精品解析：浙江省绍兴市柯桥区联盟学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024学年第二学期八年级数学期中考试调测卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”“谷雨”“白露”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在“一分钟跳绳”项目的三次测试中，某班4名同学所得成绩的平均数及方差如表，如果选一名同学代表班级参加学校运动会，那么最适合的是（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，过对角线的交点O，交于E，交于F，若的周长为18，，则四边形的周长为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 6. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 7. 如图为某射击场35名成员射击成绩条形统计图（成绩均为整数），其中部分已破损．若他们射击成绩的中位数是5环，则下列数据中无法确定的是（ ） A. 3环以下（含3环）的人数 B. 4环以下（含4环）的人数 C. 5环以下（含5环）的人数 D. 6环以下（含6环）的人数 8. 估计的值应在（ ） A. 7和8之间 B. 8和9之间 C. 9和10之间 D. 10和11之间 9. 定义新运算：，例如：，若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，相交于点，，．过点作交于点，记长为，长为．当，值发生变化时，代数式的值是(　　) A. 12 B. 10 C. 6 D. 5 二、填空题（本大题有10题，每小题3分，共30分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 12. 数学兴趣小组成员从“校园农场”中随机抽取了8棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红杮的个数，分别为37，29，29，39，37，35，26，37．这组数据的众数是______． 13. 已知中，，求证：，用反证法证明：第一步是：假设_____成立． 14. 若是方程的一个根，则代数式的值是_________． 15. 观察图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是 _______ ．（填序号） 16. 如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，若，则的度数为______°． 17. 已知是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边长，则的周长为______． 18. 我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“优美平行四边形”．如果一个“优美平行四边形”的一组邻边长为和4，那么它的较长的对角线长为___________． 19. 某数学兴趣小组的同学们，把6个形状、大小完全相同的长方形叠加成如图所示的三个上升的“L”图案，放入平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点的坐标为______． 20. 如图，点E为的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，连接，则为 _____ ． 三、解答题（本大题有7小题，第21～24小题每小题6分，第25～26小题8分，第27小题10分，共50分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 21. 计算： （1） （2） 22. 计算下列各题： （1）解方程： （2）解方程： 23. 如图，四边形是平行四边形，分别以点A、B为圆心，的长为半径画弧，交于点F和点E，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求四边形的面积． 24. 为了增强学生的身体素质，助力学生全方位成长，某校积极组织了形式多样的课外体育活动．在九年级举办的篮球联赛进程中，甲、乙两位队员展现出了极为出色的表现，计分组在甲、乙两位队员最近的六场比赛里，得分、篮板以及失误这三个关键维度上的统计详情如下 队员 平均每场得分 得分中位数 平均每场篮板 平均每场失误 甲 m 27.5 8 2 乙 28 n 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）表中的_________，_________； （2）请从得分方面分析：甲队员、乙队员在比赛中，_________（填“甲”或“乙”）队员表现更好； （3）规定“综合得分”为：平均每场得分平均每场篮板平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较哪位队员表现更好． 25. 某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为， （1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 26. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由． 27. 如图1，矩形中，，动点E，F分别在边上，连结，以边向上作，连结， （1）如图2，点F与D重合时， ①求的面积． ②当最短时，求的长． （2）如图3，当时，连结，若，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期八年级数学期中考试调测卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】A．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B．的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D．是最简二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”“谷雨”“白露”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，根据定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既是中心对称又是轴对称图形，故A选项符合题意； B、轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：A ． 3. 在“一分钟跳绳”项目的三次测试中，某班4名同学所得成绩的平均数及方差如表，如果选一名同学代表班级参加学校运动会，那么最适合的是（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据题意可知应该选择平均数大且方差小的那名同学参加运动会，据此可得答案． 【详解】解；从平均数来看，乙、丁的平均数比甲、丙的高，应该从乙、丁中选取一人参加运动会， 从方差来看，丁的方差较小，应该选择丁参加运动会， 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意； B、，故此选项计算错误，不符合题意； C、，故此选项计算错误，不符合题意； D、，故此选项计算正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的性质，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键． 5. 如图，过对角线的交点O，交于E，交于F，若的周长为18，，则四边形的周长为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质，全等三角形性质及判定等．根据题意可证，继而得到，再由平行四边形性质可知，继而可得本题答案． 【详解】解：∵过对角线的交点O， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的周长为：， ∵的周长为18， ∴， ∴四边形的周长为：， 故选：B． 6. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 单循环赛的总比赛场数为队数乘以每队比赛场数除以2，等于总安排场数，据此列方程即可． 【详解】解：∵每个队都与其他队比赛一场， ∴每队比赛场数为场，总比赛场数为． 又∵赛程计划安排7天，每天4场比赛， ∴总比赛场数为． ∴满足的关系式为． 故选B． 7. 如图为某射击场35名成员射击成绩的条形统计图（成绩均为整数），其中部分已破损．若他们射击成绩的中位数是5环，则下列数据中无法确定的是（ ） A. 3环以下（含3环）的人数 B. 4环以下（含4环）的人数 C. 5环以下（含5环）的人数 D. 6环以下（含6环）的人数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中位数和条形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 根据题意和条形图中的数据可以求得各个选项中对应的人数，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意和条形图可得， 3环以下（含3环）的人数为：，故选项A不符合题意， ∵射击成绩的中位数是5环，一共35人， ∴中位数是第18人的成绩，由图可知，4环的人数超过6人， ∴4环以下（含4环）的人数为：，故选项B不符合题意， 5环以下（含5环）的人数无法确定，故选项C符合题意， 6环以下（含6环）的人数为：，故选项D不符合题意， 故选：C． 8. 估计的值应在（ ） A. 7和8之间 B. 8和9之间 C. 9和10之间 D. 10和11之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算及估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．先根据二次根式乘法运算法则进行运算，再估算出代数式的取值范围即可． 【详解】解： ； ， ， ， ， 故选：C． 9. 定义新运算：，例如：，若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有实数根”得出，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵该方程有实数根， ∴， 解得：． 故选：D． 10. 如图，在中，，相交于点，，．过点作交于点，记长为，长为．当，的值发生变化时，代数式的值是(　　) A. 12 B. 10 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，作交的延长线于，由平行四边形的性质可得，，证明，得出，表示出，，由勾股定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，作交的延长线于， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，，，， ∴， ∴， ∴当，的值发生变化时，代数式的值是， 故选：D． 二、填空题（本大题有10题，每小题3分，共30分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 12. 数学兴趣小组成员从“校园农场”中随机抽取了8棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红杮的个数，分别为37，29，29，39，37，35，26，37．这组数据的众数是______． 【答案】37 【解析】 【分析】本题考查了求一组数据的众数：出现次数最多的数称为数据的众数；根据众数的意义判断即可． 【详解】解：在这组数据中，37出现的次数最多，故众数为37； 故答案为：37． 13. 已知中，，求证：，用反证法证明：第一步是：假设_____成立． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，的反面是． 【详解】解：已知中，， 求证：， 运用反证法证明这个结论，第一步应先假设， 故答案为：． 14. 若是方程的一个根，则代数式的值是_________． 【答案】-9 【解析】 【分析】由题意可得2a2-a=5，再由2a-4a2+1=-2（2a2-a）+1，即可求解． 【详解】解：∵a是方程2x2-x-5=0的一个根， ∴2a2-a-5=0， ∴2a2-a=5， ∴4a2-2a=10， ∴2a-4a2+1=-10+1=-9， 故答案为：-9． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，恰当的变形是解题的关键． 15. 观察图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是 _______ ．（填序号） 【答案】③ 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，由平行四边形的判定方法，即可判断． 【详解】解：①、由同旁内角互补，两直线平行，只能判定四边形的上下一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故①不符合题意； ②、由同旁内角互补，两直线平行，只能判定四边形的左右一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故②不符合题意； ③、由同旁内角互补，两直线平行，判定四边形的上下一组对边平行，并且上下一组对边相等，判定四边形是平行四边形，故③符合题意． ∴判定四边形一定是平行四边形的只有③． 故答案为：③． 16. 如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，若，则的度数为______°． 【答案】114 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得∠DCA=∠BAC，根据折叠的性质可得∠EAC=∠BAC，进一步可得∠DCA=∠EAC，根据已知条件可得∠BAC的度数，进一步求出∠B的度数． 【详解】解：在平行四边形ABCD中，， ∴∠DCA=∠BAC， 根据折叠，可得∠EAC=∠BAC， ∴∠DCA=∠EAC， ∵∠1=∠DCA+∠EAC， 又∵∠1=∠2=44°， ∴∠EAC=22°， ∴∠BAC=22°， ∴∠B=180°-44°-22°=114°， 故答案为：114． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 17. 已知是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边长，则的周长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】先利用一元二次方程解的定义把x=2代入方程x2-（m+4）x+4m=0得m=2，则方程化为x2-6x+8=0，然后解方程后利用三角形三边的关系确定三角形的三边，最后就是三角形的周长． 【详解】解：把x=2代入方程x2-（m+4）x+4m=0得4-2（m+4）+4m=0，解得m=2， 方程化为x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2， 因为2+2=4， 所以三角形三边为4、4、2， 所以△ABC的周长为10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系． 18. 我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“优美平行四边形”．如果一个“优美平行四边形”的一组邻边长为和4，那么它的较长的对角线长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、“优美平行四边形”、勾股定理、直角三角形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．由勾股定理求出，再求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】：如图，中，，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形的较长的对角线长为， 故答案为：． 19. 某数学兴趣小组的同学们，把6个形状、大小完全相同的长方形叠加成如图所示的三个上升的“L”图案，放入平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，二元一次方程组的应用，正确的列出方程组是解题的关键：设长方形的长为，宽为，根据点的坐标为，列方程即可得到结论． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，根据题意得， ，解得， 点的坐标为， 故答案为：． 20. 如图，点E为的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，连接，则为 _____ ． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，连接交于O，由平行四边形的性质推出，，判定是的中位线，推出，求出，即可得到． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 三、解答题（本大题有7小题，第21～24小题每小题6分，第25～26小题8分，第27小题10分，共50分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 21. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案； （2）直接利用二次根式的乘除运算法则化简，再利用二次根式的加减运算法则得出答案． 本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 计算下列各题： （1）解方程： （2）解方程： 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）用因式分解法求解； （2）用公式法求解． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 方程左边分解因式，得， 即， 所以或， 解得：，； 【小问2详解】 ， 移项，得， ，，， 所以， 所以， 解得：，． 23. 如图，四边形是平行四边形，分别以点A、B为圆心，的长为半径画弧，交于点F和点E，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）由作图得，由平行四边形的性质得，则，且，所以四边形是平行四边形； （2）连接交于点L，可证明四边形是菱形，则，因为，所以是等边三角形，则，求得，则，则，所以． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，理由如下： 由作图方法可得， ∵四边形平行四边形， ∴， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形 ； 【小问2详解】 解：连接交于点L， ∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积是． 24. 为了增强学生的身体素质，助力学生全方位成长，某校积极组织了形式多样的课外体育活动．在九年级举办的篮球联赛进程中，甲、乙两位队员展现出了极为出色的表现，计分组在甲、乙两位队员最近的六场比赛里，得分、篮板以及失误这三个关键维度上的统计详情如下 队员 平均每场得分 得分中位数 平均每场篮板 平均每场失误 甲 m 27.5 8 2 乙 28 n 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）表中的_________，_________； （2）请从得分方面分析：甲队员、乙队员在比赛中，_________（填“甲”或“乙”）队员表现更好； （3）规定“综合得分”为：平均每场得分平均每场篮板平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较哪位队员表现更好． 【答案】（1）； （2）乙 （3）乙 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，平均数和加权平均数的计算，熟练掌握其知识并能灵活运用是解决此题的关键． （1）根据平均数概念和中位数的计算方法求解即可； （2）根据平均数和中位数求解即可； （3）根据“综合得分”的计算方法求出甲和乙的得分，然后比较求解即可． 【小问1详解】 解：由统计图知，甲的平均得分， 把乙的六次成绩按从小到大的顺序排序，第三次、第四次的成绩分别为28和30， 乙的中位数， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：乙的平均得分为，甲的平均得分为， 乙的得分中位数为，甲的得分中位数为， ∴甲队员、乙队员在比赛中，乙队员表现更好； 【小问3详解】 解：甲的综合得分为：， 乙的综合得分为：， ， 乙队员表现更好． 25. 某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为， （1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】（1） （2）6600元 【解析】 【分析】（1）根据矩形周长公式列式计算即可； （2）用绿地面积减花坛面积差乘以50元，列式计算即可． 【小问1详解】 解：长方形的周长， 答：长方形的周长是； 【小问2详解】 解：购买地砖需要花费 （元） 答：购买地砖需要花费6600元． 【点睛】本题考查二次根式的应用，根据题意列出版算式和掌握二次根式运用法则是解题的关键． 26. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由． 【答案】（1） （2）该商品日销售额不能达到1000，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的解析式，二次函数解决实际问题等知识点，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式和利用二次函数的解析式分析最值． （1）利用待定系数法即可求出一次函数函数解析式； （2）根据题目要求列出二次函数解析式，整理出二次函数顶点式解析式，分析二次函数的图象和顶点，得出最值可得结果． 【小问1详解】 解：设， 将，代入得， 解得： ； 【小问2详解】 解：不能．理由如下： 设日销售额为元． 则可得 ， 函数开口向下，有最高点，当时，取最大值为 所以，该商品日销售额不能达到1000． 27. 如图1，矩形中，，动点E，F分别在边上，连结，以为边向上作，连结， （1）如图2，点F与D重合时， ①求的面积． ②当最短时，求的长． （2）如图3，当时，连结，若，求的长． 【答案】（1）①15；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据平行四边形的面积即可解决问题； ②当时，最小，即为最小，此时四边形为矩形，进而可以解决问题； （2）连结交于点O，连结，记与交于点H，证明是等边三角形，根据勾股定理即可解决问题． 【小问1详解】 解：①∵， ∴矩形面积15， ∵， ∴； ②记与交点为O， ∵， ∴， 当时，最小，即为最小， 此时四边形为矩形， ∴； 【小问2详解】 解：连结交于点O，连结，记与交于点H， ∵， ∴， ∴为矩形， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的面积，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $