式中的第二项系数为n，据此可得答案． 【详解】解：由图中规律可知： 含的项是的展开式中的第二项， ∵展开式中的第二项系数为1， 展开式中的第二项系数为2， 展开式中的第二项系数为3， 展开式中的第二项系数为4， ……， ∴以此类推，可知展开式中的第二项系数为n， ∴的展开式中的第二项系数为， 故选：D． 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 小兰在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是，但中间项的某一部分不慎被墨汁污染了，则处所对应的数是______（写出一个值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式．根据完全平方公式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴■处所对应的数是或， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，点P到一条笔直的公路共有四条路径，若要用相同速度从点P走到公路，最快到达的路径是选择沿线段去公路，这一选择用到的数学知识是______ 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：∵， ∴根据垂线段最短得出最快到达的路径是选择沿线段去公路， 故答案为：垂线段最短． 【点睛】本题考查垂线段最短，熟知直线外一点与直线上各点连接所有线段中，垂线段最短是解答的关键． 13. 生活中常见一种折叠拦道闸，若想求解某些特殊状态下的角度，需抽象为几何图形，如图，垂直于地面于A，平行于地面，则______． 【答案】##270度 【解析】 【分析】过点B作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论． 本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键． 【详解】解：过点B作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为：． 14. “头盔是生命之盔”．质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n（个） 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m（个） 95 194 289 479 769 959 2880 合格头盔的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.959 0.960 则该工厂每生产一个头盔，合格的概率约为 ______．（结果精确到0.01） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的相关知识是解题的关键．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数时，合格头盔的频率稳定在附近， 所以该工厂每生产一个头盔，合格的概率约为． 故答案为：． 15. 若，则的结果是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法以及幂的乘方．根据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 16. 我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： （1）若，则______； （2）若，则______； 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算及有理数的混合运算，同底数幂的乘法． （1）利用新运算的规定进行运算即可； （2）利用新运算的规定进行运算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）， ， ； 故答案为：9；． 三、解答题（共52分） 17. 计算： （1）． （2） 【答案】（1）2 （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算乘方后计算加减法即可； （2）把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式去小括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： 当，时，原式． 19. 如图，△ABC中，点D在BC边上． （1）在AC边上求作点E，使得∠CDE＝∠ABC； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若∠A＝65°，求∠AED的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，在CD的上方作∠EDC＝∠ABC，DE交AC于点E． （2）利用平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 如图，点E即为所求． 【小问2详解】 ∠A＝65°，由作图可知，DE//AB， 【点睛】本题考查了尺规作图-作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，熟练掌握两同位角相等，两直线平行、两直线平行，同位角相等是解答本题的关键． 20. 已知一个不透明的口袋中装有7个除颜色外其他都相同的球，其中3个白球，4个黑球． （1）从中随机取出1个球是白球的概率是多少？ （2）若向口袋中再放入5个白球和若干个黑球，从口袋中随机取出1个球是白球的概率是，求需放入多少个黑球． 【答案】（1） （2）需放入12个黑球． 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，已知概率求数量： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）设需要放入x个黑球，根据概率计算公式可得方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵袋子中有3个白球，4个黑球，且每个球被取出概率相同， ∴从中随机取出1个球是白球的概率是； 【小问2详解】 解：设需要放入x个黑球， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：需放入12个黑球． 21. 在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．货车盲区的部分分布图如图所示，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形． （1）用含的代数式表示图中盲区的总面积．（结果需化简） （2）若，求图中盲区的总面积． 【答案】（1） （2）20 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法运算与图形面积，求代数式的值，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）盲区面积等于梯形面积加上正方形面积加上两个直角三角形的面积，据此列式计算即可； （2）把整体代入（1）中所求代数式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，盲区的总面积为： ； 【小问2详解】 解：当时，． 22. 现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用、的等式表示出来） 图1表示：______； 图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）若，，则______；______； （3）拓展提升：若满足，求______； （4）问题解决：如图3，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1），；（2）16，12；（3）5；（4）24 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用． （1）图1中由两个长与宽分别为、的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为，的正方形的面积可得；图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （2）根据，，求出的值，然后根据完全平方公式的变形进行计算即可； （3）设，，求得，，根据求解即可； （4），，，，可以利用代入求值即可． 【详解】解：（1）图1中，由图可知， ， 由题意得，， 即， 图2中，由图可知，，， 由题图可知，， 即， 故答案为：；； （2）， ，， ， ∴． 故答案：16；12； （3）设，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：5； （4）由题意得， ， ， ， ， ， ， ∴． 即图中阴影部分的面积为24． 23. 数学课上，老师出示了这样一道题： 如图1，已知，点分别在上，，．求的度数． 小明：“如图2，通过作平行线，发现，，由已知，可以求出的度数．” 小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得，也能求出的度数．” 小华：“如图4，也能求出度数．” （1）根据他们的解法，______； （2）请在图2，图3，图4中任选一个，求的度数，写出求解过程； （3）老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题”请大家参考这三位同学的方法，解决问题：如图，，点分别在上，平分，，若，请直接写出与的数量关系______；（用含的式子表示）． 【答案】（1） （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）图2中，由平行线的性质可得，，由垂线的定义可得，则，据此可得答案；图3中，由平行线的性质可得，，由垂线的定义可得，则，据此可得答案；图4中，由平行线的性质可得，，由垂线的定义可得，则，据此可得答案； （2）同（1）求解即可； （3）设 ，过点作，由平行线的性质可得，，证明，得到，则．进而可得，据此可得答案． 【小问1详解】 解：如图2， ， ，， ∵， ∴， ， ， ， 如图3， ，， ，， ， ， ， ． 如图4， ，， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图2， ， ，， ， ， ， ， 如图3， ，， ，， ， ， ， ． 如图4， ，， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：设 ，过点作， ∴， ， ∴， ， ， ， ． ∵， ， ． 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$