精品解析：湖南省长沙市望城区第二中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

2025年上学期高二第三次月考 数学试题 一、单选题 1. 已知条件，条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知函数的定义域为，对于任意实数，满足，且，则（ ） A. 1014 B. 2027 C. 2028 D. 4054 3. 已知＝4， ＝8，与的夹角为120°，则＝（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在点 处的切线与直线和 围成的三角形的面积为（ ） A B. C. D. 1 5. 定义在上函数为递增函数，则头数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设，分别为双曲线C：的左、右焦点，，分别为C的左、右顶点，以为直径的圆与以为直径的圆交于两点，若，则C的离心率为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 7. 已知函数，若对于任意的，都有，则实数的最小值为（ ） A. 6 B. 10 C. 6 D. 10 8. 已知函数，，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多选题 9. 下列给出的四个命题中，是假命题的为（ ） A 任意两个复数都不能比较大小 B. 对任意， C. 若，且，则 D. 若，则 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数小于2”记为事件C．下列说法正确的是（ ） A. A与C互斥 B. B与C对立 C. A与B相互独立 D. 11. 点在以为直径的球的表面上，且，，已知球的表面积是，设直线和所成角的大小为，直线和平面所成角的大小为，四面体内切球半径为，下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. D. 三、填空题 12. 已知集合有且仅有两个子集，则实数__________. 13. 已知向量，，，若A，B，D三点共线，则________． 14. 若存在实数x使得成立，则实数m的最大值为________． 四、解答题 15. 如图，已知单位圆O与x轴正半轴交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且，记，. （1）若，求点坐标； （2）若点A的坐标为，求的值. 16. 已知函数是定义在上的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并利用定义证明． 17. （1）已知，求的值； （2）计算的值； （3）已知角为第四象限角，且满足，求的值． 18. 如图，在四边形中，，，，. （1）求； （2）求. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在极小值，讨论与的大小关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期高二第三次月考 数学试题 一、单选题 1. 已知条件，条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式可分别求得条件，由此可得推出关系，进而确定结果. 【详解】由得：； 由得：，解得：或； ，， 是的充分不必要条件. 故选：A. 2. 已知函数的定义域为，对于任意实数，满足，且，则（ ） A. 1014 B. 2027 C. 2028 D. 4054 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中抽象函数的性质，对所求代数式化简即可得结果. 【详解】对于任意实数，满足，且， 当时，， 即. 故选：C 3. 已知＝4， ＝8，与的夹角为120°，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方的方法求得正确答案. 【详解】 . 故选：A 4. 曲线在点 处的切线与直线和 围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】，所以在点处的切线方程为，它与的交点为，与的交点为，所以三角形面积为 故选：A 5. 定义在上的函数为递增函数，则头数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义域和单调性可知，再根据时的单调性判断出，由此求解出的取值范围.. 【详解】因为，所以时，即，由单调性可知，所以，解得； 当时，为增函数，若单调递增，则只需，所以，解得， 综上可知的取值范围是：， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析函数的定义域和单调性，从而确定出所满足的不等关系，注意将本题与定义域为的分段函数单调性问题作区分. 6. 设，分别为双曲线C：左、右焦点，，分别为C的左、右顶点，以为直径的圆与以为直径的圆交于两点，若，则C的离心率为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两圆的对称性，确定的位置，再由圆的方程求出，即可求解. 【详解】以为直径的圆与以为直径的圆关于y轴对称， 所以为直径的圆与以为直径的圆的交点即以为直径的圆与y轴的交点． 以为直径的圆的方程为，令，得，所以． 因为，所以，解得． 故选： 7. 已知函数，若对于任意的，都有，则实数的最小值为（ ） A. 6 B. 10 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数性质及解析式易知在R上单调递减，且，将不等式化为，即有在上恒成立，进而求参数范围. 【详解】由解析式知，在R上单调递减，且， 又，则， 故在上恒成立，只需， 由，则，所以. 故选：B 8. 已知函数，，若对任意，都有成立，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由解析式、奇偶性定义判断的单调性、奇偶性，再将条件化为在上恒成立，即可求范围. 【详解】由在上单调递增，且，即为奇函数， 所以， 则在上恒成立， 所以. 故选：C 二、多选题 9. 下列给出的四个命题中，是假命题的为（ ） A. 任意两个复数都不能比较大小 B. 对任意， C. 若，且，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的性质、运算公式、复数相等的性质逐一判断即可. 【详解】A：当两个复数为实数时，可以比较大小，故本命题是假命题，符合题意； B：设，所以，因此，显然， 故本命题是真命题，不符合题意； C：当时，显然符合，且，而不成立，故本命题是假命题，符合题意； D：当时，显然符合，但是不成立，故本命题是假命题，符合题意， 故选：ACD 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数小于2”记为事件C．下列说法正确的是（ ） A. A与C互斥 B. B与C对立 C. A与B相互独立 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件的概念可得选项A正确，选项B错误；根据可得选项C正确；计算可得选项D错误. 【详解】样本空间为，事件，事件，事件， A.∵，∴与互斥，A正确. B.∵，∴与不对立，B错误. C.∵，∴， ∵， ∴，与相互独立，C正确. D.∵，∴， ∵，∴，D错误. 故选：AC. 11. 点在以为直径的球的表面上，且，，已知球的表面积是，设直线和所成角的大小为，直线和平面所成角的大小为，四面体内切球半径为，下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，，由线面垂直判定可知A正确；根据，，由线面垂直和面面垂直的判定可知B正确；利用体积桥可求得，知C错误；根据平行关系和异面直线所成角定义可知，由面面垂直性质和线面角定义可知，由长度关系可求得D正确； 【详解】对于A，为球的直径，为球上一点， ，又，，平面， 平面，A正确； 对于B，为球的直径，为球上一点，， 由①知：平面，又平面，， ，平面，平面， 又平面，平面平面，B正确； 对于D，取中点，连接， 分别为中点，，， ，分别为中点，， 又平面，平面， 平面，； 因为球的表面积为，所以， 解得，，； ，，， 又，， 为等边三角形，，则； ，为中点，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，， ，，， ，，D正确. 对于C，，， ，， ，四面体的表面积， 四面体内切球半径，C错误； 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于D选项，根据平行关系和异面直线所成角定义可知，由面面垂直性质和线面角定义可知，由长度关系可求得答案，本题考查了学生的空间想象能力、运算能力. 三、填空题 12. 已知集合有且仅有两个子集，则实数__________. 【答案】1或 【解析】 【分析】结合已知条件，求出的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可. 【详解】若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解， ①当时，，满足题意； ②当时，，所以， 综上所述，或. 故答案为：1或. 13. 已知向量，，，若A，B，D三点共线，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】利用向量坐标线性运算可得，再由向量共线定理有且，列方程求参数m. 详解】由，又A，B，D三点共线， 所以且，则，可得. 故答案为：0 14. 若存在实数x使得成立，则实数m的最大值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】令，转化问题为，进而根据函数的单调性求出，转化问题为，即可求解． 【详解】解：， ， ，， 令， 若存在使得不等式成立， ， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在上单调递增，在上单调递减， ， ， 即， ， 解得：， ， 实数的最大值为1， 故答案为：1． 四、解答题 15. 如图，已知单位圆O与x轴正半轴交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且，记，. （1）若，求点的坐标； （2）若点A的坐标为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用三角函数定义，求角的余弦与正弦值，可得单位圆与终边交点的坐标； （2）先由点在单位圆上求得，再利用三角函数定义与诱导公式求解. 【小问1详解】 ∵， ∴，，故点坐标为. 【小问2详解】 ∵点在单位圆上，得， 又∵点位于第一象限，，则， ∴点A坐标为，即，， ∴， ∴. 16. 已知函数是定义在上的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并利用定义证明． 【答案】(1)；(2)为减函数；证明见解析． 【解析】 【分析】 (1)根据奇函数的定义，即可求出； (2)利用定义证明单调性． 【详解】解：(1)， 由得， 解得． 另解：由，令得代入得： 验证，当时，，满足题意 (2)为减函数． 证明：由(1)知， 在上任取两不相等的实数，，且， ， 由为上的增函数，，，，， 则，． 函数为减函数． 【点睛】定义法证明函数单调性的步骤： (1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)下结论． 17. （1）已知，求的值； （2）计算的值； （3）已知角为第四象限角，且满足，求的值． 【答案】（1）；（2）1；（3） 【解析】 【分析】（1）把待求式用表示后代入计算； （2）由对数的运算法则计算； （3）利用平方关系求解． 【详解】（1）由，得，则，两边平方得， 所以 （2） . （3），， ， 是第四象限角，，， ，. 18. 如图，在四边形中，，，，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求解，然后由平方关系求解即可； （2）由（1）求出，进而求出，然后利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 中，由正弦定理得：； . 【小问2详解】 ， 所以， 所以 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在极小值，讨论与的大小关系. 【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）先求导函数，再分四种情况讨论导函数正负得出函数单调性； （2）结合（1）的结论，分两种情况分别求出函数的极小值，再结合对数函数值范围比较大小关系即可. 【小问1详解】 ， 若，即，则当时，；当时，； 当，即，则恒成立，当且仅当时，； 若，即，则当或时，；当时，； 若，即，则当或时，；当时，. 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在，上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，若存在极小值，则， 且当时，，此时，所以； 当时，， 因为，所以，所以. 综上所述，当时，；当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $