精品解析：浙江省嘉兴市南湖区2024-2025学年八年级下学期数学期中试卷

2024学年第二学期八年级数学期中考试 试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷I、卷II的相应位置上，做在试题卷上无效． 卷I（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 要使二次根式有意义，则x不能取的值是( ) A. －1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，即可得解． 【详解】解：由题意，得 2-x≥0， 解得：x≤2， ∴x不能取的值是3， 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数是解题的关键． 2. 下列汽车图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是把一个图形绕着某一个点（即对称中心）旋转后，能够与原图形完全重合，解题的关键是寻找对称中心．利用中心对称图形的识别方法分别判断各选项即可． 【详解】解：A选项中图形找不到一个点，使图形旋转后能够与原图形完全重合，该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B选项中图形找不到一个点，使图形旋转后能够与原图形完全重合，该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C选项中图形可以找到一个点，使图形旋转后能够与原图形完全重合，该图形是中心对称图形，故本选项符合题意； D选项中图形找不到一个点，使图形旋转后能够与原图形完全重合，该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法，熟练掌握反证法是解题的关键．根据反证法先假设结论的反面成立，进行判断即可． 【详解】解：由题意得，应先假设； 故选：D． 4. 已知某三角形的两边长恰是一元二次方程的两根，则该三角形第三边长可能是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，先利用因式分解法求出方程的解，设第三边为x，根据三角形的三边关系定理得出，再逐个判断即可． 【详解】解： ， 解得：， 则三角形的两边长分别为：2，8， 设第三边为x，则由三角形的三边关系定理得：， 即， 只有8符合题意， 故选：C． 5. 在22，24，27，21，22，25，22，26这一组数据中插入一个任意数，则一定不会改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数的概念，根据众数的定义即可得出答案． 【详解】解：∵22出现了3次，其他数字都只出现了一次， ∴这组数据的众数是22， ∴在这组数据中插入一个任意数都不会改变22是众数． 故选：C． 6. 估计的值应在（ ） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 5到6之间 D. 到之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、无理数的大小估算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．首先计算原式，根据，可得，根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：A． 7. 若以，，三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，判断点坐在象限，先根据，，三点画出图形，再根据平行四边形的性质分情况讨论得出第四个顶点所在象限即可得出答案． 【详解】解：连接、、， 以、为邻边作平行四边形， 则点D在第三象限； 以、为邻边作平行四边形， 则点，在第一象限； 以、为邻边作平行四边形， 则点在第二象限， 综上所述，第四个顶点不可能在第四象限， 故选：D． 8. 如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案． 【详解】解：过点D作交的延长线于点F， ∵的垂线交于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理可得，， ， ∴， ∴ ∴ 即，解得， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是， 故选：C 9. 古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解，在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图1，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根，若关于x的一元二次方程，按照图1，构造图2，在中，，连接，若，则m的值为（ ） A. 8 B. 5 C. 2.5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，一元二次方程等．根据题意可得的长，继而表示出，再利用面积比列出方程解出即可． 【详解】解：∵， 由题意知：，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：或， 根据题意， ∴， 经检验，是原方程的解； 故选：C． 卷II（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 10. 若二次根式的值为9，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据题意列出，进而可得，求平方根，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 11. 已知一组数据1，2，3，4，5，将这组数据的每个数都减去20得到一组新的数据，这组新数据的方差是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一组数据的方差；由新数据是将这组数据中的每一个数都减去20所得知新数据与原数据的波动幅度不变，据此求解可得答案． 【详解】解：数据1，2，3，4，5的平均数为， 方差为 ∵新数据是将这组数据中的每一个数都减去20所得， ∴新数据与原数据的波动幅度不变， ∴将这组数据的每个数都减去20得到一组新的数据，这组新数据的方差是2． 故答案为：2． 12. 某款羽绒服原售价为元，由于换季，连续两次降价处理，现按元的售价销售．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每次降价的百分率为，利用经过两次降价后的售价=原售价每次降价的百分率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 根据题意得：， 解得： (不符合题意，舍去)， ∴每次降价的百分率为． 故答案为：． 13. 如图，在中，过点作，垂足为，过点作，垂足为．若，，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，由平行四边形的性质推出，根据等面积法，由的面积即可求出的长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， ，，， ， ． 故答案为：． 14. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有__________(填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了“倍根方程”的概念，根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． ①根据倍根方程定义即可得到方程是倍根方程；②解方程求得方程的根，然后根据倍根方程的定义得到或即或，则；③根据已知条件得到，解方程得到方程的根即可判断；④利用“倍根方程”的根与系数的关系判断即可． 【详解】解：①， ， 解得：， 方程是倍根方程； 故①正确； ②解方程， 解得： 是倍根方程， 或即或， ，， ， 故②不正确； ③， 解方程得： ， 故③正确； ④设方程的根为， 关于的方程是倍根方程， 令， ；故④正确． 故答案为：①③④． 15. 如图，在中，，，，点为的中点，点为上任意一点，连结并将线段绕点逆时针旋转得线段，当点落在各边所在直线上时，的长度为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】过点作于点，先求出根据点为的中点得，依题意有以下三种情况：①当点落在直线上时，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形，进而得，，再求出得，据地可得出的长；②当点落在直线上时，过点作于点，的延长线交的延长线于点，过点作于点，则四边形是矩形，设，则， ，证明和全等得，进而得，然后在中，根据得，建立方程，解出即可得出的长；③当点落在直线上时，过点作于点，过作，交延长线于点，则四边形是矩形，进而得同①证明和全等得，由①可知，然后根据即可得出的长，综上所述即可得出答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示：   四边形是平行四边形，，，， ，，，，， 在中，， ， 点为的中点， ， 点为上任意一点， 当点落在各边所在直线上时，有以下三种情况： ①当点落在直线上时，过点作，交的延长线于点，如图所示： ， ， 由旋转的性质得：，， ， 四边形是矩形， ， 根据平行线间的距离相等得： 在中， ， ； ②当点落在直线上时，过点作于点，的延长线交的延长线于点，过点作于点，如图所示： 同①证明：四边形是矩形， ， 设， 在中，， ， ， ， ， ， 在和中， ， 在中，， ， ③当点落在直线上时，过点作于点，过点作，交延长线于点，如图所示： 同①证明：四边形是矩形， ，， 同②证明：， 由①可知：， 综上所述的长为：或或． 故答案为：或或． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，图形的旋转变换及其性质，熟练掌握平行四边形的性质，图形的旋转变换及其性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分） 16. 小南和小湖两位同学解方程的过程如下框： 小南： 移项，得 提取公因式得 则，或， 解得，． 小湖： 两边同除以，得 则． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在相应框内打“√；若错误请在相应框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】均不对，，． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程利用因式分解法求解即可． 【详解】解：均不对， ∵， ∴， 则， ∴或， 解得：，． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘法运算，然后合并同类二次根式即可； （2）先分母有理化，再进行二次根式乘法运算，然后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，平行四边形中，，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（要求：①不写作法，②保留作图痕迹，③说明作图结果．）： （1）在图1中，作出的角平分线； （2）在图2中，作出的角平分线． 【答案】（1） 如图1所示：即为的平分线； （2） 如图2所示，为的角平分线； 【解析】 【分析】(1)作射线，由得到，由得，则，即平分； (2)连接交于点，作射线，由平行四边形的性质与判定、等腰三角形的性质可知为的角平分线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是作图-基本作图、平行四边形的性质与判定、等腰三角形的性质，熟知平行四边形及等腰三角形的性质是解答此题的关键． 19. 已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． （1）求这个多边形的边数． （2）若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】（1）5 （2）或或 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为是解决问题的关键． （1）根据多边形的内角和公式、外角和是列方程求解即可； （2）由题意分情况讨论，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【小问1详解】 解：设这个多边形的边数是， 由题意得：， 解得， 答：这个多边形的边数是； 【小问2详解】 解：截去一个角以后，多边形的边数可能减少了，也可能不变，或者增加了． 截完后所形成的新多边形的边数可能是或或， ①当多边形为四边形时，其内角和为； ②当多边形为五边形时，其内角和为； ③当多边形为六边形时，其内角和为； 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 20. 已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）等腰三角形，理由： ∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形． （2）直角三角形，理由： ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）把是一元二次方程，得出，，即可得出三角形的形状； （2）根据方程有两个相等的实数根，得出，即可得出，说明三角形为直角三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的判定，勾股定理逆定理的应用，根据一元二次方程根的情况，得出a、b、c之间的关系，是解题的关键． 21. 某地政府为了旅游宣传，决定从甲、乙两家民宿中推选一家为“最美民宿”进行线上推广．现从两家的顾客中各随机抽取名进行满意度调查打分（满分分，只打整数分），并对分数进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． （I）甲民宿名顾客的满意度分数为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； （II）乙民宿名顾客的满意度分数条形统计图如下图所示： 乙民宿抽取的顾客满意度分数条形统计图 甲、乙民宿满意度分数统计表 民宿 平均分 众数 中位数 分及分以上人数所占百分比 甲 乙 （III）甲、乙两家民宿的满意度分数的平均数、众数、中位数、分及分以上人数所占百分比如上表所示． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求出上述表中的的值； （2）春节假期期间，共有人入住甲民宿，人入住乙民宿，估计入住两家民宿的顾客能打分及分以上的人数共有多少人？ （3）根据以上表中信息，你会选择哪一家为“最美民宿”？用尽可能多的统计量说明理由． 【答案】（1），， （2）人 （3） 甲民宿，理由如下： 甲民宿顾客满意度分数的平均数、众数和9分及9分以上人数所占百分比都比乙的要大，因此选择甲民宿． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，加权平均数、中位数、众数以及样本估计总体，掌握加权平均数、中位数、众数的计算方法是解决问题的关键． （1）根据平均数和中位数的定义进行计算即可； （2）根据甲民宿、乙民宿的顾客打9分及9分以上的人数所占的百分比估计总体中入住甲民宿、乙民宿的顾客打9分及9分以上的人数； （3）根据平均数、众数和9分及9分以上的人数所占的百分比的大小比较得出答案． 【小问1详解】 解：甲民宿9分及9分以上人数所占百分比 乙民宿的平均分（分）， 将样本中20名顾客对乙民宿满意度分数从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为 ∴ 【小问2详解】 （人）， 答：估计入住两家民宿的顾客能打9分及9分以上的人数共有100人； 【小问3详解】 略 22. 草莓销售问题 素材1 草莓是一种具有丰富营养和独特风味的水果，被誉为“水果皇后”．近期，“农夫”草莓园的草莓已成熟，，可以进行采摘销售．销售渠道除了直接销售到城区外，还可以让市民去草莓园区内采摘购买． 素材2 今年4月第三周，该草莓园在城区和园区内的销售价格分别是元/千克和元/千克，一共销售了千克，销售总收入为元． 素材3 为了促进销量，进而增加销售收入，该草莓园决定4月第四周将城区每千克售价降低元，园区内每千克售价打9折，预计城区和园区内的销量将分别比第三周增加和． 问题解决 任务1 该草莓园今年4月第三周城区和园区内分别销售了多少千克草莓？ 任务2 若该草莓园今年4月第四周销售总额为元，请你用含的代数式表示． 任务3 若预计该草莓园今年4月第四周销售收入为元，求的值． 【答案】任务1：该草苺园今年4月第三周城区销千克，园区内销售千克；任务2：；任务3： 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用和一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． 任务1：设今年四月份第三周城区销售千克，园区内销售千克，根据等量关系：一共销售了千克，销售总收入为元，列出方程求解即可； 任务2：根据销售总额城区销售收入园区销售收入，可得函数关系式； 任务3：根据任务2，求得的函数表达式列出方程求解即可． 【详解】任务1：设今年四月份第三周城区销售千克，园区内销售千克，根据题意得： ， 解得， 答：今年四月份第三周城区销售600千克，园区内销售400千克； 任务2：， ； 任务3：根据题意得：， 整理得：， ，（不符合题意，舍去）．． ∴的值为3． 23. （1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点，使得．连结，求证：四边形是平行四边形． （2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点（不与点、点重合），过点、点分别作， ，连结，，求证：四边形是平行四边形． （3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点是的中点，点是直线上的动点，且，，当取得最小值时，求线段的长度． 【答案】 （1）证明：是的中线， ， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：延长到点，使，连接，如图2， ， 是的中线， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形； （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，倍长中线构造全等三角形及运用等面积法是解题的关键． （1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明； （2）延长到点，使，连接，利用证明，得，，可说明四边形是平行四边形，得，即可证明结论； （3）延长到点，使，连接，由（2）知，，，则取最小值时，最小，故时，最小，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长到点，使，连接，如图3， 由（2）知，，， 则取最小值时，最小，故时，最小， 是的中线， ， ， 在中， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期八年级数学期中考试 试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷I、卷II的相应位置上，做在试题卷上无效． 卷I（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 要使二次根式有意义，则x不能取的值是( ) A. －1 B. 2 C. 3 D. 2. 下列汽车图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（ ） A. B. C. D. 4. 已知某三角形的两边长恰是一元二次方程的两根，则该三角形第三边长可能是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 在22，24，27，21，22，25，22，26这一组数据中插入一个任意数，则一定不会改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6. 估计的值应在（ ） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 5到6之间 D. 到之间 7. 若以，，三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 9. 古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解，在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图1，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根，若关于x的一元二次方程，按照图1，构造图2，在中，，连接，若，则m的值为（ ） A. 8 B. 5 C. 2.5 D. 卷II（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 10. 若二次根式的值为9，则的值为__________． 11. 已知一组数据1，2，3，4，5，将这组数据的每个数都减去20得到一组新的数据，这组新数据的方差是__________． 12. 某款羽绒服原售价为元，由于换季，连续两次降价处理，现按元的售价销售．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为__________． 13. 如图，在中，过点作，垂足为，过点作，垂足为．若，，，则的长为__________． 14. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有__________(填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有． 15. 如图，在中，，，，点为的中点，点为上任意一点，连结并将线段绕点逆时针旋转得线段，当点落在各边所在直线上时，的长度为__________． 三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分） 16. 小南和小湖两位同学解方程的过程如下框： 小南： 移项，得 提取公因式得 则，或， 解得，． 小湖： 两边同除以，得 则． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在相应框内打“√；若错误请在相应框内打“×”，并写出你的解答过程． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，平行四边形中，，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（要求：①不写作法，②保留作图痕迹，③说明作图结果．）： （1）在图1中，作出的角平分线； （2）在图2中，作出的角平分线． 19. 已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． （1）求这个多边形的边数． （2）若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 20. 已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 21. 某地政府为了旅游宣传，决定从甲、乙两家民宿中推选一家为“最美民宿”进行线上推广．现从两家的顾客中各随机抽取名进行满意度调查打分（满分分，只打整数分），并对分数进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． （I）甲民宿名顾客的满意度分数为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； （II）乙民宿名顾客的满意度分数条形统计图如下图所示： 乙民宿抽取的顾客满意度分数条形统计图 甲、乙民宿满意度分数统计表 民宿 平均分 众数 中位数 分及分以上人数所占百分比 甲 乙 （III）甲、乙两家民宿的满意度分数的平均数、众数、中位数、分及分以上人数所占百分比如上表所示． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求出上述表中的的值； （2）春节假期期间，共有人入住甲民宿，人入住乙民宿，估计入住两家民宿的顾客能打分及分以上的人数共有多少人？ （3）根据以上表中信息，你会选择哪一家为“最美民宿”？用尽可能多的统计量说明理由． 22. 草莓销售问题 素材1 草莓是一种具有丰富营养和独特风味的水果，被誉为“水果皇后”．近期，“农夫”草莓园的草莓已成熟，，可以进行采摘销售．销售渠道除了直接销售到城区外，还可以让市民去草莓园区内采摘购买． 素材2 今年4月第三周，该草莓园在城区和园区内的销售价格分别是元/千克和元/千克，一共销售了千克，销售总收入为元． 素材3 为了促进销量，进而增加销售收入，该草莓园决定4月第四周将城区每千克售价降低元，园区内每千克售价打9折，预计城区和园区内的销量将分别比第三周增加和． 问题解决 任务1 该草莓园今年4月第三周城区和园区内分别销售了多少千克草莓？ 任务2 若该草莓园今年4月第四周销售总额为元，请你用含的代数式表示． 任务3 若预计该草莓园今年4月第四周销售收入为元，求的值． 23. （1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点，使得．连结，求证：四边形是平行四边形． （2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点（不与点、点重合），过点、点分别作， ，连结，，求证：四边形是平行四边形． （3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点是的中点，点是直线上的动点，且，，当取得最小值时，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $