精品解析：湖南省长沙市宁乡市西部六乡镇2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2025学年下学期期中八年级数学科目问卷 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数据分别是线段a，b，c的长，能组成直角三角形的是（　　） A. 7，2，9 B. 4，5，6 C. 3，4，5 D. 5，10，13 4. 在平行四边形中，，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确是（ ） A. B. C D. 6. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 3米 7. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于，交的延长线于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为（ ） A. 13 B. 15 C. 13或15 D. 13或 9. 下列说法错误是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 四个角都相等的四边形是正方形 10. 如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 3 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 当x____________时，二次根式有意义． 12. 一棵树在离地面处折断，树的顶端落在离树干底端处，这棵树折断之前的高度是______． 13. 如图，数轴上点A表示数是，点C表示的数是1，且．以A为圆心，长为半径画弧交数轴原点右边于点D，则点D表示的数是___________． 14. 如图，在▱ABCD中，再添加一个条件_____（写出一个即可），▱ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线） 15. 如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______． 16. 把长cm，宽cm的矩形沿着对折，使点D落在边的点F上，则__________． 三、解答题（第17，18，19每小题6分，第20，21每小题8分，第22，23每小题9分，第24，25每小题10分，共72分） 17 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，求图中空白部分矩形的周长与面积． 20. 已知，如图，在平行四边形中，的平分线交边于点． 求证：． 21. 如图，在中，E、F是对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 22. 如图，延长的边到点F，使得，连接，若，求证：四边形是矩形． 23. 如图，边长为2的正方形中，P是对角线上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作，交射线于点E． （1）求证：； （2）在点P的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，求出此时的长；如果不能，试说明理由． 24. 先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，使得，，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于，即，， ∴． 仿照上例，回答问题： （1）计算：； （2）计算：． 25. 矩形在平面直角坐标系的位置如图所示，F为上一点，将沿折叠，使点B恰好落在与y轴的交点E处．连接，若的长满足． （1）求点A，B的坐标； （2）求点D的坐标； （3）在平面内是否存在点P，使以E，F，C，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年下学期期中八年级数学科目问卷 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，是最简二次根式，符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选：A． 2. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 先化简各选项，根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意，故A错误； B、，符合题意，故B正确； C、，不符合题意，故C错误； D、，不符合题意，故D错误； 故选：B． 3. 下列各组数据分别是线段a，b，c的长，能组成直角三角形的是（　　） A. 7，2，9 B. 4，5，6 C. 3，4，5 D. 5，10，13 【答案】C 【解析】 【分析】据勾股定理的逆定理，逐项判定即可． 【详解】解：A．，所以7、2、9不能组成直角三角形，故A不符合题意； B．，所以4、5、6不能组成直角三角形，故B不符合题意； C．，所以5可以组成直角三角形，故C符合题意； D．，所以5、10、13不能组成直角三角形，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形是解题的关键． 4. 在平行四边形中，，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质及内角比可得，设每份为，则，解得，进而可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，且， ， 设每份为，则， 解得， 则． 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，乘法公式，二次根式的混合运算法则即可求解． 【详解】解：、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简，乘法公式的运用，二次根式的混合运算法则是解题的关键． 6. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 3米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 作，根据勾股定理求得的长，即可解答； 【详解】解：作， 根据题意得米， 由勾股定理可得， ∴米， ∴米， ∴此时木马上升的高度为1米， 故选：A． 7. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于，交的延长线于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，得到，由平分得到，继而得到，得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：在四边形中，，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：B． 8. 若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为（ ） A. 13 B. 15 C. 13或15 D. 13或 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理和题意分类讨论即可． 【详解】解：①当一直角三角形两条直角边的长为12和5时， 由勾股定理得，第三边的长为， ②当一直角三角形的斜边和一条直角边分别为12和5时， 由勾股定理得，第三边的长为， 综上所述，第三边长为13或， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理和三角形的三边关系进行分类讨论是解题的关键． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 四个角都相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【点睛】本题考查四边形中平行四边形和特殊的平行四边形的判定和性质，正确的理解和仔细区分是解题的关键． 利用平行四边形的判定和性质及特殊四边形的判定和性质逐个选项排查即可． 【详解】解：选项A中，矩形的对角线相等，故说法正确，不符合题意； 选项B中，菱形的对角线互相垂直平分，故说法正确，不符合题意； 选项C中，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故说法正确，不符合题意； 选项D中，四个角都相等的四边形是矩形但不一定是正方形，故说法错误，符合题意； 故选D． 10. 如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质，根据矩形的性质得到是解题的关键．根据勾股定理的逆定理可以证明为直角三角形，根据三个角都是直角的四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，时，的值最小，由此即可得出结论． 【详解】连接，如图， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∵于点E，于点F， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，当的值最小时，的值最小， 当时，的值最小， 此时， ∴的最小值为， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 当x____________时，二次根式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数非负、分式的分母不为0是解题的关键； 根据二次根式的被开方数非负、分式的分母不为0列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：； 故答案为：． 12. 一棵树在离地面处折断，树的顶端落在离树干底端处，这棵树折断之前的高度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理求出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示， 在中，，，， ， ， 树折断之前高， 故答案为：． 13. 如图，数轴上点A表示的数是，点C表示的数是1，且．以A为圆心，长为半径画弧交数轴原点右边于点D，则点D表示的数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴以及勾股定理，熟练掌握上述基本知识是关键； 先利用勾股定理求出，进而可得答案． 【详解】解：因为点A表示的数是，点C表示的数是1， 所以, 因为且， 所以， 因为以A为圆心，长为半径画弧交数轴原点右边于点D， 所以， 所以点D表示的数是； 故答案为：． 14. 如图，在▱ABCD中，再添加一个条件_____（写出一个即可），▱ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线） 【答案】AC=BD 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可． 【详解】添加的条件是AC=BD， 理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故答案为AC=BD 【点睛】本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形． 15. 如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______． 【答案】139 【解析】 【分析】根据勾股定理可得正方形BCMN的面积为25+144=169，再求出Rt△ABC的面积，即可求解． 【详解】如图，∵正方形、正方形的面积分别为25、144， ∴正方形BCMN的面积为25+144=169，AB=5，AC=12 ∴阴影部分的面积为169-×5×12=169-30=139 故答案为：139． 【点睛】此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理几何证明方法． 16. 把长cm，宽cm的矩形沿着对折，使点D落在边的点F上，则__________． 【答案】5cm 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质和勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 根据矩形的性质和折叠的性质结合勾股定理可求出，进而可得，然后设，在直角三角形中利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵把长cm，宽cm的矩形沿着对折，使点D落在边的点F上， ∴cm，，cm，， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得cm， ∴cm， 设，则， 在直角三角形中，根据勾股定理可得， 解得：，即cm； 故答案为：5cm． 三、解答题（第17，18，19每小题6分，第20，21每小题8分，第22，23每小题9分，第24，25每小题10分，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键； 先根据二次根式的性质化简、计算二次根式的除法，再合并同类二次根式即可. 【详解】解： . 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】 【分析】此题考查了整式的化简求值，正确掌握整式的混合运算法则及计算步骤正确计算是解题的关键．根据完全平方公式及平方差公式的法则去括号，再计算加减法，最后代入字母的值计算． 【详解】 ∵ ∴原式． 19. 如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，求图中空白部分矩形的周长与面积． 【答案】周长：8cm，面积： 【解析】 【分析】本题考查了矩形的周长与面积的计算以及二次根式的应用，正确求出矩形的长与宽是关键； 先求出空白部分矩形的长与宽，再计算周长与面积即可． 【详解】解：面积为正方形纸片的边长是cm； 面积为的正方形纸片的边长是cm； ∴图中空白部分矩形的长为，宽为cm， ∴图中空白部分矩形的周长是cm，面积是． 20. 已知，如图，在平行四边形中，的平分线交边于点． 求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，先根据平行四边形的性质得出，，易得，再根据角平分线的性质，确定，结合等腰三角形的性质证出，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在中，E、F是对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、平行四边形的判定等知识点，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 连接，交于点O，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明结论． 【详解】证明：连接，交于点O． 在中，，． 又， ． ∴四边形是平行四边形． 22. 如图，延长的边到点F，使得，连接，若，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明、AB=CF，可得四边形ABFC是平行四边形，再由AD=BC=AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴． ∵ ∴ 又∵，即 ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∴四边形ABFC是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 23. 如图，边长为2的正方形中，P是对角线上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作，交射线于点E． （1）求证：； （2）在点P的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，求出此时的长；如果不能，试说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）能， 【解析】 【分析】（1）过点作于，过点作于，根据正方形的性质证明，即可证明； （2）根据题意分①若点在线段上②若点在线段的延长线上，分别求解即可． 【小问1详解】 证明：过点作于，过点作于，如图 ∵四边形是正方形，，， ∴． ∴，． ∵即， ∴． 在和中， ． ∴， ∴； 【小问2详解】 解：能，理由如下： ①若点在线段上，如图， ∵，∴． ∵，∴． 若为等腰三角形，则． ∴， ∴，与矛盾， ∴当点在线段上时，不可能等腰三角形． ②若点在线段的延长线上，如图． 若是等腰三角形， 此时， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴的长为2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角分线的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，注意分类在解题中的应用． 24. 先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，使得，，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于，即，， ∴． 仿照上例，回答问题： （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子． （1）根据范例，利用完全平方公式求解即可； （2）根据范例，把每个二次根式里面的式子化为完全平方的形式，再开方并计算求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 25. 矩形在平面直角坐标系的位置如图所示，F为上一点，将沿折叠，使点B恰好落在与y轴的交点E处．连接，若的长满足． （1）求点A，B的坐标； （2）求点D的坐标； （3）在平面内是否存在点P，使以E，F，C，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A（-4,8）B（-4,0） （2）D（6,8） （3）P1（2,-3）、P2（10,3）、P3（-10,13） 【解析】 【分析】（1）通过算术平方根、平方数的非负性求出AE、AB的值； （2）设未知边，通过勾股定理构建等式，再求出未知边，从而求出坐标； （3）分三种情况讨论：CF作对角线；CE作对角线；EF作对角线． 小问1详解】 由得： AE-4=0且AB-8=0 ∴AE=4 AB=8 ∴A（-4,8） B（-4,0） 【小问2详解】 解：设ED为y，根据勾股定理有： 解得：y=6 ∴D（6,8） 【小问3详解】 ∵点E到点F：（0-4,8-3）=F（-4,5） ∴P1=（6-4,0-3）=（2,-3） ∵点F到点E：（—4+4,5+3）=E（0,8） ∴P2=（6+4,0+3）=（10,3） ∵点C到点E：（6-6,0+8）=E（0,8） ∴P3=（-4-6,5+8）=（-10,13） 【点睛】本题考查直角坐标系和勾股定理、动点问题，掌握相应知识和技能是本题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $