精品解析：山东省淄博市张店区2024-2025学年七年级下学期期中考数学试卷

2025年张店区七下期中考数学试卷 一．选择题（共10小题） 1. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（　　） A. 瓜熟蒂落 B. 竹篮打水 C. 画饼充饥 D. 守株待兔 2. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，于点F，平分，若， 则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是假命题的是（　　） A. 垂线段最短 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行 D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 5. 如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 解方程组时，一学生因把看错得到方程组的解是，而正确的解是，则的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 如图，在中，点，分别是，上两点，将沿折叠，使点落在点处，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题） 11. 是关于，的二元一次方程，则_____． 12. 将命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______． 13. 已知关于的二元一次方程组，下列结论中正确的是___________ ． ①当这个方程组的解的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则． 14. 如图，若点为轴负半轴上的一个动点，当时，与的角平分线交于点，则的度数为______． 15. 如图，在中，平分，平分，，分别在的延长线上，平分，平分，平分，平分，则的度数是 ________ ． 三．解答题（共7小题） 16. 解方程组： （1） （2） 17. 阅读材料：怎样证实“两直线平行，同位角相等” 本节中，我们用叠合的方法发现了“两直线平行，同位角相等” ．事实上，这个结论可以运用已有的基本事实，通过说理加以证实． 如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB//CD，∠1与∠2是同位角． 假设∠1∠2，那么可以通过直线AB与EF的交点O作直线GH，使∠EOH=∠2，直线GH与直线AB是两条直线． 根据基本事实“同位角相等，两直线平行”，由∠EOH=∠2，可以得到GH//CD． 这样，过点O就有两条直线AB、GH都与CD平行．这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾． 这说明∠1∠2的假设不正确，于是∠1=∠2． 解决问题：若且，请你用以上方法说明：． 18. 在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于， （1）请估计摸到白球的概率将会接近___________； （2）计算盒子里白球有多少个？ （3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 19. 如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，DEBC交AC于点E，EF⊥CD于点G，交BC于点F． （1）求证：∠ADE＝∠EFC； （2）若∠ACB＝78°，∠A＝60°，求∠DCB的度数． 20. 随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本，售价如表： 甲 乙 成本 1.2元/只 0.4元/只 售价 1.8元/只 0.6元/只 （1）若该公司三月份的利润为8.8万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？ （2）某同学有16.2元的零花钱，打算购买甲和乙两种口罩，正好赶上门罩价格调整，其中甲型口罩售价上涨50%，乙型口罩按原价出售，则该同学有多少种不同的购买方案可以使钱正好花完？请设计出来． 21. 如图，直线与直线相交于点，与x轴分别交于A， B两点． （1）求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组的解； （2）求的面积 （3）垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段的长为2，直接写出a的值． 22. 如图1，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）求证：； （2）如图2，若和的平分线、相交于点，且与分别相交于点． ①以线段为边的“8字型”有__________个，以点为交点的“8字型”有__________个； ②若，求的度数； ③若角平分线中角的关系改为，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由． 23. 如图，在四边形中，，，延长到点，是的平分线，是的平分线． （1）如图，当时，求证：； （2）如图，当时，直线交直线于点，问 与，之间有何数量关系？写出你的结论并证明； （3）如果将（）中的条件 改为，那么与，之间又有何数量关系？请直接写出结论，不用证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年张店区七下期中考数学试卷 一．选择题（共10小题） 1. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（　　） A. 瓜熟蒂落 B. 竹篮打水 C. 画饼充饥 D. 守株待兔 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、瓜熟蒂落是必然事件； B、竹篮打水是不可能事件； C、画饼充饥是不可能事件； D、守株待兔是随机事件； 故选：D． 2. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据二元一次方程组的基本形式及特点进行求解即可，即①含有两个二元一次方程，②方程都为整式方程，③未知数的最高次数都为一次． 【详解】解：A：含有三个未知数，不是； B：符合条件，是； C： mn项的次数为2，不是； D：存在不是整式的式子，不是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点． 3. 如图，已知，于点F，平分，若， 则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的定义、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是综合运用这些定义和性质定理． 根据垂直的定义先求得，再由平行线的性质求得，接着由平分求得，最后利用的内角和求得． 【详解】设与相交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：D． 4. 下列命题中，是假命题的是（　　） A. 垂线段最短 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行 D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】利用垂线段的性质、平行线的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、垂线段最短，原命题是真命题，不符合题意； B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，原命题是真命题，不符合题意； D、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，原命题是真命题，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 5. 如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 延长交于点，得到，得到，根据平行线的性质得到，得出，即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于点， ，， ， ， ， ，， ， ， 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识．易知方程组的解即为直线和的交点坐标，由此可求得答案． 【详解】解：方程组的解即为直线和的交点坐标， ∵直线和相交于点， ∴方程组的解为：， 故选：D． 7. 如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，轴对称图形，熟记概率公式和能识别轴对称图形是解题的关键．分别将7个空白处涂黑，判断出所得图案是轴对称图形的个数，再根据概率公式进行计算． 【详解】解：如图①②③任意一处涂黑时，图案为轴对称图形， 共有7个空白处，将①②③处任意一处涂黑，图案为轴对称图形，共3处， 构成轴对称图形的概率是， 故选：B 8. 解方程组时，一学生因把看错得到方程组的解是，而正确的解是，则的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识，根据题意，由错解得到，再由正解确定，进而得到二元一次方程组，求解即可得到，代入代数式即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识是解决问题的关键． 【详解】解：设一学生将看错成，则方程组的解是， ，则， 方程组的解是， ，则， 综上所示，联立，解得， ， 故选：C． 9. 如图，在中，点，分别是，上两点，将沿折叠，使点落在点处，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理，由折叠的性质可得，，再由邻补角的定义可得，从而可求得，由三角形的内角和可求，从而可求得，再由邻补角的定义即可求的度数．解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 【详解】解：∵将沿折叠，使点落在点处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10. 关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，运用整体思想解二元一次方程组是解题的关键．先整理所求方程得到，关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为，据此可得答案． 【详解】解：整理方程组得， ∵关于，的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解为，即， 故选：A． 二．填空题（共5小题） 11. 是关于，的二元一次方程，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得m的值． 【详解】解：根据题意，得且， 解得， 故答案为：1． 12. 将命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______． 【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【解析】 【分析】找出原命题的题设与结论即可完成改写． 【详解】解：原命题“同角的余角相等”中， 改写为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 13. 已知关于的二元一次方程组，下列结论中正确的是___________ ． ①当这个方程组的解的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． 解方程组得到，根据相反数的定义，得到，进而求解得到的值，即可判断①结论；将代入方程组，求得，得到，即可判断②结论；解方程组得到，即可判断③结论；得到即可判断④结论． 【详解】解： 得：， 的值互为相反数， ， ， 解得：， 故结论①正确； 当时， 原方程组为， 解方程组得， ， ， 故结论②正确； 得， ，是定值， ∴无论取什么实数，的值始终不变， 故结论③正确； 故结论④错误， 综上所述，结论正确的是①②③， 故答案为：①②③． 14. 如图，若点为轴负半轴上的一个动点，当时，与的角平分线交于点，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，过点作，根据平行公理，则，根据，则，根据平行线的性质，则，根据角平分线的性质，则，，推出，在根据平行线的性质，得到，，根据，即可． 【详解】解：过点作， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵与的角平分线交于点 ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 15. 如图，在中，平分，平分，，分别在的延长线上，平分，平分，平分，平分，则的度数是 ________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质计算即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ． 平分，平分， ，， ， ． ∵平分，平分， ， ． 平分， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 三．解答题（共7小题） 16. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 整理得： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 17. 阅读材料：怎样证实“两直线平行，同位角相等” 本节中，我们用叠合的方法发现了“两直线平行，同位角相等” ．事实上，这个结论可以运用已有的基本事实，通过说理加以证实． 如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB//CD，∠1与∠2是同位角． 假设∠1∠2，那么可以通过直线AB与EF的交点O作直线GH，使∠EOH=∠2，直线GH与直线AB是两条直线． 根据基本事实“同位角相等，两直线平行”，由∠EOH=∠2，可以得到GH//CD． 这样，过点O就有两条直线AB、GH都与CD平行．这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾． 这说明∠1∠2的假设不正确，于是∠1=∠2． 解决问题：若且，请你用以上方法说明：． 【答案】 解：假设， ∵， ∴， 即x=0或y=0， 这与且相矛盾， ∴假设不成立， 于是：． 【解析】 【分析】先假设，推出，即x=0或y=0，与且相矛盾，∴假设不成立，于是：． 【详解】略 【点睛】本题考查了完全平方公式，假设结论的反面成立，再推出与条件或定理相矛盾，从而说明假设不成立，达到证明的目的． 18. 在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于， （1）请估计摸到白球的概率将会接近___________； （2）计算盒子里白球有多少个？ （3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】（1） （2）15个 （3）15个 【解析】 【分析】本题主要考查了概率，熟练掌握用频率估计概率，概率的定义及计算公式，用概率还原事件，是解决问题的关键， （1）用频率稳定于，估计概率就是； （2）用60乘，计算即得； （3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据摸到白球的概率为建立方程，解方程检验，即得， 【小问1详解】 ∵大量重复摸球实验，摸到白球的频率稳定于， ∴摸到白球的概率接近； 故答案为：； 【小问2详解】 （个）， 答：盒子里白球有15个； 【小问3详解】 设需要往盒子里再放入x个白球； 根据题意得：， 解得：， 经检验得：为所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：需要往盒子里再放入15个白球． 19. 如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，DEBC交AC于点E，EF⊥CD于点G，交BC于点F． （1）求证：∠ADE＝∠EFC； （2）若∠ACB＝78°，∠A＝60°，求∠DCB的度数． 【答案】 （1）证明：∵DEBC， ∴∠ADE＝∠B， ∵CD⊥AB，EF⊥CD， ∴∠CDB＝∠CGF=90º， ∴ABEF， ∴∠B＝∠EFC， ∴∠ADE＝∠EFC； （2）48°． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵∠ACB＝78°，∠A＝60°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝42°， ∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°， ∴∠DCB＝180°﹣90°﹣42°＝48°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，平行线的判定和性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 20. 随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本，售价如表： 甲 乙 成本 1.2元/只 0.4元/只 售价 1.8元/只 0.6元/只 （1）若该公司三月份的利润为8.8万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？ （2）某同学有16.2元的零花钱，打算购买甲和乙两种口罩，正好赶上门罩价格调整，其中甲型口罩售价上涨50%，乙型口罩按原价出售，则该同学有多少种不同的购买方案可以使钱正好花完？请设计出来． 【答案】（1）该公司三月份生产甲种型号的防疫口罩12万只，乙种型号的防疫口罩8万只 （2） 设该同学购买只甲型口罩，只乙型口罩， 根据题意得：， ． 又均为正整数， 或 ∴该同学共有2种购买方案， 方案1：购买4个甲型口罩，9个乙型口罩； 方案2：购买2个甲型口罩，18个乙型口罩． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，根据题意正确列方程组和方程是解题的关键． （1）设该公司三月份生产甲种型号的防疫口罩万只，乙种型号的防疫口罩万只，列方程组求解即可； （2）设该同学购买只甲型口罩，只乙型口罩，得到，求出或，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设该公司三月份生产甲种型号的防疫口罩万只，乙种型号的防疫口罩万只， 根据题意得：， 解得：． 答：该公司三月份生产甲种型号的防疫口罩12万只，乙种型号的防疫口罩8万只； 【小问2详解】 略 21. 如图，直线与直线相交于点，与x轴分别交于A， B两点． （1）求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组的解； （2）求的面积 （3）垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段的长为2，直接写出a的值． 【答案】（1），， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把的坐标代入，求得，所以，再把代入，可求得；关于x，y的方程组即，结合图象即可得到答案； （2）先求出A，B的坐标，再根据三角形面积公式求解即可； （3）先求出，，得到方程，解方程即得答案． 【小问1详解】 解：把的坐标代入，得， ， ， 把代入，得， ， ， 直线与直线相交于点， 方程组的解是， 整理方程组可得， 方程组的解是； 【小问2详解】 解：对于，令，则， ， ， 对于，令，则， ， ， ， 的面积为； 【小问3详解】 解：垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D， ，， ， ， 解得或． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，两直线的交点与二元一次方程组，求直线围成的图形面积问题，一次函数与几何综合问题等知识，熟练掌握一次函数与几何的综合问题是解题的关键． 22. 如图1，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）求证：； （2）如图2，若和的平分线、相交于点，且与分别相交于点． ①以线段为边的“8字型”有__________个，以点为交点的“8字型”有__________个； ②若，求的度数； ③若角平分线中角的关系改为，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴； （2）①3；4；②③ 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，，又因为和是对顶角，进而得出结论； （2）①根据题目给的8字型定义，在图2中查图形的数量即可得出答案； ②根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理得出和，两式相加，最后得出，然后把代入计算即可得到答案； ③根据，得到，，再根据三角形内角和定理得出和，两式分别相减得到和，即可得到答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①以线段为边的“8字型”有：以和共点M组成的图形；以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；共有3个； 以点为交点的“8字型”有：以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；共有4个； 故答案为：3；4； ②以点为交点的“8字型”中，有， 以点为交点的“8字型”中，有， ， ∵、分别平分和， ， ， ， ； ③ ，， ，， 以点为交点的“8字型”中，有， 以点为交点的“8字型”中，有， ， ， ； 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180度，也考查了角平分线的定义，灵活运用所学知识是关键． 23. 如图，在四边形中，，，延长到点，是的平分线，是的平分线． （1）如图，当时，求证：； （2）如图，当时，直线交直线于点，问 与，之间有何数量关系？写出你的结论并证明； （3）如果将（）中的条件 改为，那么与，之间又有何数量关系？请直接写出结论，不用证明． 【答案】（1） 证明：是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ， ， ； （2） ， 证明：如下图所示，延长、相交于点， 是的平分线，是的平分线， ，， ， 在中，， ， ， ， ，， ， ； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的性质，解决本题的关键是根据三角形内角和定理与三角形外角的性质找到角之间的关系． （1）根据角平分线的定义可知，，根据平行线的性质可知，所以可证，根据同位角相等，两直线平行可证结论成立； （2）根据角平分线的性质可知，根据三角形外角的性质可证，再根据三角形内角和定理可证； （3）根据角平分线的定义可证，根据三角形内角和定理可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 证明：如下图所示，延长、交于点， ，， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $