四川省达州市大竹县周家中学2026-2027学年八年级上学期暑假自测数学试题（北师大版七下全部和八上1-3章）

**基本信息** 覆盖北师大版七下全册及八上1-3章，以茶文化（茶杯注水高度）、小区绿化（三角形空地种花）为情境，梯度设计基础题（如无理数判断）与综合题（如旋转全等证明），考查抽象能力、推理意识和模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|无理数、勾股定理、坐标、整式运算|结合坐标系（甲、乙坐标求丙）考查空间观念| |填空题|10题40分|对称点坐标、函数关系、角平分线|以蜡烛燃烧表（剩余长度与时间）考查模型意识| |解答题|8题78分|勾股定理应用、全等证明、函数图像|17题（小区空地AD、DE长度计算）体现生活应用，26题（旋转全等综合）考查推理能力|

四川省达州市大竹县周家中学2026-2027学年八年级上学期暑假自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 内容:北师大版七下全册和八上第1-3章 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列数中，是无理数的是（　　） A． B．3 C．π D．4.1 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到斜边AB的距离是（　　） A． B． C．9 D．6 3．如图，在某平面直角坐标系内，已知甲的坐标为（2，2），乙的坐标为（﹣1，﹣2），则丙的坐标为（　　） A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（3，1） D．（3，﹣1） 4．下列运算正确的是（　　） A．（a2+ab2）÷a＝a+b B．3y•2x2y＝6x2y2 C．（﹣3x）2＝6x2 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2 5．在一个不透明的袋子里装有20个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同将袋子中的球搅拌均匀，每次从袋子里随机摸出一个球，记录下它的颜色后再放回袋子中，不断重复这一过程，发现摸到蓝球的频率稳定在0.6左右，请你估计袋子中装有蓝球的个数是（　　） A．12个 B．20个 C．30个 D．35个 6．将等腰直角三角板与直尺按如图方式叠放一起，若∠1＝25°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 7．如图所示，在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE．欲证△ABD≌△ACE，必须补充的条件是（　　） A．∠B＝∠C B．∠D＝∠E C．∠BAC＝∠DAE D．∠CAD＝∠DAE 8．茶文化是中国对茶认识的一种具体表现，其内涵与茶具设计之间存在着密不可分的联系，如图，是一款上下细中间粗的茶杯，向该茶杯中匀速注水，下列图象中能大致反映茶杯中水面的高度与注水时间关系是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．点P（2，﹣5）关于y轴的对称点的坐标是________. 10．已知x，y都是实数，0，则x+y的值为 　　 ． 11．如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形．若右边的直角三角形ABC中，AC＝17，BC＝15，则阴影部分的面积是 　　 ． 12．一支原长为20cm的蜡烛，点燃后，其剩余长度与燃烧时间的关系如表： 烧烧时间/分 10 20 30 40 50 剩余长度/cm 19 18 17 16 15 当这支蜡烛的剩余长度为10cm时，这支蜡烛燃烧了 　　 分钟． 13．如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝27°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 　　 ． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．（1）计算：； （2）计算：（）﹣2+|π﹣3|+（﹣5）0+（﹣1）2028； （3）先化简，再求值：（x+y+z）（x+y﹣z）[（x+y）2﹣（x﹣y）2]，其中x＝1，y＝2，z＝3． 15．如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）作出三角形ABC关于直线MN的轴对称图形三角形A1B1C1； （2）求三角形A1B1C1的面积； （3）在直线MN上找一点P使得三角形BAC的面积等于三角形PAC的面积． 16．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线与线段BA延长线交于点F，点E在线段CF上，且∠AEF+∠FCD＝180°． （1）求证：AE∥BC； （2）若∠B＝28°，∠ACF＝62°，求∠BAC的度数． 17．如图，小区有一块三角形空地ABC，为响应中山市创建全国文明典范城市的号召，小区计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路AD、DE隔开，DE⊥AB．经测量，AB＝15米，AC＝13米，AD＝12米，DC＝5米． （1）求BD的长； （2）求小路DE的长． 18．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝110°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝55°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝8，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．一个正数的平方根是m﹣2和2m﹣1，则这个正数是 　　 ． 20．若代数式4x2﹣2kx+9是完全平方式，则常数k的值为 　　 ． 21．平面直角坐标系中，若点P（a，2a﹣1）在第四象限，则a的取值范围是______． 22．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD为等腰三角形，AD＝AB＝BC，E为DB延长线上一点，∠BAD＝2∠CAE．若AE＝a，BE＝b，CE＝c．则△ABC的面积为 　　 ．（用含a，b，c的式子表示） 23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则△B′FC的面积为 　　 ， 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．（1）若m+n＝3，m2+n2＝25，求mn的值； （2）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD与AB上的点，以AE、AF为边在正方形内部作面积为8的长方形AFGE，再分别以FG、EG为边作正方形FGPH和正方形GRQE．若图中阴影部分的面积为20，求长方形AFGE的周长． 25．（某工厂车间内甲乙两人需要完成相同数量的产品包装工作．他们同时开始工作，1小时后甲离开车间一段时间后又返回车间继续工作，两人恰好同时完工．在包装过程中两人工效始终不变，且甲的工效为乙的两倍．设乙的加工时间为x（时），甲包装的产品数量为y1（个），乙包装的产品数量为y2（个），其图象如图所示： （1）求y2与x之间的关系式； （2）求m，n的值； （3）当x为何值时，甲包装的产品数量比乙包装的产品数量少20个？ 26．（（1）问题发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，当△DCA旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD，则 ①线段AD、BE之间的数量关系是________； ②∠BEC＝　　 ； （2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度； （3）探究发现：如图3，点P为等边三角形ABC内一点，且∠BPC＝150°，∠DPB＝30°，BP＝6，CP＝4，DP＝8，求AD的长． 参考答案 四川省达州市大竹县周家中学2026-2027学年八年级上学期暑假自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 内容:北师大版七下全册和八上第1-3章 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列数中，是无理数的是（　　） A． B．3 C．π D．4.1 【解答】解：，3，π，4.1中，是无理数的是π； 故选：C． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到斜边AB的距离是（　　） A． B． C．9 D．6 【解答】解：设点C到斜边AB的距离是h， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12， ∴AB15， ∴h． 故选：A． 3．如图，在某平面直角坐标系内，已知甲的坐标为（2，2），乙的坐标为（﹣1，﹣2），则丙的坐标为（　　） A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（3，1） D．（3，﹣1） 【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系： 丙的坐标是（3，﹣1）． 故选：D． 4．下列运算正确的是（　　） A．（a2+ab2）÷a＝a+b B．3y•2x2y＝6x2y2 C．（﹣3x）2＝6x2 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2 【解答】解：（a2+ab2）÷a＝a+b2，故A错误，不符合题意； 3y•2x2y＝6x2y2，故B正确，符合题意； （﹣3x）2＝9x2，故C错误，不符合题意； （x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2，故D错误，不符合题意； 故选：B． 5．在一个不透明的袋子里装有20个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同将袋子中的球搅拌均匀，每次从袋子里随机摸出一个球，记录下它的颜色后再放回袋子中，不断重复这一过程，发现摸到蓝球的频率稳定在0.6左右，请你估计袋子中装有蓝球的个数是（　　） A．12个 B．20个 C．30个 D．35个 【解答】解：设袋中蓝球有x个，根据题意得： 0.6， 解得：x＝30， 经检验：x＝30是分式方程的解， 故袋中蓝球有30个． 故选：C． 6．将等腰直角三角板与直尺按如图方式叠放一起，若∠1＝25°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 【解答】解：如图， 由题意可知，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∵∠1＝25°， ∴∠ACE＝∠ACB﹣∠1＝20°， 由题意可知，AD∥CE， ∴∠2＝∠ACE＝20°． 故选：A． 7．如图所示，在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE．欲证△ABD≌△ACE，必须补充的条件是（　　） A．∠B＝∠C B．∠D＝∠E C．∠BAC＝∠DAE D．∠CAD＝∠DAE 【解答】解：补充∠EAD＝∠BAC， ∵∠EAD＝∠BAC， ∴∠EAD+∠DAC＝∠BAC+∠DAC， 即∠EAC＝∠DAB， 在△AEC和△ADB中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． 故选：C． 8．茶文化是中国对茶认识的一种具体表现，其内涵与茶具设计之间存在着密不可分的联系，如图，是一款上下细中间粗的茶杯，向该茶杯中匀速注水，下列图象中能大致反映茶杯中水面的高度与注水时间关系是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵茶杯上下细中间粗， ∴水面高度在茶杯中间位置上升速度较慢，A选项符合题意， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．点P（2，﹣5）关于y轴的对称点的坐标是__（﹣2，﹣5）_______. 【解答】解：点P（2，﹣5）关于y轴的对称点的坐标是：（﹣2，﹣5）． 故答案为：（﹣2，﹣5）． 10．已知x，y都是实数，0，则x+y的值为 　﹣1　 ． 【解答】解：根据题意，得： x+3＝0，y﹣2＝0， 解得x＝﹣3，y＝2， 所以x+y＝﹣3+2＝﹣1， 即x+y的值是﹣1． 故答案为：﹣1． 11．如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形．若右边的直角三角形ABC中，AC＝17，BC＝15，则阴影部分的面积是 　64　 ． 【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2﹣BC2＝172﹣152＝64， ∵四边形ABFD为正方形， ∴DF＝AB， ∴阴影部分的面积＝DE2+EF2＝DF2＝64， 故答案为：64． 12．一支原长为20cm的蜡烛，点燃后，其剩余长度与燃烧时间的关系如表： 烧烧时间/分 10 20 30 40 50 剩余长度/cm 19 18 17 16 15 当这支蜡烛的剩余长度为10cm时，这支蜡烛燃烧了 　100　 分钟． 【解答】解：设燃烧x分钟时该蜡烛的剩余长度为ycm， 由题意得该蜡烛每燃烧10分钟剩余长度减少1cm， ∴yx+20， ∴当y＝10时， x+20＝10， 解得x＝100， 故答案为：100． 13．如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝27°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 　61°　 ． 【解答】解：∵∠C＝27°，∠B＝65°， ∴∠CAB＝180°﹣65°﹣27°＝88°， 由作图可知，MN垂直平分线段AC， ∴DA＝CD， ∴∠DAC＝∠C＝27°， ∴∠BAD＝∠CAB﹣∠DAC＝88°﹣27°＝61°， 故答案为：61°． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．（1）计算：； （2）计算：（）﹣2+|π﹣3|+（﹣5）0+（﹣1）2028； （3）先化简，再求值：（x+y+z）（x+y﹣z）[（x+y）2﹣（x﹣y）2]，其中x＝1，y＝2，z＝3． 【解答】解：（1）原式＝41+4﹣2＝21+4﹣2＝3； （2）（）﹣2+|π﹣3|+（﹣5）0+（﹣1）2028＝4+π﹣3+1+1＝3+π； （3）（x+y+z）（x+y﹣z）[（x+y）2﹣（x﹣y）2] ＝（x+y）2﹣z2（x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2） ＝x2+2xy+y2﹣z2•4xy ＝x2+2xy+y2﹣z2﹣2xy ＝x2+y2﹣z2， 当x＝1，y＝2，z＝3时，原式＝12+22﹣32 ＝1+4﹣9 ＝﹣4． 15．如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）作出三角形ABC关于直线MN的轴对称图形三角形A1B1C1； （2）求三角形A1B1C1的面积； （3）在直线MN上找一点P使得三角形BAC的面积等于三角形PAC的面积． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）△A1B1C1的面积＝2×31×31×12×2＝2； （3）如图，点P，点P′即为所求． 16．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线与线段BA延长线交于点F，点E在线段CF上，且∠AEF+∠FCD＝180°． （1）求证：AE∥BC； （2）若∠B＝28°，∠ACF＝62°，求∠BAC的度数． 【解答】（1）证明：∵∠AEF+∠AEC＝180°，∠AEF+∠FCD＝180°， ∴∠AEC＝∠FCD， ∴AE∥BC； （2）解：∵CF是∠ACD的平分线，∠ACF＝62°，∠B＝28°， ∴∠ACD＝2∠ACF＝124°， ∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝124°﹣28°＝96°． 17．如图，小区有一块三角形空地ABC，为响应中山市创建全国文明典范城市的号召，小区计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路AD、DE隔开，DE⊥AB．经测量，AB＝15米，AC＝13米，AD＝12米，DC＝5米． （1）求BD的长； （2）求小路DE的长． 【解答】解：（1）∵AC＝13米，AD＝12米，DC＝5米， ∴AC2＝169，AD2+CD2＝144+25＝169， ∴AC2＝AD2+CD2， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADB＝90°． ∴BD9（米）． （2）∵S△ABDAD•BDAB•DE， ∴AD•BD＝AB•DE， ∴12×9＝15DE， ∴DE（米）． 18．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝110°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝55°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝8，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 【解答】（1）解：∵EF⊥AB， ∴∠F＝90°， ∵∠AEF＝55°， ∴∠BAE＝∠F+∠AEF＝90°+55°＝145°， ∵∠BAE＝∠BAD+∠CAD，∠BAD＝110°， ∴∠CAD＝∠BAE﹣∠BAD＝145°﹣110°＝35°， （2）证明：过点E作EG⊥AD交AD于点G，EH⊥BC交BC于点H， ∵∠F＝90°，∠AEF＝55°， ∴∠EAF＝90°﹣55°＝35°， 由（1）可知，∠EAF＝∠CAD＝35°， ∴AE平分∠FAD， ∵EF⊥AF，EG⊥AD， ∴EF＝EG， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC， ∴EF＝EH， ∴EG＝EH， ∵EG⊥AD，EH⊥BC， ∴DE平分∠ADC； （3）解：∵S△ACD＝15， ∴S△ADE+S△CDE＝15， ∴， ∵AD＝4，CD＝8，EG＝EH， ∴， ∴， ∴， ∵AB＝8， ∴． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．一个正数的平方根是m﹣2和2m﹣1，则这个正数是 　1　 ． 【解答】解：当m﹣2与2m﹣1不相等时，即m﹣2+2m﹣1＝0， 解得m＝1， 所以m﹣2＝﹣1，2m﹣1＝1， 这时这个正数为（±1）2＝1； 因此这个正数为1或9， 故答案为：1． 20．若代数式4x2﹣2kx+9是完全平方式，则常数k的值为 　±6　 ． 【解答】解：∵代数式4x2﹣2kx+9是一个完全平方式， ∴±2×2x×3＝﹣2kx， ∴k＝±6， 故答案为：±6． 21．平面直角坐标系中，若点P（a，2a﹣1）在第四象限，则a的取值范围是 　　 ． 【解答】解：∵点P（a，2a﹣1）在第四象限， ∴ 解得：， 故答案为：． 22．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD为等腰三角形，AD＝AB＝BC，E为DB延长线上一点，∠BAD＝2∠CAE．若AE＝a，BE＝b，CE＝c．则△ABC的面积为 　　 ．（用含a，b，c的式子表示） 【解答】解：如图，分别过点A，C作AF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． ∴∠AFB＝∠ABC＝∠CGB＝90°， 又∵AD＝AB＝BC，∠BAD＝2∠CAE， ∴∠BAC＝∠ACB＝45°，， ∵∠ABC＝90°，AF⊥DE， ∴∠FAB+∠FBA＝∠FBA+∠CBG＝90°， ∴∠FAB＝∠CBG＝∠CAE， 在△BAF和△CBG中， ， ∴△BAF≌△CBG（AAS）， ∴AF＝BG，BF＝CG， ∵∠CBG＝∠CAE，∠CBG+∠BOE+∠AEF＝∠CAE+∠ACB+∠AOC＝180°，∠BOE＝∠AOC， ∴∠AEF＝∠ACB＝45°， ∴∠AEF＝∠FAE＝45°， ∴AF＝EF＝BG，BF＝CG， ∴BF＝EG＝CG， ∴∠CEG＝∠AEF＝45°， ∴∠AEC＝90°， ∴CG＝BF＝EF﹣BE＝AF﹣BE， ∵S△ABC＝S△AEB+S△AEC﹣S△BEC， ∴S△ABCBE•AFAE•ECBE•CGBE•AFacBE•（AF﹣BE）（ac+b2）． 故答案为：． 23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则△B′FC的面积为 　　 ， 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16， ∴BA＝20， ∵将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处， ∴∠AEC＝∠CED，∠ACE＝∠DCE， ∵∠AED＝180°， ∴∠CED＝90°，即CE⊥AB， ∵S△ABCAB×ECAC×BC， ∴EC， 在Rt△ACE中，AE， ∴BE＝20， ∵将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处， ∴△BCF≌△B'CF，BF＝B'F，∠BCF＝∠B'CF， ∴S△BCF＝S△B'CF， ∵∠BCF+∠B'CF+∠ACE+∠DCE＝∠ACB＝90°， ∴∠ECF＝45°，且CE⊥AB ∴∠EFC＝∠ECF＝45° ∴CE＝EF， ∴BF， ∴S△BCF， ∴S△BCF＝S△B'CF， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．（1）若m+n＝3，m2+n2＝25，求mn的值； （2）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD与AB上的点，以AE、AF为边在正方形内部作面积为8的长方形AFGE，再分别以FG、EG为边作正方形FGPH和正方形GRQE．若图中阴影部分的面积为20，求长方形AFGE的周长． 【解答】解：（1）因为（m+n）2＝m2+2mn+n2， 所以mn． 又m+n＝3，m2+n2＝25， 所以mn． 即mn的值为﹣8． （2）设长方形AFGE的长和宽为分别为x和y， 根据题意得， 所以（x+y）2 ＝x2+2xy+y2 ＝20+2×8 ＝36， 则x+y＝6， 故2（x+y）＝12． 25．（某工厂车间内甲乙两人需要完成相同数量的产品包装工作．他们同时开始工作，1小时后甲离开车间一段时间后又返回车间继续工作，两人恰好同时完工．在包装过程中两人工效始终不变，且甲的工效为乙的两倍．设乙的加工时间为x（时），甲包装的产品数量为y1（个），乙包装的产品数量为y2（个），其图象如图所示： （1）求y2与x之间的关系式； （2）求m，n的值； （3）当x为何值时，甲包装的产品数量比乙包装的产品数量少20个？ 【解答】解：（1）根据图象可知，乙的工作效率为200÷5＝40（个/时）， ∴y2与x之间的关系式为y2＝40x； （2）∵甲的工效为乙的两倍， ∴甲的工作效率为2×40＝80（个/时）， ∴m＝80×1＝80， ∵1.5， ∴n＝5﹣1.5＝3.5； （3）由图象和题意可知，A（2，80）， ①甲离开时， 根据题意得：40x﹣80＝20， 解得x＝2.5； ②甲返回车间继续工作后， 根据题意40x﹣[80（x﹣3.5）+80]＝20， 解得x＝4.5， 综上，当x＝2.5或4.5时，甲包装的产品数量比乙包装的产品数量少20个． 26．（（1）问题发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，当△DCA旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD，则 ①线段AD、BE之间的数量关系是 AD＝BE ； ②∠BEC＝　120°　 ； （2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度； （3）探究发现：如图3，点P为等边三角形ABC内一点，且∠BPC＝150°，∠DPB＝30°，BP＝6，CP＝4，DP＝8，求AD的长． 【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°． ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）． ∴AD＝BE； 故答案为：AD＝BE； ②由①得：△ACD≌△BCE， ∴∠ADC＝∠BEC． ∵△DCE为等边三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝60°． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC＝120°． ∴∠BEC＝120°． 故答案为：120°； （2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°． ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）． ∴AD＝BE＝AE﹣DE＝15﹣7＝8，∠ADC＝∠BEC， ∵△DCE为等腰直角三角形 ∴∠CDE＝∠CED＝45°． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC＝135°． ∴∠BEC＝135°． ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°． ∴AB17； （3）把△BPC绕点C逆时针旋转60°得△AEC，连接PE，如图所示： 则△AEC≌△BPC， ∴CE＝CP，∠PCE＝60°，AE＝BP＝6，∠AEC＝∠BPC＝150°， ∴△PCE是等边三角形， ∴∠EPC＝∠PEC＝60°，PE＝CP＝4， ∴∠AED＝∠AEC﹣∠PEC＝90°， ∵∠BPD＝30°， ∴∠DPC＝150°﹣30°＝120°， 又∵∠DPE＝∠DPC+∠EPC＝120°+60°＝180°， 即D、P、E在同一条直线上， ∴DE＝DP+PE＝8+4＝12， 在Rt△ADE中，AD6， 即AD的长为6． 学科网（北京）股份有限公司 $