上海市控江中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

2027届上海市控江中学高一年级第二学期期末考试 数学试卷 (考试时间120分钟，满分150分) (诚卷共3页，答题纸共2页) 一、填空题（本大题共12题，第1一6题每题4分，第7一12题每题5分，共54分）考生应在答题纸的相 应位置直接填写结果。 1.若a=1,1),则1al= 2.函数y=sin2x的最小正周期为 3. 在等比数列{an}中，a1=1,a3=2,则ag= 4. 若复数z=+1(1为虚数单位)，则：=一一 5.已知等差数列(a,}的公差为1，前10项和为5，则a,=」 6. 己知坐标平面上的三点A(2,1),B(-3,-2),C3,),则AB在AC方向上的数量投影为 7. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一 半，六朝才得到其关，…”，意思是：有一个人要走378里路，第1天健步行走，从第2天起因为脚 痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.由此可得，该人第6天走了 里 路 8.设复数z满足1z-11=1,则1z+2-il（(i为虚数单位)的最大值为 9.函数y=ine+学coe+导e0孕的严格减区间为 10.已知常数p∈R,函数y=sinx+3cos(x+p)为偶函数，则cos2p=」 11.已知数列(a,)满足a=1,且对任意正整数n,恒有a1-4,∈{0,3n,则a所有可能值的个数 为 一12.在同一平面上，已知两圆仙，仙，的圆心均为0，半径分别为1,2，常数入eR.若在圆以上存在定点A以 及在圆o,上存在定点B,使得对该平面上的任意一个单位向量e,恒有1OAel+IOB·el≤A,则A的 最小值为 二、选择题（本大题共4题，第13一14题每题4分，第15一16题每题5分，共18分）每题有且只有一个 正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 数学试题第1页（共3页） 13.如图，在长方体ABCD-AB,CD中，O、O分别为矩形ABCD、矩形 D AB,C,D对角线的交点，则平面ABC,与平面BB,D的交线为( A.直线00 B.直线OB C.直线OB D.直线OD 14.把函数y=csx的图像向右平移T个单位得到曲线C,再把曲线C,上的所有点纵坐标不变，横坐标变 为原来的2倍得到曲线C2,则曲线C,相应的函数解析式可以是(). A.y=sin2x B.y=-cos2x cy=co吃-孕 D.y=sin 2 15.已知常数AeR,有穷数列{a)共有7项，其通项公式为a.=-2n2+9n+入1≤n≤).对于任意满 足1≤k≤7的正整数k,记6为a,a2,,a,中正数的个数，则下列情形不可能成立的是（） A.b4=1且6=1 B.b=3且6=4 C.b=4且6=4 D.b=5且b6=6 16.己知0为原点，坐标平面上两两不同的4个点A,A,A,A满足A,4,A,A中的任意3点不共线， 0A+0A+0A+0A≠0,10A+0A1=10A+0A1,10A+0A1=104+0A1.对于命题：①存在A,A, 4,A,使得4个向量4A,4,AA,A中的任意2个都不平行；②在10A1,10A1,10A,10A1这4个 数中，一定存在相等的2个数，下列判断正确的是(). A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题 三、解答题（本大题共5题，第17一19题每题14分，第20一21题每题18分，共78分）解答下列各题必 须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 17.(第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知常数a,b∈R,关于x的方程x2+ax+b=0在复数集中有两个虚根. (1)若b=1,求a的取值范围； (2)若其中一个虚根为1+i(i为虚数单位)，求a,b的值. 18.(第1小题满分6分，第2小题满分8分) 在△ABC中，cosA= ’AC=1. 4 (1)若AB=2,求BC的长； 5 (2)若sinC=?,求△ABC的面积， 13 数学试题第2页（共3页） 19.(第1小题满分6分，第2小题满分8分) 某果园有两种水果种植方案.方案一：第1年种植苹果，预计收获量为6吨，以后每年的收获量比上一 年增加0.6吨：方案二：第1年种植梨，预计收获量为8吨，以后每年的收获在上一年的基础上增加4%.果 农小张在第1年初分别采用两种方案开始种植苹果和梨，设第n(n为正整数)年苹果的收获量为a,梨的 收获量为b(单位：吨)，可知a1=6,6=8. (1)求数列{a,)的通项公式： (2)求数列{a。-b,}最大项的值（精确到0.1）以及相应项的序数，并说明其实际意义. 20.(第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 在平面直角坐标系x0y中，A(-3,0),B(3,0),C(0,4),以AB为直径在x轴上方作半圆n.P,Q为D的 AB上的动点，M为x轴上的动点。 (1)求AC的单位向量的坐标： (2)若M的坐标为(4,0).设OP与OB的夹角为0，OP=AM☑+uMC,用0表示Au,并求4的最 大值： (3)若四边形CPMQ为平行四边形，N为线段CM上靠近M的三等分点，求1P0,O亦1的最大值. 21.(第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 对于函数y=f(x),若数列(a.)使得数列{f(an)》是公比为g的等比数列，则称数列(an}是函数y=f()的 “关联数列”，且“关联常数”为g (1)设无穷数列a,)的通项公式为a,=”,判断数列a,)是否为函数y=nx的“关联数列”，并说 2n 明理由： (2)己知a,B∈0，)，有穷数列(a,)共有3项，满足4=a-B,a2=a,6,=a+B.若数列a,)是 函数y=tanx的“关联数列”，且“关联常数”为3，求a,B的值； (3)设定义域为[0，+∞)的函数y=f(x)同时满足：①函数y=f(x,)-2x是以1为周期的周期函数；②对 任意x∈0，)，恒有0<f(倒≤o9x+f兮.问：是否存在公差大于0的无穷等差数列{a,,使得数列a,)是 函数y=f(x)的“关联数列”，且“关联常数”为2？若存在，求{a)的公差：若不存在，说明理由 数学试题第3页（共3页）