精品解析：河南省商丘市柘城县2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试题

2025年春九年级期中质量检测 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形 形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．本套试卷共6页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟． 3．本试卷上不要答题！请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的 1. 如图，数轴上点表示的数的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴表示有理数，求一个数的绝对值，根据点表示的数是，进而根据绝对值的意义，即可求解． 【详解】解：点表示的数是， ∴数轴上点表示的数的绝对值是， 故选：A． 2. 国产电影《哪吒二之魔童闹海》不仅是一部视觉盛宴，更是一部充满哲思的作品．它从个人成长社会结构到命运选择，层层递进．据网络平台数据，截至2025年3月14日14时，《哪吒二之魔童闹海》全球票房已超亿元，其中海外票房突破2亿元，正在冲击全球票房榜第5位！其中，数据“亿”用科学记数法应表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿用科学记数法表示为， 故选：B． 3. 如图是一款婴儿车的平面示意图，其中，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．根据三角形的外角性质即可求出，进而根据平行线的性质得出． 【详解】解：∵ ∵， ∴ 故选：D． 4. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．先将括号内分式通分并相减，再进行约分即可． 【详解】解：原式 ， 故选：C． 5. 若关于的不等式组，的整数解共有个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的解法，根据题意得出的取值范围是解题的关键；根据解不等式组可得，，然后根据题意只有个整数解，可得的范围． 【详解】解不等式，得：， 则不等式组的解集为． ∵不等式组的整数解只有个，即，， ∴． 故选：D． 6. 如图，已知四边形是平行四边形，是的中点，连接，与相交于点，过点作交于点．若，则的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，根据平行四边形的性质可得，，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使点，，的坐标分别为，，，则当时，点的坐标有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系，点的平移、在坐标系中确定点的坐标，根据点，的坐标可确定原点的位置，再作平面直角坐标系即可，根据点的平移，从而可确定点的坐标． 【详解】解：如图， ∵点，，的坐标分别为，，， ∴到的平移方式为向右平移个单位向下平移个单位， 将点向右平移个单位向下平移个单位得到 ∵当时，点的坐标有可能是 故选：B． 8. 点,都在二次函数的图象上，若，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式得出对称轴为直线，根据，得出不等式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点,都在二次函数的图象上，， ∴， 解得：； 故选：D． 9. 如图，半径为的扇形中，为的中点，连接，．已知的长度为，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式及菱形的性质是解答此题的关键．证明，得出，则图中阴影部分的面积为扇形的面积，根据已知求得圆心角，进而根据扇形面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， ∵为的中点， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵半径为的扇形中，的长度为，设 ∴， 解得： ∴ ∴图中阴影部分的面积为 故选：A． 10. 高精度压力测力仪广泛应用于工业制造、航空航天等领域．如图1是某压力测力仪的电路原理示意图，是一种新型电子元件，在压力不超过的前提下，其阻值随压力大小的变化规律如图2所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 在仪表量程范围内，压力越大，的阻值越小 B. 在仪表量程范围内，压力每增大，随之增大 C. 当时，的阻值为 D. 在仪表量程范围内，电阻与压力成一次函数关系 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质的应用；根据函数图象得出电阻与压力的函数关系,结合选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 由图2知在仪表量程范围内，压力越大，的阻值越小，故该选项正确，符合题意； B. 在仪表量程范围内，压力每增大，随之减小，故该选项不正确，不符合题意； C. 当时，的阻值为，故该选项正确，符合题意； D. 在仪表量程范围内，电阻与压力成一次函数关系，故该选项正确，符合题意； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若正比例函数图象经过点，则该图象上另一个点B的坐标可以为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式以及利用正比例函数解析式求图象上点的坐标． 根据点的坐标利用待定系数法即可求出正比例函数解析式，再把代入，解之即可得出结论． 【详解】解：设正比例函数的表达式为， ∵正比例函数的图象经过点， ∴ ∴ 当时，得 ∴该图象上另一个点B的坐标可以为． 故答案是：（答案不唯一）． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查根的判别式，解题的关键是根据题意列出方程求解． 由方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可得到关于m的方程，则可求得m的值． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ∴， 解得． 故答案为：． 13. 置换反应是一种单质与一种化合物反应，生成另一种单质和另一种化合物的反应．某次化学实验课上，老师分别用三个相同的不透明容器装着，，三种金属，让同学们随机选择一种与盐酸反应制取氢气，根据金属活动顺序可知，，可以置换出氢气，而不能．甲同学从三种金属中随机选择一种金属进行实验，将三个容器的顺序打乱后，乙同学再随机选择一种金属进行实验，则两人所选金属都能置换出氢气的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求概率，熟练掌握用画树状图法求概率是解题的关键． 画树状图得到共有种等可能的情况，其中两人所选金属都能置换出氢气的情况有种，根据概率公式计算即可得到答案． 【详解】解：画树状图如下， 共有种等可能的情况，其中两人所选金属都能置换出氢气的情况有种， 两人所选金属都能置换出氢气的概率为， 故答案为：． 14. 图1是一张菱形纸片，分别是边上的点．将该菱形纸片沿折叠得到图，的对应边恰好落在直线上，已知，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由的对应边恰好落在直线上可知，再证明是等边三角形后，过点作的垂线，垂足为，求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∵的对应边恰好落在直线上， ∴到、的距离相等， ∴，点，是边，的中点， ∴四边形、是平行四边形，， ∴． 由折叠知， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 过点作的垂线，垂足为，如图： ∵，， ∴， ∴四边形的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，三角函数，等边三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 15. 如图，在等腰三角形中，，，D为平面内一点，连接，，且，连接，则的最小值为______，最大值为______． 【答案】 ①. 1 ②. 7 【解析】 【分析】根据题意，得，，得点D的运动轨迹是以为直径的，且的半径为2，连接，并延长交于点E，F，利用的等腰三角形的性质，勾股定理，圆的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴点D的运动轨迹是以为直径的，且的半径为3， 如图所示，连接，并延长交于点E，F， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴当点D与点E重合时，有最小值1，当点D与点F重合时，有最大值7， 故答案为：1，7． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）首先计算有理数的乘方，化简绝对值，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减即可； （2）先去括号，再合并同类项求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查有理数的乘方，化简绝对值，零指数幂和负整数指数幂，整式的加减混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 17. 为了提高学生的森林防火意识，某校组织了一场森林防火知识竞赛，现从本校的九年级和八年级中各随机抽取m名学生进行测试，将其测试成绩x（满分100分，不低于90分的为优秀）进行整理，分为五个等级，其中A．；B．；C．；D．；E．．现对九年级和八年级抽取的学生的测试成绩进行统计． C．八年级抽取学生的测试成绩在等级D的数据分别为： 81，81，83，85，85，85，87，88； D．八、九年级抽取学生的测试成绩的统计量如下： 年级 平均数 中位数 方差 九年级 86 85 14.5 八年级 85 p 16.7 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）在本次测试中自己的成绩在本年级可以排在前，小亮看到小明的成绩后说：很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前，由此判断小明是______（填“八”或“九”）年级的学生． （3）结合上表中的统计量，对两个年级的测试成绩进行评价．（写出一条理由即可） 【答案】（1）20，20，82 （2）八 （3） 因为九年级学生测试成绩的平均数高于八年级，且方差小于八年级， 所以九年级学生的成绩更好且更稳定． (答案不唯一，合理即可)． 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、方差，解题的关键是熟练掌握平均数、中位数的定义，准确计算． （1）用八年级抽取学生的测试成绩在等级D的个数除以所占的百分比即可求出调查的总人数m；用1减去其他组所占的百分百即可求出n的值；根据中位数的定义即可求出p； （2）前8名的成绩可以在本年级排在前，然后根据八年级抽取学生的测试成绩第8名的成绩和中位数以及小亮的说法判断即可； （3）根据平均数和方差判断即可． 【小问1详解】 解： ∴； ∵一共有20个数据 ∴中位数为第10个数据和第11个数据的平均数 ∴中位数； 【小问2详解】 解：∵ ∴前8名的成绩可以在本年级排在前， ∵八年级抽取学生的测试成绩第8名的成绩为85，中位数是82，九年级抽取学生的测试成绩的中位数为85， ∵小亮看到小明的成绩后说：很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前 ∴小明是八年级的学生； 【小问3详解】 略 18. 如图，在中，．请完成如下操作：①在上取一点D，使得；②过点D作的垂线交于点E，连接． （1）完成以上尺规作图；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的长． 【答案】（1） 如图，即为所求作的图形． （2） 【解析】 【分析】（1）利用尺规作线段和垂直平分线的方法求解即可； （2）首先勾股定理求出，然后求出，方法一：证明出，得到，设，则，根据勾股定理求解即可；方法二：证明出，得到，然后代数求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，， ． 由作图，得， ． 方法一：在和中， ， ． 设，则． ， ， 即，解得． 的长为3． 方法二：， ， ，即，解得． ． 【点睛】此题考查了尺规作线段和垂直平分线，勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 19. 如图，为等边三角形，点B的坐标为，C为的中点，且在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的解析式； （2）若将向左平移，使得点A落在反比例函数的图象上，求平移的距离； （3）若反比例函数的图象与边交于点D，请直接写出点D的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，中点坐标公式以及反比例函数与一次函数的综合运用： （1）过点作轴于点，求出点的坐标，点的坐标，代入即可求出反比例函数解析式； （2）设点平移的距离为，则平移后的点的坐标为代入反比例函数解析式，求出的值即可； （3）求出的解析式，联立方程，求出的值即可解决问题． 【小问1详解】 解：过点作轴于点，如图， ∵点B的坐标为， ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵为的中点， ∴，即 ∵反比例函数图像过点C ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设点平移的距离为，则平移后的点的坐标为， 代入得：， 解得，， 即点平移的距离为； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立方程得：， 解得，，（不符合题意，舍去） 当时，， ∴点坐标为． 20. 数学兴趣小组的同学发现在某劳模主题公园大门处放置一排同样大小的球形石墩，每个石墩在阳光下形成自己的影子，同学们观察并绘制了如图所示的平面示意图，打算求出球形石墩的半径．已知，和是两个球形石墩的主视图，分别与地面l相切于点M，N．太阳光线与地面的夹角是，经测量，，，，请根据以上数据求出球形石墩的半径．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】球形石墩的半径约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，涉及了圆的切线的性质定理，根据题意可得和都是直角三角形．在中可得，在中可得，据此即可求解． 【详解】解：，与地面相切， 和都是直角三角形． 设球形石墩的半径为． 在中，由，得， ． 在中，， ． ， ，解得． 答：球形石墩的半径约为． 21. “八朝古都”开封是河南省著名的文化旅游城市．辖区内某景区计划采购一批景点特色纪念品赠送给前来游玩的大学生游客，已知采购2个A款纪念品和3个B款纪念品需要110元；采购3个A款纪念品和2个B款纪念品需要115元． （1）求A款纪念品和B款纪念品的单价； （2）若该景区采购景点特色纪念品共300个，且采购的A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半．请设计一种购买方案，使购买纪念品的总费用最少，并求出最少总费用． 【答案】（1）A款纪念品的单价为25元，B款纪念品的单价为20元 （2）采购A款纪念品100个，B款纪念品200个，总费用最少，最少总费用为6500元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式和一次函数的应用，根据题意找出数量关系列方程是解题的关键． （1）设A款纪念品的单价为元，B款纪念品的单价为元，根据题意找出数量关系和等量关系列方程组解方程即可； （2）设采购A款纪念品个，则采购B款纪念品个，根据题意找出数量关系，列出不等式求出，设采购纪念品的总费用为元，列一次函数，并根据增减性和取值范围解题即可． 【小问1详解】 设A款纪念品的单价为元，B款纪念品的单价为元． 根据题意，得 解得 答：A款纪念品的单价为25元，B款纪念品的单价为20元． 【小问2详解】 设采购A款纪念品个，则采购B款纪念品个． 由题意，得，解得． 设采购纪念品的总费用为元． 由题意，得． ， 随的增大而增大． 当时，取最小值为． 此时． 采购A款纪念品100个，B款纪念品200个，总费用最少，最少总费用为6500元． 22. 某公园内人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为，距地面的竖直高度为，获得数据如下： 0.0 1.0 2.0 3.0 4.5 1.6 3.7 4.4 3.7 0.0 小景根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小景的探究过程，请补充完整： （1）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （2）水流的最高点距喷水枪的水平距离为________m； （3）结合函数图象，解决问题：公园准备在距喷水枪水平距离为处加装一个石柱，使该喷水枪喷出的水流刚好落在石柱顶端，则石柱的高度约为_____m． 【答案】（1） 函数图象如图所示： （2）2.0 （3）2.8 【解析】 【分析】（1）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，用光滑的曲线顺次连接即可； （2）设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出解析式，把抛物线的解析式化成顶点式，即可得到答案； （3）把x＝3.5代入（2）中求出的抛物线的解析式即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ 喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分， ∴设抛物线的解析式为， 把（0，1.6），（1，3.7），（2，4.4），分别代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵＝， ∴当x＝2时，y取最大值4.4， 故水流的最高点距喷水枪的水平距离为2.0m． 故答案为：2.0． 【小问3详解】 解：∵抛物线的解析式为＝， ∴当x＝3.5时，y＝＝2.825≈2.8， ∴石柱的高度约为2.8m， 故答案为：2.8． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用问题，也考查了描点法画函数图象、待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式． 23. 如图1和图2，在单位长度为1的7×7的网格中，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上，且两个四边形中均有两个相邻的角为直角，两条相邻的边相等，我们将此四边形定义为“唯美四边形”，两条相等邻边所夹的角称为“唯美角”． （1）请在图3中确定点D，使得四边形为不同于图1，图2的“唯美四边形”； （2）如图4，四边形为“唯美四边形”，；且为“唯美角”，连接．求证：平分； （3）如图5，四边形为“唯美四边形”，，且为“唯美角”，连接相交于点P．若．，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“唯美四边形”的性质作出图形即可； （2）根据“唯美四边形”的性质求得，推出，再利用平行线的性质得到，据此即可证明结论成立； （3）过点作于点．证明四边形为正方形，求得，在和中，求得和的长，再证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图，点和四边形即为所作． 【小问2详解】 证明：∵在四边形中，， ∴， ∴， ∵为“唯美角”， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点． ∵， ∴四边形为矩形， ∵为“唯美角”， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 在中，．， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义“唯美四边形”，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春九年级期中质量检测 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形 形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．本套试卷共6页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟． 3．本试卷上不要答题！请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的 1. 如图，数轴上点表示的数的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 国产电影《哪吒二之魔童闹海》不仅是一部视觉盛宴，更是一部充满哲思的作品．它从个人成长社会结构到命运选择，层层递进．据网络平台数据，截至2025年3月14日14时，《哪吒二之魔童闹海》全球票房已超亿元，其中海外票房突破2亿元，正在冲击全球票房榜第5位！其中，数据“亿”用科学记数法应表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一款婴儿车的平面示意图，其中，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的不等式组，的整数解共有个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知四边形是平行四边形，是的中点，连接，与相交于点，过点作交于点．若，则的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使点，，的坐标分别为，，，则当时，点的坐标有可能是（ ） A. B. C. D. 8. 点,都在二次函数的图象上，若，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 9. 如图，半径为的扇形中，为的中点，连接，．已知的长度为，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 高精度压力测力仪广泛应用于工业制造、航空航天等领域．如图1是某压力测力仪的电路原理示意图，是一种新型电子元件，在压力不超过的前提下，其阻值随压力大小的变化规律如图2所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 在仪表量程范围内，压力越大，的阻值越小 B. 在仪表量程范围内，压力每增大，随之增大 C. 当时，的阻值为 D. 在仪表量程范围内，电阻与压力成一次函数关系 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若正比例函数图象经过点，则该图象上另一个点B的坐标可以为______． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 13. 置换反应是一种单质与一种化合物反应，生成另一种单质和另一种化合物的反应．某次化学实验课上，老师分别用三个相同的不透明容器装着，，三种金属，让同学们随机选择一种与盐酸反应制取氢气，根据金属活动顺序可知，，可以置换出氢气，而不能．甲同学从三种金属中随机选择一种金属进行实验，将三个容器的顺序打乱后，乙同学再随机选择一种金属进行实验，则两人所选金属都能置换出氢气的概率为________． 14. 图1是一张菱形纸片，分别是边上的点．将该菱形纸片沿折叠得到图，的对应边恰好落在直线上，已知，则四边形的面积为______． 15. 如图，在等腰三角形中，，，D为平面内一点，连接，，且，连接，则的最小值为______，最大值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 为了提高学生的森林防火意识，某校组织了一场森林防火知识竞赛，现从本校的九年级和八年级中各随机抽取m名学生进行测试，将其测试成绩x（满分100分，不低于90分的为优秀）进行整理，分为五个等级，其中A．；B．；C．；D．；E．．现对九年级和八年级抽取的学生的测试成绩进行统计． C．八年级抽取学生的测试成绩在等级D的数据分别为： 81，81，83，85，85，85，87，88； D．八、九年级抽取学生的测试成绩的统计量如下： 年级 平均数 中位数 方差 九年级 86 85 14.5 八年级 85 p 16.7 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）在本次测试中自己的成绩在本年级可以排在前，小亮看到小明的成绩后说：很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前，由此判断小明是______（填“八”或“九”）年级的学生． （3）结合上表中的统计量，对两个年级的测试成绩进行评价．（写出一条理由即可） 18. 如图，在中，．请完成如下操作：①在上取一点D，使得；②过点D作的垂线交于点E，连接． （1）完成以上尺规作图；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的长． 19. 如图，为等边三角形，点B的坐标为，C为的中点，且在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的解析式； （2）若将向左平移，使得点A落在反比例函数的图象上，求平移的距离； （3）若反比例函数的图象与边交于点D，请直接写出点D的坐标． 20. 数学兴趣小组的同学发现在某劳模主题公园大门处放置一排同样大小的球形石墩，每个石墩在阳光下形成自己的影子，同学们观察并绘制了如图所示的平面示意图，打算求出球形石墩的半径．已知，和是两个球形石墩的主视图，分别与地面l相切于点M，N．太阳光线与地面的夹角是，经测量，，，，请根据以上数据求出球形石墩的半径．（结果精确到．参考数据：，，） 21. “八朝古都”开封是河南省著名的文化旅游城市．辖区内某景区计划采购一批景点特色纪念品赠送给前来游玩的大学生游客，已知采购2个A款纪念品和3个B款纪念品需要110元；采购3个A款纪念品和2个B款纪念品需要115元． （1）求A款纪念品和B款纪念品的单价； （2）若该景区采购景点特色纪念品共300个，且采购的A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半．请设计一种购买方案，使购买纪念品的总费用最少，并求出最少总费用． 22. 某公园内人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为，距地面的竖直高度为，获得数据如下： 0.0 1.0 2.0 3.0 4.5 1.6 3.7 4.4 3.7 0.0 小景根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小景的探究过程，请补充完整： （1）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （2）水流的最高点距喷水枪的水平距离为________m； （3）结合函数图象，解决问题：公园准备在距喷水枪水平距离为处加装一个石柱，使该喷水枪喷出的水流刚好落在石柱顶端，则石柱的高度约为_____m． 23. 如图1和图2，在单位长度为1的7×7的网格中，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上，且两个四边形中均有两个相邻的角为直角，两条相邻的边相等，我们将此四边形定义为“唯美四边形”，两条相等邻边所夹的角称为“唯美角”． （1）请在图3中确定点D，使得四边形为不同于图1，图2的“唯美四边形”； （2）如图4，四边形为“唯美四边形”，；且为“唯美角”，连接．求证：平分； （3）如图5，四边形为“唯美四边形”，，且为“唯美角”，连接相交于点P．若．，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $