山东省聊城市高唐县2024-2025学年八年级下学期期中数学练习卷

山东省聊城市高唐县2024-2025学年八年级（下）期中数学练习卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各数中：，，，，，，中，无理数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.下列各式中，正确的是(    ) A. B. C. D. 3.已知，下列不等式一定成立的是(    ) A. B. C. D. 4.下列语句正确的有个 的平方根是；一对相反数的立方根之和为； 平方根等于本身的数有和；与是同类二次根式． A. B. C. D. 5.如图，在▱中，对角线、相交于点，点是的中点，如果，，那么▱的周长是(    ) A. B. C. D. 6.不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    ) A. B. C. D. 7.下列命题中，是真命题的是(    ) A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 8.如图所示，在四边形中，，点、分别是、的中点，且，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 9.如图，点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，则关于四边形，下列说法正确的是(    ) A. 一定不是平行四边形 B. 一定是菱形 C. 可能是轴对称图形 D. 当时，它为矩形 10.如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、若，，则下列结论，其中正确结论的个数是(    ) ，； ≌； 四边形是菱形； ；：． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.比较下面两个实数的大小 ______填“”“”或“”． 12.一个正数的平方根是与，则这个正数的值是          ． 13.已知的边，边的长度分别是不等式组的最大整数解与最小整数解，如果的周长是奇数，则的第三条边的长度的最小值为______． 14.若不等式组只有个正整数解为自然数，则称这个不等式组为阶不等式组若关于的不等式组是阶不等式组，求的取值范围______． 15.如图，矩形的两边、分别在轴、轴上，点坐标为，将矩形沿对角线翻折使点落在点处，则点的坐标为          ． 16.如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，四边形是边长为的正方形，点为的中点，点为上的一个动点，连接，，当点满足的值最小时，直线的解析式为______． 三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 计算：． 18.本小题分 解不等式，并将不等式的解集在数轴上表示出来； 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 19.本小题分 如图，已知某开发区有一块四边形空地，经测量，，，，， 求这块空地的面积； 现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？ 20.本小题分 如图，在▱中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，若，求证：四边形是矩形． 21.本小题分 如图，在中，，、分别是、的中点，过点作，交的延长线于点，连接、． 求证：四边形是菱形． 当          时，四边形是正方形． 22.本小题分 某商店打算购进一批“冰墩墩”运动造型徽章和钥匙扣，已知一个钥匙扣和一枚徽章的进价的和为元，用元购进钥匙扣的件数与用元购进徽章的件数相同． 求一个钥匙扣和一枚徽章的进价分别是多少元？ 该商店计划购进钥匙扣和徽章共个，其中钥匙扣的数量不少于徽章的倍，且钥匙扣最多购买个求商店共有几种进货方案？哪种方案所花费用最少，最少费用为多少？ 23.本小题分 定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形． 写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是______． 如图，在方格纸中，，，在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使，是对角线，点在格点上． 如图，在正方形中，点，，分别在，，上，且，求证：四边形是垂等四边形． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：，是整数，属于有理数； 在实数，，，，，，中，是无理数的有：，，，共个． 故选：． 根据无理数的定义解答即可． 本题考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数称为无理数是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：，因此选项A不正确； ，因此选项B正确； ，因此选项C不正确； ，因此选项D不正确； 故选：． 根据平方根、立方根的意义，逐个进行计算，得出判断即可． 考查平方根、立方根的意义和计算方法，掌握平方根、立方根的意义是正确计算的前提． 3.【答案】  【解析】解：， ，故本选项不符合题意； B.， ，故本选项符合题意； C.， ， ，故本选项不符合题意； D.， ，故本选项不符合题意； 故选：． 应用不等式的性质，逐个进行判断即可．不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 本题考查了不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：，的平方根是，正确； 一对相反数的立方根之和为，正确； 平方根等于本身的数是，错误； 与是同类二次根式，正确． 故选：． 根据同类二次根式的概念，平方根的概念以及立方根的概念对各个说法进行判断即可． 本题考查的是同类二次根式的概念，平方根的概念以及立方根的概念，掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式、一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：▱对角线相交于点，是的中点， ，，是的中位线， ， ▱的周长． 故选：． 由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出，，，即可得出答案． 此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理等知识；求出是解题关键． 6.【答案】  【解析】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ， 解集表示在数轴上如图： 故选：． 解出每个不等式，取公共解集，再表示在数轴上即可． 本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握取公共解集的方法． 7.【答案】  【解析】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以选项是假命题，本选项不符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以选项是假命题，本选项不符合题意； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以选项是假命题，本选项不符合题意； D、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，本选项符合题意． 故选：． 根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法一一判断即可． 本题考查正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法，属于中考常考题型． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理，勾股定理的有关知识． 由勾股定理求出的长度，由直角三角形斜边上中线的性质求出的长度，再由三角形中位线定理即可求出的长度． 【解答】 解：，，， ， 是的中点， ， ，， 点、分别是、的中点， 是的中位线，． 9.【答案】  【解析】解：、如图，连接、， 点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点， 、、分别为、、的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形，故本选项说法错误，不符合题意； B、四边形为平行四边形，不一定是菱形，故本选项说法错误，不符合题意； C、当时，平行四边形为菱形， 四边形可能是轴对称图形，本选项说法正确，符合题意； D、当时，四边形为菱形，不一定是矩形，故本选项说法错误，不符合题意； 故选C． 10.【答案】  【解析】解：连接， 四边形是矩形， ，、互相平分， 为中点， 也过点， ， ，， 是等边三角形， ，， 在与中 ≌， 与关于直线对称， ，； 正确， ， ， ≌， ， ， ， ， ， 在和中， ≌， ， ， 四边形是菱形， 正确， ≌≌， ≌B错误． 错误， ≌， ， ， ：：， ， ，， ， ：：， 故错误； 故选：． 根据已知得出≌，可求得与关于直线对称，进而求得，； 因为≌≌，故不会全等于． 先证得，再证得，进而证得，因为、互相平分，即可证得四边形是菱形； 可通过面积转化进行解答． 本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识． 11.【答案】  【解析】解：， ，即， ， 故答案为：． 先估算的大小，然后根据不等式的性质估算 的大小，最后根据同分母分数相比较的方法比较大小即可． 本题主要考查了实数的大小比较和估算无理数的大小，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小． 12.【答案】  13.【答案】  【解析】解：解不等式组，得到：， 三角形的边，边的长度分别是不等式的最大整数解与最小整数解， ，， ， ， 的周长是奇数，， 的第三条边的长度的最小值为． 故答案为：． 求出不等式组的解集为，得到，，由三角形三边关系定理得到，即可得到的第三条边的长度的最小值． 本题考查三角形三边关系，一元一次不等式组的整数解，关键是求出不等式的解集，由三角形三边关系定理求出的取值范围． 14.【答案】  【解析】解：解不等式组得：， 关于 的不等式组是阶不等式组， 有个正整数解为：，，，， 的取值范围是． 故答案为：． 根据题目中的定义进行分析，可知整数解为，，，，从而可得出的范围． 本题考查一元一次不等式组的正整数解，理解题中的新定义是解题的关键． 15.【答案】  【解析】过点作轴于点，由点坐标可求出再根据翻折可知，，即得出，最后根据含度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求出，，即得出点坐标． 【详解】如图，过点作轴于点． ， ， ． 由翻折可知，， ， ， ． ． 故答案为：． 16.【答案】  【解析】解：四边形是正方形， 点，关于直线对称， 连接交于， 连接，， 则此时，的值最小， ， ，， 为的中点， ， ， 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：， 直线的解析式为， ， 解得：， ， 设直线的解析式为：， ， 解得：， 直线的解析式为， 故答案为：． 根据正方形的性质得到点，关于直线对称，连接交于，连接，，则此时，的值最小，求得直线的解析式为，由于直线的解析式为，解方程组得到，由待定系数法即可得到结论． 本题考查了正方形的性质，轴对称最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，正确的找出点的位置是解题的关键． 17.【答案】．  【解析】解：原式 ． 化简零指数幂，绝对值，负整数指数幂，算术平方根，立方根，再进行加减计算． 此题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键． 18.【答案】，将不等式的解集在数轴上表示出来见解答；   ，整数解是，，．  【解析】， ， ， ， ， 数轴上表示解集如图， ， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为， 整数解是，，． 去分母，移项合并同类项，化系数为，再用数轴表示即可； 先求出两个不等式的解集，再求其公共解，再写出整数解． 本题考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握一元一次不等式或不等式组的求解方法． 19.【答案】；   元．  【解析】连接，如图： 在中，，，， 由勾股定理得：， 在中，，， ，，， ， 是直角三角形，， ， 答：这块空地的面积为； 计划在该空地上种植草皮，每平方米草皮需元， 元， 答：在该空地上种植草皮共需元． 连接，由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理证是直角三角形，，然后求出，即可求解； 根据每平方米草皮需元，求出结果即可． 本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证明为直角三角形是解题的关键． 20.【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 为的中点， ， ≌， ． ， 四边形是平行四边形， 在▱中，， 又， ， 四边形是矩形．  【解析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用判定≌，从而得到；由已知可得四边形是平行四边形，再证，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形是矩形． 21.【答案】【小题】 证明：、分别是、的中点，是的中位线，又，四边形是平行四边形，是的中点，，又，四边形是平行四边形．，是的中点，又四边形是平行四边形，四边形是菱形． 【小题】     【解析】  当时，四边形是正方形．理由如下：设，则在中，，，是等腰直角三角形．是的中点，，由知，四边形是菱形，四边形是正方形． 22.【答案】，；   徽章个、钥匙扣个，元．  【解析】设一个钥匙扣的进价是元，则一枚徽章的进价是元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的根， 元． 答：一个钥匙扣的进价是元，则一枚徽章的进价是元． 设购进徽章个，则购进钥匙扣个． 根据题意，得， 解得， 有个非负整数解， 共有种进货方案， 设所共费用为元，则， ， 随的减小而减小， ， 当时值最小，， 个． 答：购进徽章个、钥匙扣个所花费用最少，最少费用为元． 设一个钥匙扣的进价是元，则一枚徽章的进价是元，根据题意列关于的分式方程并求解即可； 设购进徽章个，则购进钥匙扣个，根据题意列关于人一元一次不等式组并求其解集，有几个非负整数解商店就有几种进货方案，设所共费用为元，写出关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时值最小，求出其最小值及此时的值即可． 本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，掌握分式方程、一元一次不等式组的解法及一次函数的增减性是解题的关键． 23.【答案】正方形或矩形；   见解析；   证明见解析．  【解析】解：由题意可知：正方形，矩形， 故答案为：正方形或矩形； 解：如图中，四边形即为所求． 证明：在正方形中， ，， ， ，， ， ，，， ≌， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是垂等四边形． 根据定义易得解； 画一个符合题意得矩形，根据，可以找点使，并且满尊即可得解； 先证≌，可得，再导角证，进而得证． 本题主要要考查了特殊平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、格点作图等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$