湖南省衡阳市衡山县2024-2025学年八年级下学期期中数学练习卷

湖南省衡阳市衡山县2024-2025学年八年级（下）期中数学练习卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各式是分式的是(    ) A. B. C. D. 2.数值用科学计数法表示为(    ) A. B. C. D. 3.下列说法中，不正确的是(    ) A. 的绝对值是 B. 的平方根是 C. 的算术平方根是 D. 的立方根是 4.点关于轴对称的点的坐标是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，点在的延长线上，当时，的度数为(    ) A. B. C. D. 6.对于分式，下列说法错误的是(    ) A. 当时，分式的值为 B. 当时，分式无意义 C. 当时，分式的值为正数 D. 当时，分式的值为 7.分式中的，的值都扩大为原来的倍，则分式的值(    ) A. 扩大为原来的倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的倍 8.点在反比例函数的图象上，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 9.已知一次函数的值随的增大而减小，则它的图象可能经过的点是 A. B. C. D. 10.如图，直线交轴于点，交反比例函数的图象于、两点，过点作轴，垂足为点，若，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.函数的自变量的取值范围为          ． 12.函数数是反比例函数，则______． 13.直线向上平移个单位长度，得到的直线的解析式为__________． 14.已知点在一次函数的图像上，则          ． 15.平行四边形中，：：，则的度数为______． 16.已知函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是______． 17.如图，在▱中，平分，，，则▱的周长是_____ 18.观察下列几组勾股数：、、；、、；、、；、、；根据上面的规律，写出第组勾股数：______． 三、计算题：本大题共2小题，共14分。 19.化简：；解方程：． 20.先化简，再求值：，其中． 四、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题分 计算：． 22.本小题分 化简：． 23.本小题分 哪吒魔童闹海票房大卖，周边玩偶热销小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶少元，花元购进款哪吒玩偶的数量与花元购进款哪吒玩偶的数量相同． 问：、两款的进货单价分别是多少元？ 小洋决定将款玩偶的销售单价定为元，将款玩偶的销售单价定为元，小洋打算要花费元购进、两款玩偶若干个，且款的数量不小于款的一半，请你根据计算说明，当、两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 24.本小题分 如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． 判断四边形的形状，并说明理由； 若，，求的长． 25.本小题分 为倡导读书风尚，打造书香校园，某校计划购进、两种图书经调查，购进种图书的总费用元与购进种图书的数量本之间的函数关系如图所示． 求关于的函数解析式  现学校准备购进、两种图书共本，已知种图书每本元，若购进种图书的数量不少于本，且不超过种图书数量的倍，购进两种图书的总费用为元，请求出关于的函数解析式，并说明怎样购买、两种图书才能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 26.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴相交于点． 求该反比例函数和一次函数的表达式； 连接，，求的面积； 根据图象直接写出当时，的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：，，的分母中不含有字母，不是分式；的分母中含有字母，是分式． 故选：． 根据分式的定义逐个判断即可． 本题考查了分式的定义，一般地，如果、表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了科学记数法绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【解答】  解：． 故选B． 3.【答案】  【解析】解：、，是正确的，故本选项错误； B、的平方根是，这种说法是正确的，故本选项错误； C、，的算术平方根是，这种说法是正确的，故本选项错误； D、，的立方根是，这种说法是错误的，故本选项正确； 故选：． 结合绝对值、平方根、算术平方根、立方根各知识点依次对各选项进行判断即可． 本题考查了绝对值，平方根、算术平方根、立方根等知识点，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握各知识点的运用． 4.【答案】  【解析】本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是； 故选A． 5.【答案】  【解析】解：， ， 四边形是平行四边形， ， 的度数为， 故选A． 6.【答案】  7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了分式的基本性质解题的关键是正确的代入，并根据分式的性质进行分式的化简，把分式中的分子、分母中的、都同时变成原来的倍，就是用、分别代替式子中的、，即可得到与原式的关系． 【解答】 解：由题意可知：， 分式的值不变 故选B． 8.【答案】  【解析】解：反比例函数中，， 函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 点在第三象限， ， 在第一象限， ， ， 故选D． 9.【答案】  【解析】解：一次函数的值随的增大而减小， ． 如点在一次函数的图象上， ， ， 选项不符合题意； 如点在一次函数的图象上， ． ， 选项符合题意； 如点在一次函数的图象上， ． ， 选项不符合题意； 如点在一次函数的图象上， ． ， 选项不符合题意． 10.【答案】  【解析】解：设点的坐标为， ，且， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故选：． 设点的坐标为，然后根据三角形面积公式列方程求解． 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，准确识图，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键． 11.【答案】  【解析】解：由题意得，， 解得． 故答案为：． 根据被开方数大于等于列式计算即可得解． 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： 当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； 当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为； 当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12.【答案】  【解析】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 根据反比例函数的定义即可得出答案． 主要考查反比例函数的定义，形如为常数，的函数称为反比例函数．其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于的一切实数． 13.【答案】  【解析】解：将直线向上平移个单位长度，得到的新直线的解析式为． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】点在一次函数的图像上，，故答案为． 15.【答案】  【解析】解：，， ， ：：， ， ， 故答案为：． 由四边形为平行四边形得，，根据平行线的性质可得，再由：：即可求解． 本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 16.【答案】  【解析】解：函数和的图象交于点， 方程组的解为． 故答案为：． 利用“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”求解． 本题考查了一次函数与二元一次方程：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 17.【答案】  【解析】【分析】 根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等，求出，再根据等角对等边的性质可得，然后利用平行四边形对边相等求出、的长度，再求出▱的周长． 本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键． 【解答】 解：平分， ， ▱中，， ， ， ， 在▱中，，， ， ， ， ▱的周长． 故答案为：． 18.【答案】，，  【解析】解：；；． ；；． ；；． ；；． 则第组勾股数的第一个数为：，第二个数为：，第三个数为：， 第组勾股数为：，，， 故答案为：，，． ；；；；；；；；；；；；，观察得出规律：第组勾股数的第一个数为，第二个数为，第三个数为，即可解决问题． 本题考查的是勾股数以及规律型问题，根据数据的关系得出规律是解题的关键． 19.【答案】解：原式 ． ， 两边同乘得：， 整理得：， 得：， 经检验：是原方程的根， 所以，原方程的根是．   【解析】【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式方程的解法，掌握相应的运算法则是解本题的关键； 先计算括号内的分式的加法运算，再计算除法运算即可； 先把方程去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 20.【答案】解： ， 当时，原式．  【解析】此题考查了分式的化简求值，分式的化简求值时，加减的关键是通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，分式的乘除关键是约分，约分的关键是找出公因式，本题属于化简求值题，解答此类题要先将原式化为最简，再代值，同时注意有时计算后还能约分，比如本题倒数第二步约去公因式． 把原式的第二项被除式分母及除式分母都分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数把除法运算化为乘法运算，约分后，再与第一项通分，利用同分母分式的减法运算计算，可化为最简，最后把的值代入化简的式子中即可求出值． 21.【答案】．  【解析】解： ． 先根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值、有理数的减法法则计算，再根据有理数的加法法则计算即可． 本题考查了负整数指数幂、零指数幂、绝对值、有理数的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 22.【答案】．  【解析】解： ． 根据分式的乘除法法则计算． 本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键． 23.【答案】款的进货单价是元，则款的进货单价是元；   购进款个，购进款个时，获得的总利润最高，最高为元．  【解析】解：设款的进货单价是元，则款的进货单价是元， ， 解得， 经检验，是该方程的解， ， 答：单价是元，则单价是元； 设购进款个，则购进款个， 由题意可得：， ， 设总利润为，则， ， 随的增大而增大， 当取得最大整数解时，取得最大值，最大值为， 此时，则， 答：购进款个，购进款个时，获得的总利润最高，最高为元． 设款的进货单价是元，则款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； 设购进款个，先根据“款的数量不小于款的一半”求得；再设总利润为，则，然后利用一次函数的性质求解即可． 本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． 24.【答案】解：四边形为正方形，理由是： 四边形为矩形， ， ， ， 四边形为矩形， 是的平分线， ， 为等腰直角三角形， ， 矩形为正方形； 解：四边形为正方形，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 25.【答案】解：当时，设， 将代入解析式，得， 解得， ， 当时，设， 将、分别代入解析式， 得， 解得， ， 综上，； 购进种图书本，则购进种图书本， 根据题意得，， 解得， 购进两种图书的总费用， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值， ， 当购进种图书本，购进种图书本时，总费用最少为元．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 26.【答案】解：将代入得： ， 反比例函数的解析式为； 把代入得： ， ， 把，代入得： ， 解得：， 一次函数的表达式为； 联结，，如图： 在中，当时，， 解得， ， ， ． 的面积为． 由函数图象可知，当或时，， 的取值范围为或．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$