精品解析：山东省枣庄市市中区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期期中质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 如图，观察尺规作图的痕迹，若，，则的周长为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 2. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知是等边三角形，中线，交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列数中，能使不等式成立的x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 7. 下列图案可以由一个图形经过平移变换得到的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别为点、，交边于点D．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 中国传统装饰纹样不仅造型美观，更是蕴含着丰富而美好的寓意．下列纹样中文字上方的图案，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将边长为5的正方形沿BC的方向平移至正方形，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 50 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写最后结果． 11. 不等式的最小整数解是________． 12. 如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则______ 13. 世界地球日（The　WorldEarth　Day）即每年的4月22日，是一个专门为世界环境保护而设立的节日．学校为提升学生的环保意识，组织了环保知识竞赛，共25道题，规定：答对一题得4分，答错或不答一题扣1分，在这次竞赛中，小颖被评为优秀（85分或85分以上），则小颖至少答对了______道题． 14. 请写出“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题：_____． 15. 在平面直角坐标系中，将点先向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点，则点的坐标是 __________． 16. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，延长交于点，下列结论： ①；②；③；④． 其中一定正确的是_______．（请你认为正确结论的序号都填上） 三、解答题：本题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 下面是小彬求解一元一次不等式及自我检查的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解答过程 自我检查 解：去分母，得．…第一步 去括号，得．…第二步 移项，得．…第三步 合并同类项，得．…第四步 系数化为1，得．…第五步 第一步正确，其依据是________； 第二步符合去括号法则，也正确； 第三步出错了！ （1）第一步的依据是不等式的一条性质，请写出这一性质的内容：_________________ （2）第三步出错的原因是：______________________________； （3）请从第三步开始，写出正确解答过程． 18. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 19. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，D、E分别在线段BC的延长线和反向延长线上，且AD＝AE． （1）求证：BE＝CD； （2）请从下面A，B两题中任选一题作答我选择题： A．若∠BAC＝60°，∠EAD＝90°，则△AEB的面积为　 　； B．若BE+CD＝BC，∠EAD＝90°，则△AEB的面积为　 　． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）平移，使点的对应点的坐标为． ①请在图中画出平移后的； ②将平移到的过程可描述为：先向左平移_______个单位长度，再_____； （2）请在图中画出关于原点中心对称的，此时与关于某一点中心对称，这一点的坐标为________． 21. 如图，中，，点D是边延长线上一点． （1）尺规作图：过点D作于点E，交于点F（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）； （2）在（1）得到的图中，求证：． 22. 如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． （1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； （2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 23. 综合与探究 问题情境 在“数学活动”课上，老师提出如下问题：将图1中两个全等的直角三角形纸板和重合放置，其中．将绕点顺时针旋转，旋转角为．如图2，当的直角顶点刚好落在边上时，的延长线交于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 数学思考 （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究 （2）老师将继续绕点顺时针旋转到图3位置，作射线交于点．此时“善思小组”的同学认为点是的中点．请判断“善思小组”的观点是否正确，并说明理由． （3）在绕点顺时针旋转的过程中，连接，是否存在某一时刻，使得是一个以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出此时的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网组卷网 2024-2025学年度第二学期期中质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1.本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟， 2.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中 规定的位置上. 3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 4.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的 位置，不能写在试题卷上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用 涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是正确的. 1.如图，观察尺规作图的痕迹，若AB=8,AC=6,则△ADC的周长为() 第1页/共29页 6学科网 组卷网 A D - A.12 B.13 C.14 D.15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的作法及性质等知识.由作图过程可知：BD=DC,再根据 C.ADC=AD+CD+AC=AD+BD+AC=AB+AC 求解即可， 【详解】解：由作图过程可知：BD=DC, C.ADC AD+CD+AC=AD+BD+AC=AB+AC .AB=8,AC=6, .△ADC的周长为AB+AC=14. 故选：C 2.小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案.如图，其中△OAB与△ODC都是等腰 三角形，且它们关于直线I对称，点E,F分别是底边AB,CD的中点，OE⊥OF.下列推断错误的 是() 第2页/共29页 6学科网6组卷网 A.OB LOD B∠BOC=∠AOB C.OE=OF ∠BOC+∠AOD=180° D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等； A.由对称的性质得∠AOB=∠DOC,由等腰三角形的性质得 ∠B0E=5A0B.∠D0F-D0C 即可判断； B.<BOC ∠AOB 不一定等于 ，即可判断： C.由对称的性质得△OAB≌aODC,由全等三角形的性质即可判断； D.过O作GM⊥OH,可得∠GOD=∠BOH,由对称性质得∠BOH=∠COH同理可证 ∠AOM=∠BOH 即可判断： 掌握轴对称的性质是解题的关键 【详解】解：A.OE⊥OF, ∴.∠BOE+∠BOF=90°. 由对称得∠AOB=∠DOC, .E F AB CD△OAB△ODC 点，分别是底边 的中点， 与 都是等腰三角形， ∠B0E=号40B.∠D0F=D0c 第3页/共29页 6学科网命组卷网 .∠BOF+∠DOF=90° ∴.OB⊥OD ,结论正确，故不符合题意； B.ZBOC ∠AOB 不一定等于 ，结论错误，故符合题意： C.由对称得aOAB2aODC, :点E,F分别是底边AB,CD的中点， ..OE=OF ,结论正确，故不符合题意： M G 过O作GM⊥OH, ∴.∠GOD+∠DOH=90° .∠BOH+∠DOH=90° ∴.∠GOD=∠BOH ∠BOH=∠COH ,由对称得 ∴.∠GOD=∠COH 同理可证∠AOM=∠BOH, ∴.∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOM+∠DOG=180° 结论正确，故不符合题意： 故选：B. 3.如图，己知△ABC是等边三角形，中线BE,CD交于点F,则∠BFD的度数为() 第4页/共29页 6学科网命组卷网 F 30° E600 c1200 D1500 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用等边三角形的性质可以求出∠EBC、∠DCB,然后利用三角形外角的性质即可求解 【详解】解：：△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=ACB=60°. BECD、 中线 交于点， :∠EBC=∠DCB=x60=30° :.∠BFD=∠EBC+∠DCB=6O°，故B正确. 故选：B, 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，同时也利用了三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握等 边三角形的性质。 4.若a>b,则() b-a>0 A. B.a-2<b-2 C.-ax-b D.2a>2b 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，直接利用不等式的基本性质即：不等式两边加（或减）同一个数 (或式子)，不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边 乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，分别判断选项得出答案. 第5页/共29页 6学科网 命组卷网 【详解】解：A..a>b, .b-a<0,则此项错误，不符题意： B.a>b, .a-2>b-2,则此项错误，不符题意； C..a>b, ∴.-a<-b,则此项错误，不符合题意； D.a>b, .2a>2b,则此项正确，符合题意： 故选：D 5.下列数中，能使不等式5x-1<6成立的x的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【解析】 7 【分析】本腿考查了解不等式。不等式的解，熟练学握解不等式是解题的关接.解不等式，得到< 以此判断即可. 【详解】解：，5x-1<6, 7 x< .5. ,符合题意的是A 故选A 6数形结合是我们解决数学问腿常用的思想方法。如图，一次函数'=-式-与)=mr+”〈m,” 与 为常 第6页/共29页 6学科网命组卷网 数，m≠0)的图象相交于点，-2)，则不等式-x-1<mr+n的解尖在数轴上表示为《) y-mx+n 102 ● B. -3-2-10 310→ ● _1019 【答案】A 【解析】 【分析】一次函数的交点结合图形得出不等式的解集，即可得解. 【详解】解：~一次函数y=-x-1与y=mr+n(m,n为常数，m≠0)的图象相交于点（山，-2） 不等式 x-1<mx+n x>1 的解集为 .在数轴上表示为 -1012 7.下列图案可以由一个图形经过平移变换得到的是() 【答案】B 第7页/共29页 可学科网命组卷网 【解析】 【分析】此题考查了平移，根据平移变换观察各图案即可得到答案 【详解】解：观察四个图形可知，只有选项B中的图案由一个菱形通过平移变换得到，其它图案都不可以 由一个图形经过平移变换得到， 故选：B. &如图，把△ABC 35°△AB' 绕点C顺时针旋转得到 C,点4、B的对应点分别为点A、B,AB交 AC 边于点D.若∠4DC=95°，则∠A的度数为《) B C A400 B450 C 500 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握旋转的性质，三角形的内角和，根 ∠DCA'=35°∠A=∠A 据旋转的性质，则 ,根据∠4DC=95°，求出∠，即可求解. 【详解】解：△ABC 35°m,△A'B'C 绕点顺时针旋转得到 :∠DCA=35°∠A=∠A ∠ADC=95o :.∠A=180°-∠ADC-∠ACM=500 第8页/共29页 6学科网 命组卷网 :∠A=∠A=50° 故选：C 9.中国传统装饰纹样不仅造型美观，更是蕴含着丰富而美好的寓意.下列纹样中文字上方的图案，是中心 对称图形的是() ●3 D 3海 +5。m 如意纹 双鱼纹 莲花纹 龙纹 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，理解定义：“将图形绕着某一点旋转180°与原图形重合的图形 叫做中心对称图形.”是解题的关键。 【详解】解：A符合中心对称图形的定义，故此项符合题意； B.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意； C.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意； D.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意： 故选：A. I0.如图，将边长为5的正方形ABCD沿BC的方向平移至正方形DCEF,则图中阴影部分的面积是( 第9页/共29页 6学科网命组卷网 A.25 B.30 C.35 D.50 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，平移前后图形的大小，形状完成相同，利用平移的性质求解即可. 【详解】解：由平移的性质可知，把左边正方形的阴影部分向右平移5个单位长度，与右边阴影部凑成一 个完整的正方形， 所以阴影部分的面积=5=25 故选：A 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写最后结果 11.不等式3x>8的最小整数解是 【答案】3 【解析】 8 x> 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，解不等式得3，即可求解；能熟练解一元一次不等 式是解题的关键、 8 x>- 【详解】解： 3, 最小整数解是： 故答案为：3 12.如图，在△ABC中，∠B=80°，点D在△ABC内部，且到三边的距离相等，则∠ADC=· 第10页/共29页 6学科网命组卷网 【答案】130 【解析】 【分析】本题考查了三角形角平分线交点的性质，三角形内角和定理等；由三角形角平分线交点的性质得 点D是△ABC的角平分线的交点，从而可 ∠CAD=)∠BAC.ACD-AC8,由三角形内角和定 2 理得∠ADC=180°-（∠CMD+∠1CD),即可求解：学握性质和定理是解题的关键， 【详解】解：：点D在△ABC内部，且到三边的距离相等， .D△ABC 点是 的角平分线的交点， ∴∠CAD=∠BAC 2 LACD-LACB ∠B=80° ∴.∠BAC+∠ACB =180°-80° =100° :.∠CAD+∠ACD =(∠BAC+∠ACB) =50° 第11页/共29页 6学科网命组卷网 ∴.∠ADC=180°-（∠CAD+∠ACD) =180°-50° =130°： 故答案：130 13.世界地球日(The WorldEarth Day)即每年的4月22日，是一个专门为世界环境保护而设立的节日. 学校为提升学生的环保意识，组织了环保知识竞赛，共25道题，规定：答对一题得4分，答错或不答一题 扣1分，在这次竞赛中，小颖被评为优秀(85分或85分以上)，则小颖至少答对了道题 4.22 世界地球日 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用设小颜答对了x道题，则他答错或不答的共有25-)题，根 据题意，列出不等式，求解即可得到答案 【详解】解：设小颖答对了x道题，则他答错或不答的共有 25-x)题， 4x-(25-x)×1≥85 解得x≥22 答：小颖至少答对了22道题. 故答案为：22 14.请写出“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题：一 【答案】等边三角形的三个角都相等。 【解析】 【分析】把原命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的题设与结论进行交换即可. 【详解】“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题为 “等边三角形的三个角都相等”， 故答案为：等边三角形的三个角都相等。 第12页/供29页 6学科网6组卷网 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命 题；经过推理论证的真命题称为定理.也考查了逆命题， 15、在平面直角坐标系中，将点1(-2,3 先向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点A', 则点A的坐标是 【答案】 (2,0) 【解析】 【分析】根据点平移的规律解答即可. 【详解】解：点4(-2,3)先向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度所得点的坐标为 (-2+4,3-3),即4(2,0) (2,0) 故答案为： 【点睛】此题主要考查坐标与图形变化-平移，掌握点的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标 上移加，下移减是解题的关键， 16.如图，△ABC中，∠B=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,点A,B的对应点分别 为D,E,延长BA交DE于点F,下列结论： ①∠ACB=∠ACD;②AC∥DE:③AB=EF;④BF⊥CE 其中一定正确的是 (请你认为正确结论的序号都填上) A B 【答案】④ 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相 第13页/共29页 命学科网命组卷网 关性质内容是解题的关键.先根据旋转性质得∠BCE=∠ACD=60°，结合∠B=30°，即可得证 BF⊥CE 根据图形性质以及角的运算，线段的运算，平行线的判定，得出①②③是错误的即可. 【详解】解：设BF与CE相交于一点H,如图所示： A B :△ABC中，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC, .∠BCE=∠ACD=60°，∠E=∠B=30°， .在△BHC中，∠BHC=180°-∠BCE-∠B=90°， .BF⊥CE,故④正确； .∠ACB=60°-∠ACE,∠ACD=60°，∠ACE不-定等于0° :.∠ACB=∠ACD不一定成立，故①不正确： :将AAB C绕点C顺时针旋转60得到△DEC ∴.AB=ED=EF+FD .BA>EF,故③不正确： .∠ACB≠30°， .∠ECA≠60°-30°， 即∠ECA≠30°， 第14页/供29页 6学科网命组卷网 .∠E≠∠ECA,则②AC∥DE不成立；故②不正确： 综上分析可知：正确的结论有④， 故答案为：④ 三、解答题：本题共7小题，满分72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 1-x+1、x-3 17.下面是小彬求解一元一次不等式25及自我检查的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 解答过程 自我检查 解：去分母，得10-5(x+)>2(x-3) 第一步 去括号，得10-5x-5>2x-6.…第二步 第一步正确，其依据是 移项，得-5x+2x>10+5-6.…第三步 第二步符合去括号法则，也正确： 第三步出错了！ 合并同类项，得-3x>一9.第四步 系数化为1，得x<3.…第五步 (1)第一步的依据是不等式的一条性质，请写出这一性质的内容： (2)第三步出错的原因是： (3)请从第三步开始，写出正确解答过程。 【答案】(1)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变 (2)移项没有变号 (3) 移项，得：-5x-2x>-10+5-6, 合并同类项，得-7x>-11, 11 系数化为1，得x<7. 【解析】 【分析】(1)根据解一元一次不等式的一般步骤，第一步去分母，依据是不等式的基本性质2： 第15页/共29页 学科网命组卷网 (2)第三步是移项，移项时注意要变号： (3)根据第三步移项，第四步把x的系数化为1，解不等式即可，注意不等号方向的变化 【小问1详解】 解：一步的依据是不等式性质2，不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变， 故答案为：不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变. 【小问2详解】 第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：移项没有变号， 故答案为：移项没有变号. 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解法，解一元一次不等式的依据是不等式的基本性质，注意不 等式两边同除以一个负数，不等号方向发生改变. x-1≥0 18.解不等式组： x+1 <2,并把它的解集在数轴上表示出来. 2 【答案】1≤x<3, 解集在数轴上表示如图， 2024→ 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确的计算是解题的关键.分别 求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等 式组的解集，并把解集表示在数轴上即可求解. x-1≥0① 【详解】解： x+1 <2② 由①得：x≥1，由②得：x<3, ∴.原不等式的解集为1≤x<3 19.如图，在△ABC中，AB=AC=4,D、E分别在线段BC的延长线和反向延长线上，且AD=AE, 第16页/共29页 6学科网组卷网 (1)求证：BE-CD: (2)请从下面A,B两题中任选一题作答我选择题： A.若∠BAC=60°，∠EAD=90°，则△AEB的面积为： B.若BE+CD=BC,∠EAD=90°，则△AEB的面积为_ 【答案】 (1)证明：过点A作AF⊥ED于F, ·AB=AC ..BF=CF AD=AE. ∴.EF=DF, ∴.EF-BF=DF-CF 即BE=CD .BE=CD 6 (2)A:6-2V3:B:5 【解析】 【分析】(I)过点A作AF⊥ED于F,则AF垂直平分BC和ED,进而可求得BE=CD 第17页/共29页 命学科四命组卷网 【详解】(1)略 (2)A: .AB=AC=4,∠BAC=60° ∴.BC=AB=4 BF=1BC=2. 2 AF=AB2-BF2=42-22=213 AE=AD ,∠BAD=90.EF=FD :.AF=1ED 2 ..ED=2AF=43 .EB=CD B-eD-ag43-0-25-2 i.Sum-EBx AF 2×(25-2)x25 =6-2√3 E F B 第18页/供29页 6学科网命组卷网 BE+CD=BC .BE=CD BF=CF ∴.EB=BF=CF=CD AE=AD ∠BAD=90,EF=FD AF=1ED 2 :BF=1EF-1AF 2 .AB=BF2+AF2=5BF AB=4. BE=BF= F=85 5, 5, 25 5 16 故答案为4：6-2V3;或者B:5. 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质， 二次根式的乘法运算，掌握以上知识点是解题的关键 20,如图，在平面直角坐标系中，△4BC的顶点坐标分别为4(-1,4)，B(-3,3),C(Q,) 第19页/共29页 6学科网命组卷网 (1)平移△ABC,使点A的对应点4的坐标为(-3,0) △4B,C ①请在图中画出平移后的 ②将4ABC 平移到 48，G的过程可描述为：先向左平移—一个单位长度，再一： (2)请在图中画出△ABC关于原点中心对称的 △4，B,C,此时△44G与△4，B,C关于某一点中心对 称，这一点的坐标为。 【答案】(1) ①如图， △ABC 即为所求； ②2；向下平移4个单位长度 (2) 如图， △A,B,C2即为所求： 连接44，BB,CC的交点为(-1，-2) 第20页/共29页 6学科网命组卷网 故答案为：（1，-2) B 【解析】 【分析】本题主要考查中心变换和平移变换，熟练掌握中心变换和平移变换的定义是解题的关键 (1)①根据平移的性质得出坐标，进而画出图形即可： ②根据平移的性质即可求解； (2)根据中心对称的性质，连接44，BB,CC的交点就是对称中心. 【小问1详解】 解：(1)①略 ②由图形得，将△MBC平移到 △4BC 的过程可描述为：先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位 长度 故答案为：2；向下平移4个单位长度. 【小问2详解】 略 21.如图，△ABC中，AB=AC,点D是边BA延长线上一点. A B (1)尺规作图：过点D作DE⊥BC于点E,交AC于点F(要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法： 如果完成有困难，可画出草图后解答(2)题)； 第21页/共29页 命学科网命组卷网 (2)在(1)得到的图中，求证：AD=AF. 【答案】(1) 如图，DE为所求. D A B (2) 证明：DE⊥BC, .∠DEB=∠DEC=90°， :.∠B+∠BDE=90°，∠C+∠CFE=90°， AB=AC. .∠B=∠C, .∠BDE=∠CFE, .∠CFE=∠AFD, .∠BDE=∠AFD, .AD=AF. 【解析】 【分析】本题考查尺规作图一作垂线，等腰三角形的判定及性质. (1)根据尺规作图一作垂线的方法作图即可： (2)由DE⊥BC可得∠DEB=∠DEC=90°，∠B+∠BDE=90°，∠C+∠CFE=90°，又由 AB=AC,∠B=∠C ∠BDE=∠CFE=∠AFD 得到 ,从而 ,因此得证 AD=AF 【小问1详解】 第22页/供29页 6学科网 组卷网 略 【小问2详解】 略 22.如图，书架宽84cm,在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm,每本 语文书厚l.2cm 84cm (1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本： (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 【答案】(1)书架上有数学书60本，语文书30本. (2)数学书最多还可以摆90本 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量 关系，设出未知数，列出方程 (1)首先设这层书架上数学书有本，则语文书有 (90-x) 本， 根据题意可得等量关系：无本数学书的厚 +(90-x) =84 度 本语文书的厚度，根据等量关系列出方程求解即可： (2)设数学书还可以摆本，根据题意列出不等式求解即可. 【小问1详解】 解：设书架上数学书有x本，由题意得： 0.8x+1.2(90-x)=84 解得：x=60 90-x=30 第23页/共29页 命学科网组卷网 .书架上有数学书60本，语文书30本. 【小问2详解】 设数学书还可以摆本， 根据题意得：1.2×10+0.8m≤84， 解得：m≤90 ∴数学书最多还可以摆90本. 23.综合与探究 问题情境 在“数学活动”课上，老师提出如下问题：将图1中两个全等的直角三角形纸板△ABC和△EBD重合放置， 其中∠ACB=∠EDB=90°，AC=ED=4,BC=BD=3.将△EDB绕点B顺时针旋转，旋转角为 ax(0°<a<360°) 如图2，当△BDE的直角顶点D刚好落在边AB上时，ED的延长线交AC于点F, 试判断DF与FC的数量关系，并说明理由 数学思考 (1)请你解答老师提出的问题. 深入探究 (2)老师将△EDB继续绕点B顺时针旋转到图3位置，作射线CD交AE于点N.此时“善思小组”的 同学认为点N是AE的中点.请判断“善思小组”的观点是否正确，并说明理由. (3)在△EDB绕点B顺时针旋转的过程中，连接AD,AE,是否存在某一时刻，使得△ADE是一个以 AE为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出此时AD的长；若不存在，请说明理由， 第24页/共29页 可学科网命组卷网 D A(E) C(D) 图1 图2 图3 备用图 【答案】(I)DF=CF, 解法1：连接BF, :∠BDF=∠BCF=90° B BC=BD BF=BF :RtADBFS≌RtCBF(H) DF=CF」 解法2：根据题意，得AB=BE=V32+42=5 AC=.C0s4=AC4 六AD=AB-BD=2,amA=C=3 AB 5, :tanA=DF、3 AD:C0s4=AD 4 AF 5, 24F=245 DF=2x3 33 52, CF=AC-AF=3 2 第25页/供29页 6学科网组卷网 .DF=CF, (2)解：过点E作EG∥AC,交CN的延长线于点G, 则∠G=∠ACN. :△EDB继续绕点B顺时针旋转到如图位置，作射线CD交AE于点N, BC=BD,ED=AC∠EDB=∠ACB=90° .∠BDC=∠BCD,∠BDC+∠EDG=90°，∠BCD+∠ACN=90°， .∠EDG=∠ACN, :.∠EDG=∠ACN=∠EGD, .EG=ED=AC, ∠ANC=∠ENG ∠ACN=∠G CA=GE :△GNE≌aCNM(AAS) .AN NE, 点N是AE的中点 第26页/共29页 6学科网 组卷网 8vV13 (3)13或213 【解析】 【分析】d解法I连接BF,证明RtADBFS≌RtCBF(HL)即可： 解法2根据勾股定理，得AB=BE=V3+4=5,得到AD=AB-BD=2,利用三角函数求得 DF,CF 的长度，比较解答即可. (2)过点E作EG∥AC,交CV的延长线于点G,则∠G=∠ACN,根据旋转的性质，等腰三角形的 判定和性质，余角的性质，三角形全等的判定和性质，证明即可. (3)当∠EAD=90°，根据旋转的性质，得BA=BE,取EA的中点N,连接BN,交ED于点P,利用等 腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，三角函数的应用解答即可： 当∠AED=90°，根据旋转的性质，得BA=BE,取EA的中点M,连接BM,交AD于点O,则 BM⊥EA,根据矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段 成比例定理解答即可. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：当∠EAD=90°， 根据旋转的性质，得BA=BE, 取EA的中点N,连接BN,交ED于点P, 则BN⊥EA, .BN∥AD,∠ENP=90° 第27页/共29页 命学科网命组卷网 D ÷-0T,2PEN=90°-∠EPN=90°-∠BPD=∠DBP☐ :EP=PD-1ED-2 2 PB=PD2+BD2=13 :sin∠PEN=sin∠DBP=AD_PD ED PB AD 2 .4V13, ,AD=83 解得 13: 当∠AED=90°， 根据旋转的性质，得BA=BE, 取EA的中点M,连接BM,交AD于点O, 则BM⊥EA, .BM∥DE,四边形BMED是矩形， B D M 第28页/共29页 6学科网命组卷网 AM42=1 ∴.MEQD,BD=ME=AM=3, :.40=OM2+AM2=13 :AD=2A0=2V3 8V13 综上所述，AD的长为13或2√3. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理的应用， 三角函数的应用，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，平行线分线段成比例定理， 熟练掌握性质和定理是解题的关键. 第29页/共29页