精品解析：江西省宜春市上高二中2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

2027届高一年级第二次数学阶段性测试5.30 一、单选题 1. 集合，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】易知，即可判断. 【详解】有已知， 则， 故选：C. 2. 已知，，其中，的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量投影的概念直接计算. 【详解】由，，其中，的夹角为， 则在方向上的投影的数量为， 所以在方向上的投影向量为， 故选：D. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：根据向量线性运算与数量积的坐标运算直接计算；法二：利用转化法结合数量积的坐标运算公式直接计算. 【详解】方法一：因为，，所以， 所以； 方法二：由，， 则，， 又， 所以，即； 故选：B. 4. 已知，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角恒等变换公式化简，结合函数单调性比较大小. 【详解】化简可得，由，则，即； ， ，由，则，即， 所以， 故选：D. 5. 已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法及乘法运算化简，利用纯虚数的定义解得参数，再根据复数的乘方计算，结合周期性求值即可. 【详解】由题意可得， 因为是纯虚数，所以，解得. 则，又，，，， 则时，，，，， 即有时，， 故. 故选：B. 6. 如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件连接，取的中点，连接,，作出异面直线所成的角，利用余弦定理求解即可. 【详解】连接，取的中点，连接,， 由题意知，，则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 7. 如图，已知用斜二测画法得到的水平放置的直观图为，已知是周长为6的正三角形，则的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法规则及正弦定理，可得原三角形的底边及高. 【详解】因为，所以， 所以的面积是． 故选：D 8. 如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点O．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用共线定理结合平行四边形法则和已知条件，设，，利用平面向量基本定理求出的值，进而利用平面向量的数量积运算求得的值. 【详解】因为在上，所以与共线，设， 又D是BC的中点，所以，所以，， 因为，所以，所以， 又因为三点共线，所以存在，使得，， 所以，解得， 所以， 所以， 即，所以. 故选：A. 二、多选题 9. 如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理确定正确选项． 【详解】对于A，连接,由下图可知，平面，平面，所以平面，A正确． 对于B，设是的中点，是的中点，由下图，结合正方体的性质可知，，，，故六边形为正六边形，所以，，，，，六点共面，B错误． 对于C，如下图所示，根据正方体的性质可知，由于平面，所以平面，所以C错误． 对于D，设，由于四边形是矩形，所以是中点，由于是中点，所以， 由于平面，平面，所以平面，D正确． 故选：AD． 10. △ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列与△ABC有关的结论中正确的是（ ） A. 若，，，则满足条件的三角形有2个 B. 若，则△ABC是等腰三角形 C. 若△ABC是锐角三角形，则 D. 若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，可得结论判断A；根据正弦定理化简得，进而计算可判断B；根据题意得，结合在为单调递减函数，可判断C，设的中点为，的中点为，根据向量的运算，得到，结合三角形的面积公式，可判断D. 【详解】对于A，若，，，则， 所以满足条件的三角形有2个，故A正确； 对于B，因为，由正弦定理得，即， 因为，，可得或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故B不正确； 对于C中，由是锐角三角形，可得， 所以，又因为在为单调递减函数， 所以，所以C正确； 对于D中，如图所示， 设的中点为，的中点为， 因为，即， 可得，即，所以点是上靠近的三等分点， 所以点到的距离等于到的距离的， 又由到的距离为点到的距离的倍， 所以到的距离等于点到距离的， 由三角形的面积公式，可得，即，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，正方体的棱长为1，，，分别为线段，，上的动点（不含端点），则（ ） A. 异面直线与成角可以为 B. 当为中点时，存在点，使直线与平面平行 C. 当，为中点时，平面截正方体所得的截面面积为 D. 存在点，使点与点到平面的距离相等 【答案】BC 【解析】 【分析】根据异面直线夹角的求解方法，线面平行的判定，以及正方体的截面面积的计算，结合几何体的结构特点，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：因为//，故与的夹角即为与的夹角， 又当与重合时，取得最大值，为； 当与点重合时，取得最小值，设其为，则，故； 又点不能与重合，故，故A错误； 对B：当为中点时，存在分别为的中点，满足//面，证明如下： 取的中点为，连接，如下所示： 显然//，又面面，故//面； 又易得//，面面，故//面； 又面，故面//面， 又面，故//面，故B正确； 对C：连接，如下所示： 因为////，故面即为平面截正方体所得截面； 又，故该截面为等腰梯形，又，， 故截面面积，故C正确； 对D：连接，取其中点为，如下所示： 要使得点到平面的距离等于点到平面的距离，只需经过的中点，显然当点分别为所在棱的中点时，不存在这样的点满足要求，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12. 已知的内角的对边分别为，且，，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求出角，再利用可求得答案. 【详解】由余弦定理，知. 因为，所以， 所以. 故答案为： 13. 函数图象的对称中心是____________________． 【答案】 【解析】 【分析】用辅助角公式化简函数，结合三角函数对称中心的性质求解. 【详解】 ，令， 所以函数的对称中心为. 故答案为： 14. 已知函数满足对任意的都有．若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到的图象关于直线对称，从而三角函数的性质得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为，则在取得最值， 所以的图象关于直线对称，且， 又函数在区间上有且仅有一个零点，设的最小正周期为， 所以，即，所以. 故答案为： 四、解答题 15. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出； （2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出； （3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出． 【小问1详解】 因为，即，而，代入得，解得：． 【小问2详解】 由（1）可求出，而，所以，又，所以． 【小问3详解】 因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 16. 如图所示，在边长为的正方形ABCD中，E，F分别是AB和BC的中点． （1）求证：（用向量法证明）； （2）设，求的值． （3）若点P（不与点E重合）为正方形ABCD边上的动点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）证明： 以直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， ，， 所以. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量垂直的坐标表示推理得证. （2）利用向量线性运算的坐标表示，结合相等向量列式求解. （3）按点的不同位置设出其坐标，利用数量积的坐标表示列式求出范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 由，得，解得， 所以. 【小问3详解】 由（1）知， 当在线段上时，设，，； 当在线段上时，设，， ； 当在线段上时，设，，； 当在线段上时，设，， ， 所以的取值范围是. 17. 如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成. （1）求的解析式； （2）已知，求的取值范围； （3）若方程存在实数解，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象过点，求出即可求得的解析式； （2）根据幂函数的单调性，即可求出的取值范围； （3）根据函数的零点与方程解的关系将问题转化为图象的交点问题即可求解. 【小问1详解】 由题意得，解得，所以. 【小问2详解】 因为在上单调递减，且， ，解得. 【小问3详解】 存在实数解，即有解， 即函数的图象与函数的图象有交点， 所以，解得或. 故的取值范围为. 18. 已知函数． （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）若关于x的方程在内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围． 【答案】（1），； （2）[1，2)． 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简，进而由整体法即可求解单调区间 （2）将问题转化成函数与的图象在内有两个交点，结合三角函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 ． 令， 解得． 因为，取得和 所以的单调递增区间为，． 【小问2详解】 依题意，得， 所以，即函数与的图象在内有两个交点． 因为，所以，令 则， 故问题进一步转化为函数与的图象在内有两个交点． 当时，单调递增，当时单调递减， 在同一直角坐标系系中，函数与的图象如图： 结合图象可知：当函数与由两个交点，则， 综上可知，所以实数t的取值范围是[1,2)． 19. 如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）平面与侧棱相交于点，求的值． 【答案】（1） 连接， 在中，，，且， 又，，且， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 所以平面. （2） 由（1）得，又平面，平面， 平面， 在中，，， 又平面，平面，平面， 又因且均在平面中， 平面平面. （3）2 【解析】 【分析】（1）连接，证明四边形为平行四边形，即得，再由线线平行证明线面平行即可； （2）由（1）得，证得平面，再证，即可证平面，最后由线面平行推出面面平行； （3）由（1）已得，可证平面，又因面，由线面平行的性质可推得，继而得到，利用平行线分线段成比例定理即可求得的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知，又面，面，平面， 又平面，面面， ，又，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高一年级第二次数学阶段性测试5.30 一、单选题 1. 集合，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，其中，的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则（ ） A. 0 B. C. D. 6. 如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知用斜二测画法得到的水平放置的直观图为，已知是周长为6的正三角形，则的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 8. 如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点O．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 二、多选题 9. 如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（ ） A. B. C. D. 10. △ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列与△ABC有关的结论中正确的是（ ） A. 若，，，则满足条件的三角形有2个 B. 若，则△ABC是等腰三角形 C. 若△ABC是锐角三角形，则 D. 若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则 11. 如图，正方体的棱长为1，，，分别为线段，，上的动点（不含端点），则（ ） A. 异面直线与成角可以为 B. 当为中点时，存在点，使直线与平面平行 C. 当，为中点时，平面截正方体所得的截面面积为 D. 存在点，使点与点到平面的距离相等 三、填空题 12. 已知的内角的对边分别为，且，，，则______. 13. 函数图象的对称中心是____________________． 14. 已知函数满足对任意的都有．若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是________． 四、解答题 15. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 16. 如图所示，在边长为的正方形ABCD中，E，F分别是AB和BC的中点． （1）求证：（用向量法证明）； （2）设，求的值． （3）若点P（不与点E重合）为正方形ABCD边上的动点，直接写出的取值范围． 17. 如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成. （1）求的解析式； （2）已知，求的取值范围； （3）若方程存在实数解，求的取值范围. 18. 已知函数． （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）若关于x的方程在内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围． 19. 如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）平面与侧棱相交于点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $