精品解析：四川省达州铭仁园学校2024-2025学年高一下学期第三次月考数学试题

达州铭仁园学校2027届下学期第三次月考 （数学） 一、单选题 1. 已知，，且，则等于（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 若复数z满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25 3. 某学校参加志愿服务社团的学生中，高一年级有50人，高二年级有30人，高三年级有20人，现用分层抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了6人，则从高三年级的学生中应抽取的人数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 如图，在中，设，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，若，且，那么一定（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 非等边等腰三角形 D. 等边三角形 7. 定义运算：，将函数图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的可能取值是（     ） A. B. C. D. 8. 设函数，若函数的图象关于点对称，且在区间上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 从刚生产的一批产品（既有正品也有次品）中取出3件产品，设{3件产品全不是次品}，{3件产品全是次品}，{3件产品不全是次品}，则下列结论正确的是（　　） A. A与B互斥 B. A与C互斥 C. A与B对立 D. B与C对立 10. 下列说法正确的是（    ） A ， B. C. 若，则， D. 若是关于x的方程的根，则 11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的是（ ） A. 若，则M为的重心 B. 若M为的内心，则 C. 若，，M为的外心，则 D. 若M为的垂心，，则 三、填空题 12. 已知非零向量，的夹角为，，，则____________. 13. 一组数据的平均值为3，方差为1，记的平均值为a，方差为b，则_________. 14. 在某海域开展的海上演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏西25°方向上的A处，且在C岛的北偏西58°方向上，B市在C岛的北偏西28°方向上，且距离C岛248km，此时，我方军舰沿着AC方向以50km/h的速度航行，则我方军舰到达C岛的小时大约为________h．（参考数据：，，） 四、解答题 15. —只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. （1）搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球概率； （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率. 16. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若． （1）求角； （2）若，的周长为，求的面积． 17. 某消防队为了了解市民对“消防基本常识”的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“消防之星”知识竞赛，满分100分（95分及以上为消防之星”），共有100人荣获“消防之星”称号，将其按年龄分成以下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计这些人平均年龄和第80百分位数； （2）若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人年龄在不同组的概率； （3）若第三组的年龄的平均数与方差分别为36和2，第四组的年龄的平均数与方差分别为46和4，据此计算这100人中第三组与第四组所有人的年龄的方差． 18. 已知向量，函数． （1）求函数的解析式； （2）若，且，求的值； （3）已知，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 19. 1637年，法国数学家笛卡尔发表了《几何学》，在这本书中，笛卡尔提出了著名的笛卡尔坐标系统.笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系.如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系，两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系，如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 达州铭仁园学校2027届下学期第三次月考 （数学） 一、单选题 1. 已知，，且，则等于（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行的充要条件即可求解. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故选：C. 2. 若复数z满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模． 【详解】由题意有，故． 故选：B． 3. 某学校参加志愿服务社团的学生中，高一年级有50人，高二年级有30人，高三年级有20人，现用分层抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了6人，则从高三年级的学生中应抽取的人数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设高三抽取的人数为人，根据分层抽样，列出方程即可求解. 【详解】设高三抽取的人数为人，则，即. 故选：C 4. 如图，在中，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得结果. 【详解】由，可得， . 故选：A. 5. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期以及经过的最值点可得，进而可求解. 【详解】由图象可知, 将代入中得,所以，故， 由于，取，所以， 故选：B 6. 在中，若，且，那么一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 非等边等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得解. 【详解】由已知在中，， 则， 又在中，， 则， 所以，即， 又， 所以， 由中，， 即， 所以， 由， 所以，即， 所以，即为等边三角形， 故选：D. 7. 定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的可能取值是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合辅助角公式可得，根据图像变换结合诱导公式可得，运算求解即可. 【详解】由题意可得：， 将函数的图像向左平移个单位，所得， 因为为偶函数， 则，解得， 可得，结合选项可知：B正确，ACD错误. 故选：B. 8. 设函数，若函数的图象关于点对称，且在区间上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知及函数的对称中心得、，即可得解析式，再由余弦函数的区间值域，结合其图象得，即可得解. 【详解】由函数的图象关于点对称，则且， 所以，，则，即， 当，则，此时， 所以，结合余弦函数的图象知，可得. 故选：B 二、多选题 9. 从刚生产的一批产品（既有正品也有次品）中取出3件产品，设{3件产品全不是次品}，{3件产品全是次品}，{3件产品不全是次品}，则下列结论正确的是（　　） A. A与B互斥 B. A与C互斥 C. A与B对立 D. B与C对立 【答案】AD 【解析】 【分析】可根据互斥事件与对立事件的定义得出结果. 【详解】{3件产品全不是次品}，指的是3件产品全是正品， {3件产品全是次品}， {3件产品不全是次品}，它包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个事件， 由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C的交事件不是，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件． 故选：AD. 10. 下列说法正确的是（    ） A. ， B. C. 若，则， D. 若是关于x的方程的根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】设复数，代入计算可求得结论判断A；利用利用复数的乘方运算求解判断B，利用复数的四则运算法解求得判断C；将代入方程利用复数相等的条件可求解判断D. 【详解】对于A，，设复数，则，， 故，A正确； 对于B，由于，故，B错误； 对于C，由，可得，所以， 所以，所以，故C正确； 对于D，是关于x的方程的根， 故，即， 故，D正确. 故选：ACD. 11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的是（ ） A. 若，则M为的重心 B. 若M为的内心，则 C. 若，，M为的外心，则 D. 若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到，故，同理得到，，所以M为的重心，故A项正确；B选项，设内切圆半径为r，得到，，，代入公式得到；C选项，设的外接圆半径为R，表达出，，，从而得到答案；D选项，求出，设，，由面积比得到，，由三角函数值得到方程，得到，同理得到，利用求出答案. 【详解】对于A，取BC的中点Q，连接MQ， 由，则， 所以， 所以A，M，Q三点共线，且， 设R，T分别为AB，AC的中点，同理可得，， 所以M为的重心，故A项正确； 对于B，由M为的内心，设内切圆半径为r， 则有，，， 所以， 即，故B项正确； 对于C，由M为的外心，设的外接圆半径为R， 又因为，， 所以，，， 所以， ， ， 所以，故C错误； 对于D，延长AM交BC于点D，延长BO交AC于点F，延长CO交AB于点E， 由M为的垂心，，则， 又，则，， 设，，则，， 所以，即， 所以，同理， 故，， ∴ ，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心， 三、填空题 12. 已知非零向量，的夹角为，，，则____________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据垂直的向量表示结合数量积的定义，即可求得答案. 【详解】因为，故， 即， 故答案为：6 13. 一组数据的平均值为3，方差为1，记的平均值为a，方差为b，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平均数和方差运算性质可求出值，再求即可. 【详解】因为一组数据的平均值为3，方差为1， 所以的平均值为，方差为， 所以，，所以. 故答案为: 14. 在某海域开展的海上演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏西25°方向上的A处，且在C岛的北偏西58°方向上，B市在C岛的北偏西28°方向上，且距离C岛248km，此时，我方军舰沿着AC方向以50km/h的速度航行，则我方军舰到达C岛的小时大约为________h．（参考数据：，，） 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合和角的正弦公式求解. 【详解】设我方军舰大约需要x小时到达C岛，则， 依题意，，，， 在中， ， 由正弦定理得，即，解得， 所以我方军舰大约需要4小时到达C岛． 故答案为：4 四、解答题 15. —只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. （1）搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率； （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，用列举法写出摸出的2球的情形，再由古典概型概率公式即可计算概率； （2）用列表法表示出2次摸的情形，再由古典概型概率公式即可计算概率. 【小问1详解】 将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2， 则任意摸出2个球样本空间有：红1红2，红1红3，红1白1，红1白2，红2红3，红2白1，红2白2，红3白1，红3白2，白1白2共10个样本点， 其中2球均为白球事件的样本点只有1个，因此2个球都是白球概率为； 【小问2详解】 搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，列表如图所示： 第2次摸球 第1次摸球 红1 红2 红3 白1 白2 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，红3） （红1，白1） （红1，白2） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，红3） （红2，白1） （红2，白2） 红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，红3） （红3，白1） （红3，白2） 白1 （白1，红1） （白1，红2） （白1，红3） （白1,白1） （白1,白2） 白2 （白2，红1） （白2，红2） （白2，红3） （白2白1） （白2,白2） 所以搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球事件的样本空间共有25个样本点，它们出现的可能性相同， 其中满足事件“2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球”的样本点有12个，所以. 16. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若． （1）求角； （2）若，的周长为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）由已知条件得出的值，结合余弦定理可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【小问1详解】 由及正弦定理得 ， 因为、，所以，可得，则， 故. 【小问2详解】 因为，，所以， 由余弦定理可得， 所以，因此，的面积为. 17. 某消防队为了了解市民对“消防基本常识”的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“消防之星”知识竞赛，满分100分（95分及以上为消防之星”），共有100人荣获“消防之星”称号，将其按年龄分成以下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80百分位数； （2）若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人年龄在不同组的概率； （3）若第三组的年龄的平均数与方差分别为36和2，第四组的年龄的平均数与方差分别为46和4，据此计算这100人中第三组与第四组所有人的年龄的方差． 【答案】（1）平均年龄和第80百分位数为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数估计值以及百分位数估计值的计算公式，可得答案； （2）根据分层抽样，按照比例确定每组抽取的人数，利用概率的加法以及组合数的计算，可得答案； （3）根据平均数的计算公式以及方差的计算公式，可得答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，年龄在的频率为， 年龄在的频率为， 设平均年龄的估计值为， 则，解得， 年龄在的频率为， 设第百分位数估计值为， 则，解得， 综上可得，估计这些人的平均年龄为和第80百分位数为. 【小问2详解】 由频率分布直方图可得第三组，第四组，第五组三组人数的比例为， 由，，， 则分层抽样从第三组，第四组，第五组分别抽取的人数为， 第三组设为，第四组设为，第五组设为，可得下表： 由表格可知总的情况数为，符合题意的情况数为， 从这6人中随机抽取的2人年龄在不同组的概率. 【小问3详解】 由频率分布直方图，第三组与第四组的频率分别为，人数分别为， 第三组与第四组所有人的年龄平均数为， 设第三组每个人的年龄分别为，平均数为， 第四组每个人的年龄分别为，平均数为， 由题意可得，， ，， 即，，，， 第三组与第四组所有人的年龄的方差： . 18. 已知向量，函数． （1）求函数的解析式； （2）若，且，求的值； （3）已知，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示及二倍角公式、两角和的正弦公式化简； （2）依题意可得，结合角的范围得到，再由及两角差的正弦公式计算可得； （3）求出，设，由垂直关系利用向量列出方程，令，结合，得到，求出点的坐标. 【小问1详解】 因为，，函数， 所以 . 【小问2详解】 依题意， 因为，所以，而， 所以， 所以， 所以 ； 【小问3详解】 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象， 则， 假设的图象上存在点使得， 因为， 因为， 所以 ， 令， 因为，所以， 当且仅当时取等， 所以存唯一解，此时，点， 综上，符合条件的点坐标为． 19. 1637年，法国数学家笛卡尔发表了《几何学》，在这本书中，笛卡尔提出了著名的笛卡尔坐标系统.笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系.如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系，两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系，如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 【答案】（1）1； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题设且、的夹角为，应用向量数量积的定义和运算律求向量模长； （2）由题设，，且，应用向量数量积的运算律求的数量积和模长，再由夹角公式求夹角余弦值，即可得； （3）设、（，），且，，，进而有、，可得，在中应用正余弦定理及三角恒等变换化简并求出的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则， 则， 所以. 【小问2详解】 由，，得，， 且， 所以，，， 则，， 因为与的夹角为，则，解得. 又，，所以； 【小问3详解】 依题意，设、（，），且，，， 因为为的中点，则， 因为为中点，同理可得， 所以， 由题意知，， 则， 在中，依据余弦定理得，所以， 代入上式得，. 在中，由正弦定理， 设，则，且， 所以，， ，为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$