第一章 集合与常用逻辑用语（能力提升卷）-2025-2026学年高一数学人教A版2019必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025·海南海口·二模）已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则如下Venn图中的阴影部分所表示的集合为（    ） A．{0，1} B．{－1，0，1} C．{－1，2} D．{－1，0，1，2} 2．（24-25高一·全国·课后作业）适合条件{1}⊆A{1，2，3，4，5}的集合A的个数是（    ） A．15 B．16 C．31 D．32 3．（24-25高一上·上海·课后作业）若、、为三个集合，，则一定有（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高一·浙江·期末）已知集合，则（   ） A． B．或 C． D．或 5．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，，且，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二·黑龙江牡丹江·课后作业）有以下四种说法,其中正确说法的个数为     (1)“m是实数”是“m是有理数”的充分不必要条件; (2)“a>b>0”是“a2>b2”的充要条件; (3)“x=3”是“x2-2x-3=0”的必要不充分条件; (4)“A∩B=B”是“A=⌀”的必要不充分条件. A．0 B．1 C．2 D．3 7．（24-25高三上·浙江·开学考试）设集合中至少两个元素，且满足：①对任意，若，则 ，②对任意，若，则，下列说法正确的是（    ） A．若有2个元素，则有3个元素 B．若有2个元素，则有4个元素 C．存在3个元素的集合，满足有5个元素 D．存在3个元素的集合，满足有4个元素 8．（24-25高一上·北京·阶段练习）设表示非空集合中元素的个数，已知非空集合.定义，若，且，则实数的所有取值为（    ） A．0 B．0， C．0， D．，0， 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高一·全国·课后作业）(多选题)若集合A={x|kx2+4x+4=0，x∈R}只有一个元素，则实数k的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（24-25高二上·河北唐山·期中）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是（    ） A．若两个三角形全等，则这两个三角形相似 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，下列说法正确的是（    ） A．不存在实数使得 B．当时， C．当时， D．存在实数使得 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，则的真子集的个数是 . 13．（24-25高一上·广西玉林·期中）设集合A={}，B={x}，且AB，则实数k的取值范围是 . 14．（2025·上海奉贤·一模）已知互异实数，集合，则 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一·全国·课后作业）设全集，．若，求实数的值． 16．（24-25高一上·河北沧州·期中）已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 17．（24-25高三上·上海·期中）已知或，或． (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 18．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 19．（23-24高一上·上海松江·期末）已知集合 (1)若，求和; (2)若“”是 “”的充分条件，求实数的取值范围. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025·海南海口·二模）已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则如下Venn图中的阴影部分所表示的集合为（    ） A．{0，1} B．{－1，0，1} C．{－1，2} D．{－1，0，1，2} 【答案】C 【分析】由Venn图得出阴影部分表示{x|x∈M∪N且x∉M∩N}，从而可得结论． 【详解】由题图可知，阴影部分为{x|x∈M∪N且x∉M∩N}．由已知易得M∪N＝{－1，0，1，2}，M∩N＝{0，1}，所以{x|x∈M∪N且x∉M∩N}＝{－1，2}． 故选：C． 【点睛】本题考查Venn图表示集合的运算，属于基础题． 2．（24-25高一·全国·课后作业）适合条件{1}⊆A{1，2，3，4，5}的集合A的个数是（    ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】A 【分析】由子集的定义求解，集合中元素除1以外，其他可以从2、3、4、5四个至多选3组成，由此可得的个数． 【详解】因为集合A中必须包含元素1，但从元素2、3、4、5中至多选取3个，于是集合A的个数24－1＝15个， 故选：A. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）若、、为三个集合，，则一定有（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知等式可推导得到，由此可依次判断各个选项得到结果. 【详解】因为， 所以，，， 所以, 所以， 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，当且仅当时，，故B错误； 对于C，当时，满足，故C错误； 对于D，当时，满足，故D错误. 故选：A. 4．（23-24高一·浙江·期末）已知集合，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】直接利用补集和交集的定义求解即可. 【详解】由集合， 可得：或， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本该考查了集合的运算，解决该题的关键是掌握补集和交集的定义. 5．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据集合与集合的交集和并集运算结果，确定集合与集合中元素，再根据元素与集合的关系求解参数即可. 【详解】，， 得，解得. 故. 又因为，所以得. 代入得，解得：， 综上可得：. 故选：C. 6．（24-25高二·黑龙江牡丹江·课后作业）有以下四种说法,其中正确说法的个数为     (1)“m是实数”是“m是有理数”的充分不必要条件; (2)“a>b>0”是“a2>b2”的充要条件; (3)“x=3”是“x2-2x-3=0”的必要不充分条件; (4)“A∩B=B”是“A=⌀”的必要不充分条件. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】分别根据充分条件和必要条件的定义对四个选项逐一进行判断即可得到结论. 【详解】若是实数,则可能是无理数,故(1)错误; ,反之则不成立,故(2)错误; 或-1,故(3)错误; 由,有,不能得出,故(4)错误， 正确说法的个数为0，故选A. 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，属于简单题.高中数学的每个知识点都可以结合充分条件与必要条件考查，要正确解答这类问题，除了熟练掌握各个知识点外，还要注意一下几点：（1）要看清 ，还是 ；（2）“小范围”可以推出“大范围”；（3） 或 成立，不能推出成立，也不能推出成立， 且 成立，即能推出成立，又能推出成立；（4）一定看清楚题文中的条件是大前提还是小前提. 7．（24-25高三上·浙江·开学考试）设集合中至少两个元素，且满足：①对任意，若，则 ，②对任意，若，则，下列说法正确的是（    ） A．若有2个元素，则有3个元素 B．若有2个元素，则有4个元素 C．存在3个元素的集合，满足有5个元素 D．存在3个元素的集合，满足有4个元素 【答案】A 【解析】不妨设，由②知集合中的两个元素必为相反数，设，由①得，由于集合中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素，分集合有个元素和多于个元素分类讨论，即可求解. 【详解】若有2个元素，不妨设， 以为中至少有两个元素，不妨设， 由②知，因此集合中的两个元素必为相反数，故可设， 由①得，由于集合中至少两个元素，故至少还有另外一个元素， 当集合有个元素时，由②得：，则或. 当集合有多于个元素时，不妨设， 其中， 由于，所以， 若，则，但此时， 即集合中至少有这三个元素， 若，则集合中至少有这三个元素， 这都与集合中只有2个运算矛盾， 综上，，故A正确； 当集合有个元素，不妨设， 其中，则，所以， 集合中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合中至少个元素，与矛盾，排除C，D. 故选：A. 【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 8．（24-25高一上·北京·阶段练习）设表示非空集合中元素的个数，已知非空集合.定义，若，且，则实数的所有取值为（    ） A．0 B．0， C．0， D．，0， 【答案】D 【分析】由题意可得集合中的元素个数为1个或3个，分集合中的元素个数为1和集合中的元素个数为3两种情况，再结合一元次方程根的个数求解即可. 【详解】解：由可得或， 又因为，， 所以集合中的元素个数为1个或3个， 当集合中的元素个数为1时，则有两相等的实数根，且无解， 所以，解得； 当集合中的元素个数为3时，则有两不相等的实数根，且有两个相等且异于方程的根的解， 所以，解得或， 综上所述，或或. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据题意得出集合中的元素个数为1个或3个. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高一·全国·课后作业）(多选题)若集合A={x|kx2+4x+4=0，x∈R}只有一个元素，则实数k的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】根据给定条件按方程kx2+4x+4=0的类型分类讨论求解即得. 【详解】集合A中只有一个元素，即方程kx2+4x+4=0只有一个根， 当k=0时，方程为一元一次方程，只有一个根， 当k≠0时，方程为一元二次方程，若只有一个根，则=16-16k=0，即k=1， 所以实数k的值为0或1. 故选：AB 10．（24-25高二上·河北唐山·期中）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是（    ） A．若两个三角形全等，则这两个三角形相似 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】根据必要不充分条件的概念逐个分析可得答案. 【详解】A选项，若两个三角形全等，则这两个三角形一定相似， 但两个三角形相似未必全等，故不是的必要条件 B选项，由，无法推出，如，但是.反之成立，即满足是的必要条件； C选项，由，无法得到，如，，时有，但是，反之成立； D选项，若，则，即，反之则，满足是的必要条件． 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：本题考查必要条件的判断，关键是看由能不能推出，若能，则是的必要条件，若不能，则不是的必要条件. 11．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，下列说法正确的是（    ） A．不存在实数使得 B．当时， C．当时， D．存在实数使得 【答案】AD 【分析】选项A由集合相等列方程组验算；选项B由得，故不满足；选项C、D通过假设求出实数的取值范围可判定. 【详解】选项A：若集合，则有，因为此方程组无解，所以不存在实数使得集合，故选项A正确. 选项B：当时，，不满足，故选项B错误. 若，则 ①当时，有，； ②当时，有此方程组无实数解； 所以若，则有，故选项C错误，选项D正确. 故选：AD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，则的真子集的个数是 . 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用列举法表示集合，再求出其真子集个数. 【详解】依题意，，所以的真子集的个数是. 故答案为：3 13．（24-25高一上·广西玉林·期中）设集合A={}，B={x}，且AB，则实数k的取值范围是 (写成集合形式). 【答案】 【分析】由知，集合B为A的非空子集或空集，列出满足的包含关系，求得k的范围. 【详解】由知，集合B为A的非空子集或空集， 即或， 解得或 故答案为： 14．（2025·上海奉贤·一模）已知互异实数，集合，则 ． 【答案】-1 【分析】分情况讨论,,或,再计算即可. 【详解】互异实数,集合, ∴,,或,,,． 由,,,,无解． 由,,,．可得,解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据集合的互异性与集合相等求参数的问题,属于基础题型. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一·全国·课后作业）设全集，．若，求实数的值． 【答案】 【分析】根据,可得全集中一定含有元素5,由此列式可解得,再验证集合A是否满足元素的互异性和是否成立,即可得到. 【详解】因为,且全集, 所以,解得或, 当时,,集合A中的元素不满足互异性,不合题意; 当时,,此时,满足,符合题意. 综上可得,.. 故答案为: . 【点睛】本题考查了集合的补集运算,注意由得到或后,容易犯的错误是:不对求出的结果进行验证,属于中档题. 16．（24-25高一上·河北沧州·期中）已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用集合相等的条件求的值； （2）由与有包含关系得，再利用集合子集的元素关系分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以或， 解得或， 故. （2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素， 所以. 当时，，满足题意； 当时， 当时，，解得，满足题意； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 综上，a的取值范围为. 17．（24-25高三上·上海·期中）已知或，或． (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】利用充要条件与集合的关系，结合集合的包含关系即可得解. 【详解】（1）设或，或， 因为是的充分条件，所以， 当时，即，此时，不满足题意； 当时，即，有，解得； 综上：m的取值范围为. （2）因为是的必要条件，所以， 当时，即，此时，成立； 当时，即，有，无解. 综上：m的取值范围为. 18．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，根据，分类求参数即可； （2）命题是真命题即，先求时，的取值范围或， 进而可得时的取值范围. 【详解】（1）若，满足，此时，即， 当时，要使，则，即，即， 综上实数的取值范围为或. （2）命题：“，使得”是真命题，等价于， 若时， 当，满足，此时，即， 当时，， 若，则满足或， 即或， 综上若，得或， 则当时，即实数的取值范围是. 19．（23-24高一上·上海松江·期末）已知集合 (1)若，求和; (2)若“”是 “”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合交集和并集的概念直接计算求解即可； （2）将充分条件转化为集合包含关系进而列式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， （2）因为“”是 “”的充分条件， 所以， 又因为， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$