精品解析：2025年贵州省贵阳市花溪区麦坪中学中考二模数学试题

贵阳市花溪区麦坪中学2025年中考适应性测试 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 用一个平面去截下列几何体，截面一定是圆的是（ ） A. B. C. D. 3. 每年10月16日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食．已知一粒米的重量约0.000021千克，将数据0.000021用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 当时，分式无意义，则所表示的代数式可以是（ ） A. B. C. x D. 3x 5. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且又发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( ) 甲 乙 丙 丁 平均数(环) 9.14 9.15 9.14 9.15 方差 6.6 6.8 6.7 6.6 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 如图，在四边形中，对角线和交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（ ） A. 6037 B. C. 637 D. 8. 坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（ ） A. B. C. D. 9. 在一个不透明的口袋中装有5张印有中药艾片的卡片和若干张印有中药白果的卡片，它们除卡片上的图案不同其余均相同，通过多次摸卡片试验后发现，摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近，则口袋中印有白果的卡片数约是（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 10. 如图，一次函数图象经过点，与正比例函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以B、D为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于两点M、N，作直线分别交、于点E、F，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 12. 如图①是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变．随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，下列说法不正确的是（ ） A. 当该容器的体积V为时，氧气的密度为 B. 该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数 C. 标准大气压下，该容器的体积约为 D. 该容器内氧气的质量为 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 计算的结果是__________. 14. 小星一家准备从“黄小西”，即黄果树瀑布、荔波小七孔、西江千户苗寨这三个景区中随机选择一个去游玩，则选中黄果树瀑布的概率是________． 15. 将放置在一条数轴上，，的中点D，E均落在数轴上，且点D，E在数轴上的位置如图所示，则的长为________． 16. 如图，在中，点E为的中点，点F在边上，，，，，则的长为________． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：； （2）数学活动课上，老师展示了如下问题：已知数轴上不重合的三个点A，B，C所表示的数分别为，，，且点A在点B的左侧，点C在点B的右侧，求x的取值范围． 小星的解答过程如下： 第一步：根据点A在点B的左侧，可列不等式：____________①； 第二步：根据点C在点B的右侧，可列不等式：____________②； 第三步：解不等式①得________，解不等式②得________； 第四步：得出x的取值范围是_________． 18. 贵阳市某小区物业为改进服务质量，着重针对保洁绿化服务和车辆管理服务两方面制定调查问卷(满分为10分，7分及7分以上为满意)，随机抽取该小区100户居民进行调查，调查数据整理、分析如下： 平均数 中位数 众数 满意率 保洁绿化服务 车辆管理服务 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）已知该小区有2000户居民，估计该小区居民在本次调查中对保洁绿化服务评分为满分的总户数； （3）根据调查数据，你认为物业应该提高哪方面服务？说明理由，并提出合理建议． 19. 茶产业是遵义市的特色优势产业和主导产业．某商店用1200元购进A种茶叶若干盒，用600元购进B种茶叶若干盒，所购A种茶叶比B种茶叶多10盒，且每盒A种茶叶的进价是每盒B种茶叶进价的1.5倍．求每盒A种茶叶和每盒B种茶叶的进价分别为多少元． 根据题意，小红、小星两名同学分别列出如下方程： 小红：．小星：． （1）小红所列方程中的x表示_______，小星所列方程中的y表示_______； （2）请你任选一个同学的方程解决问题． 20. 如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接交于点O． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 小星将“赵爽弦图”置于如图所示的平面直角坐标系中（“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成），点A与点重合，点B的横坐标为3，点E，H在x轴上，小正方形的边长为2．反比例函数的图象经过点B，C． （1）求反比例函数的表达式； （2）若一次函数与反比例函数（）的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上点B，C之间的部分时（点M可与点B，C重合），求m的取值范围． 22. 如图，光从空气斜射入长方体水槽中，入射光线射到水池的水面B点后折射光线射到池底D点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底E点处，入射角，折射角．交延长线于点F，，，为法线．线段，入射光线，和折射光线，及法线，都在同一平面内，米． （1）求的长；（结果保留根号） （2）若米，求水池的水深．（结果精确到0.1．参考数据：，，，，，，，） 23. 如图，在中，，以为直径的恰好与边相切，交于点D，E是边上一点，连接交于点F，连接，，且． （1）写出图中一个度数为的角：_______； （2）求的度数； （3）连接，试判断四边形的形状，并给出证明． 24. 已知二次函数． （1）二次函数图象的对称轴为直线________； （2）若不同的两点，在二次函数的图象上，且，求二次函数的表达式； （3）如图，已知，，，，若二次函数的图象与正方形只有个交点，求的取值范围． 25. 在中，，点D为射线上一动点（不与点A，C重合），作，并交射线于点E，连接，． （1）【操作发现】 如图（1），当时，过点A作，交于点M． ①请利用无刻度的直尺和圆规补全图形； ②的数量关系为________； （2）【类比探究】 如图（2），当，且点D在线段上时，探究：线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 当时，过点A作于点N，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市花溪区麦坪中学2025年中考适应性测试 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 用一个平面去截下列几何体，截面一定是圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了截一个几何体，根据不同几何体的截面的形状，进行判断即可，掌握各种几何体的截面形状是解题的关键． 【详解】解：、用一个平面去截，截面可能是三角形或四边形，不合题意； 、用一个平面去截，截面可能是圆形或四边形，不合题意； 、用一个平面去截，截面可能是三角形或四边形，不合题意； 、球体无论怎样去截，其截面一定是圆形的，符合题意； 故选：． 3. 每年10月16日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食．已知一粒米的重量约0.000021千克，将数据0.000021用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值小于1的数，先确定a，n，再写成的形式，其中，n为负整数． 【详解】解：根据题意，得． 故选：A． 4. 当时，分式无意义，则所表示的代数式可以是（ ） A. B. C. x D. 3x 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的值无意义的条件，根据分母为零无意义计算即可． 【详解】解：当时，，，， 根据分式无意义则分母为零，可知所表示的代数式可以是， 故选：A． 5. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且又发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( ) 甲 乙 丙 丁 平均数(环) 9.14 9.15 9.14 9.15 方差 6.6 6.8 6.7 6.6 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据甲、乙、丙、丁平均数与方差的情况进行判断即可. 【详解】解：由题意得：乙、丁的平均数最大, 但是丁的方差小于乙的方差, 所以丁成绩好且发挥稳定, 故选丁运动员参加比赛. 故本题正确答案为D. 【点睛】本题主要考查利用平均数、方差、标准差进行决策比较，题中平均数表示整体水平, 方差表示波动大小. 6. 如图，在四边形中，对角线和交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定条件逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； B、，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C、，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选B． 7. 我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（ ） A. 6037 B. C. 637 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数，根据算筹记数的规则即可求解． 【详解】解：个位上的数上有斜线， 这个数是负数， 是横式，不能表示百位数， 表示千位上的数，百位上的数为0， 根据数筹表示数的方法可知，算筹“”表示的数为． 故选B． 8. 坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边得到，进而求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∵ ∴ ∴ ∴段的长可能为． 故选：D． 9. 在一个不透明的口袋中装有5张印有中药艾片的卡片和若干张印有中药白果的卡片，它们除卡片上的图案不同其余均相同，通过多次摸卡片试验后发现，摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近，则口袋中印有白果的卡片数约是（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，由摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近得到摸到印有艾片的卡片的概率为，求出口袋中装有卡片约是25张，即可求出答案． 【详解】解： ∵摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近， ∴摸到印有艾片的卡片的概率为， 口袋中装有5张印有中药艾片的卡片， ∴， 即口袋中装有卡片约是25张， ∴口袋中印有白果的卡片数约是（张） 故选：B． 10. 如图，一次函数图象经过点，与正比例函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：当时，直线都在直线的上方，当时，直线在x轴上方，于是可得到不等式的解集． 【详解】解：当时，， ∵一次函数图象经过点， ∴时，， ∴不等式的解集为． 故选D． 11. 如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以B、D为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于两点M、N，作直线分别交、于点E、F，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据取等长线段的做法，垂直平分线的做法，得到，，在中，由勾股定理得到，由，，即可求解， 本题考查了，作图等长线段，作图垂直平分线，勾股定理，解题的关键是：由作图方法得到等量关系式． 【详解】解：由作图可知：，， 在中，， ∴， , 故选：C． 12. 如图①是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变．随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，下列说法不正确的是（ ） A. 当该容器的体积V为时，氧气的密度为 B. 该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数 C. 标准大气压下，该容器的体积约为 D. 该容器内氧气的质量为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先求出反比例函数解析式，然后对各选项分析即可． 【详解】解：∵，且容器内氧气的质量一定， ∴该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数，故B正确，不符合题意； 由图象可知，当时，， ∴，故D正确，不符合题意； ∴， 当时，，故A正确，不符合题意； 当时，，故C不正确，符合题意； 故选C． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 计算的结果是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式乘法的法则运算即可 【详解】解： 【点睛】本题考查了二次根式的乘方运算，解答关键是根据乘法法则计算，注意运算结果为最简二次根式. 14. 小星一家准备从“黄小西”，即黄果树瀑布、荔波小七孔、西江千户苗寨这三个景区中随机选择一个去游玩，则选中黄果树瀑布的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单概率的计算，即在等可能条件下，计算某一事件发生的概率。 【详解】解：一共有三个景区，即一共有3种等可能的结果，从中选择1种，所以选中黄果树瀑布的概率是， 故答案为： 15. 将放置在一条数轴上，，的中点D，E均落在数轴上，且点D，E在数轴上的位置如图所示，则的长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，数轴上两点间的距离，先根据数轴上两点间的距离得到长，然后利用中位线定理解题即可． 【详解】解：由题可知， 又∵，的中点D，E均落在数轴上， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，点E为的中点，点F在边上，，，，，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，构造全等三角形是解答的关键．延长交延长线于点P，过作于点H，先根据平行四边形的性质得到，，再证明得到，，分别在和中，利用锐角三角函数和勾股定理求出，进而可求解． 【详解】解：如图，延长交延长线于点P，过作于点H， ∵在中，，， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：； （2）数学活动课上，老师展示了如下问题：已知数轴上不重合的三个点A，B，C所表示的数分别为，，，且点A在点B的左侧，点C在点B的右侧，求x的取值范围． 小星的解答过程如下： 第一步：根据点A在点B的左侧，可列不等式：____________①； 第二步：根据点C在点B的右侧，可列不等式：____________②； 第三步：解不等式①得________，解不等式②得________； 第四步：得出x的取值范围是_________． 【答案】（1），；（2），，，， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组，掌握因式分解法和正确掌握不等式的性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法求解即可． （2）先建立，再分别解出每个不等式的解集，得x的取值范围是，再在数轴上表示出来该不等式组的解集，即可作答． 【详解】解：（1）因式分解得：， ∴或， 解得：， （2）∵点A，B，C在数轴上的对应值分别为，，， 当点A在点B左侧，则； 当点C在点B右侧，可列不等式为， 即 解不等式①得， 解不等式②得， ∴得出x的取值范围是， 故答案为：，，，，． 18. 贵阳市某小区物业为改进服务质量，着重针对保洁绿化服务和车辆管理服务两方面制定调查问卷(满分为10分，7分及7分以上为满意)，随机抽取该小区100户居民进行调查，调查数据整理、分析如下： 平均数 中位数 众数 满意率 保洁绿化服务 车辆管理服务 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）已知该小区有2000户居民，估计该小区居民在本次调查中对保洁绿化服务评分为满分的总户数； （3）根据调查数据，你认为物业应该提高哪方面服务？说明理由，并提出合理建议． 【答案】（1）， （2）300户 （3）物业应提高车辆管理服务，理由及建议见解析 【解析】 【分析】本题考查求中位数、众数、用样本估计总体、利用数据做决策等知识点，读懂统计图是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）用该小区居民户数乘以样本中对保洁绿化服务评分为满分所占的比计算即可． （3）根据样本中保洁绿化服务和车辆管理服务评分的平均数、众数、中位数、满意率等数据的大小关系评价和建议即可． 【小问1详解】 由条形图可知：保洁绿化服务分有：(人) 保洁绿化服务8分有30人， ∴第50、51个数据都是8分， ∴保洁绿化服务中位数是(分)． 由扇形统计图可知：车辆管理服务6分所占百分比最大， ∴车辆管理服务众数是：(分) 故答案为∶；； 【小问2详解】 (户)． 答：该小区居民在本次调查中对保洁绿化服务评分为满分的约有300户． 【小问3详解】 物业应提高车辆管理服务． 理由：车辆管理服务得分的平均数、中位数、众数、满意率都比保洁绿化服务低，说明车辆管理服务有待提高．(答案不唯一，合理即可) 建议：加强管理车辆停放，解决车辆乱停乱放的问题．(答案不唯一，合理即可) 19. 茶产业是遵义市的特色优势产业和主导产业．某商店用1200元购进A种茶叶若干盒，用600元购进B种茶叶若干盒，所购A种茶叶比B种茶叶多10盒，且每盒A种茶叶的进价是每盒B种茶叶进价的1.5倍．求每盒A种茶叶和每盒B种茶叶的进价分别为多少元． 根据题意，小红、小星两名同学分别列出如下方程： 小红：．小星：． （1）小红所列方程中的x表示_______，小星所列方程中的y表示_______； （2）请你任选一个同学的方程解决问题． 【答案】（1）每盒B种茶叶的进价，A种茶叶的数量 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程在实际问题中的应用，涉及到进价、数量、总价之间的关系，熟练掌握“总价 = 单价×数量”以及分式方程的求解步骤（列方程、解方程、检验）是解题的关键． （1）分析小红和小星所列方程的含义，结合题目中的数量关系，确定和分别代表的量．小红的方程是根据“种茶叶盒数种茶叶盒数”列的，小星的方程是根据“种茶叶进价种茶叶进价”列的，以此判断、代表的内容． （2）若选小红的方程，先明确是种茶叶进价，是种茶叶进价，根据“总价÷单价 = 数量”，得出是种茶叶盒数，是种茶叶盒数，再利用盒数差列方程求解；若选小星的方程，是种茶叶盒数，是种茶叶盒数，根据“总价÷数量 = 单价”，得出是种茶叶进价，是种茶叶进价，再利用进价倍数关系列方程求解． 【小问1详解】 解：小红的方程，表示用元购进种茶叶的盒数， ∴表示每盒种茶叶的进价；表示用元购进种茶叶的盒数 ． 小星的方程：表示种茶叶的进价， ∴表示种茶叶的数量 ． 故答案为：每盒种茶叶的进价；种茶叶的数量 ． 【小问2详解】 解：选择小红的方程：， 解得， 经检验：是原分式方程的解． （元）． 选择小星的方程：， 解得， 经检验：是原分式方程的解． （元）， （元）． 答：每盒A种茶叶的进价为30元，每盒B种茶叶的进价为20元． 20. 如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接交于点O． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理、斜边中线定理等知识点，解决此题的关键是熟练掌握此类知识点并能灵活运用． （1）根据题目条件先证明是平行四边形，再根据平行四边形的性质对边平行，即可得到答案； （2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半算出长度，再根据勾股定理即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵E是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，D是的中点， ∴， ∴在中，根据勾股定理得． 21. 小星将“赵爽弦图”置于如图所示的平面直角坐标系中（“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成），点A与点重合，点B的横坐标为3，点E，H在x轴上，小正方形的边长为2．反比例函数的图象经过点B，C． （1）求反比例函数的表达式； （2）若一次函数与反比例函数（）的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上点B，C之间的部分时（点M可与点B，C重合），求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形性质、待定系数法求反比例函数表达式及一次函数与反比例函数综合， （1）先求出，再用待定系数法求表达式即可； （2）先求出，把，代入一次函数表达式计算即可； 【小问1详解】 解：∵点A与点重合，点B的横坐标为3， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴点C的横坐标为． 当时，， ∴， 当，时，， 则； 当，时，， 则； 综上所述，m的取值范围是． 22. 如图，光从空气斜射入长方体水槽中，入射光线射到水池的水面B点后折射光线射到池底D点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底E点处，入射角，折射角．交延长线于点F，，，为法线．线段，入射光线，和折射光线，及法线，都在同一平面内，米． （1）求的长；（结果保留根号） （2）若米，求水池的水深．（结果精确到0.1．参考数据：，，，，，，，） 【答案】（1） （2）11.7米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形和一元一次方程解法等知识点，解决此题的关键是正确的计算． （1）先根据平行算出特殊角度，分别在直角和直角中根据三角函数关系算出边长即可得到答案； （2）设水深为x米，分别在直角和直角中根据三角函数关系用x表示出边长，再根据线段相等列出方程，算出答案即可； 【小问1详解】 解：由题意得， ∴，． ∵，， ∴，． ∵米， ∴（米） （米） ∴（米）． 【小问2详解】 解：设水池的水深为x米，则米， 由题意可知，，米， ∴（米），（米）． ∵， ∴， 解得， 即水池的水深约为11.7米． 23. 如图，在中，，以为直径的恰好与边相切，交于点D，E是边上一点，连接交于点F，连接，，且． （1）写出图中一个度数为的角：_______； （2）求的度数； （3）连接，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】（1）(答案不唯一) （2） （3）菱形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据是的切线可知，又由可知，故，答案不唯一，事实上图中看起来接近的角都是； （2）先用三角函数得到，根据得到，根据是的直径得到，从而得到； （3）连接，只需证明是等边三角形即可得到，从而得证． 【小问1详解】 ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：；(答案不唯一) 【小问2详解】 ∵是的切线， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． 【小问3详解】 四边形是菱形．理由如下： 证明：如图，连接． ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 又∵，， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查菱形的证明，切线的性质定理，等边三角形的判定和性质，弦与弧的关系，解直角三角形的相关计算，直径所对的圆周角是直角等知识，运用三角函数值求角度是解题的关键． 24. 已知二次函数． （1）二次函数图象的对称轴为直线________； （2）若不同的两点，在二次函数的图象上，且，求二次函数的表达式； （3）如图，已知，，，，若二次函数的图象与正方形只有个交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）对于二次函数（），其对称轴公式为，本题中二次函数，确定的值后代入公式即可求出对称轴． （2）因为，所以点、关于二次函数的对称轴对称，利用对称轴的性质列出关于的方程，求解得出的值，进而确定二次函数表达式． （3）先确定二次函数过定点，再分和两种情况讨论．当时，结合抛物线顶点坐标与正方形边的位置关系，通过计算顶点在正方形不同边上以及抛物线过正方形顶点时的值，确定抛物线与正方形有个交点时的取值范围；当时，分析抛物线与正方形的交点情况． 【小问1详解】 解：对于二次函数，其中， 根据对称轴公式，可得． 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴点，关于直线对称， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为． 【小问3详解】 解：∵， ∴该抛物线过定点． 若，则抛物线开口向上，当抛物线的顶点在线段上时，此时顶点坐标为，则， 解得，此时抛物线与正方形有个交点； 当时，抛物线开始与正方形有个交点； 当抛物线的顶点在上时，此时顶点坐标为， 则， 解得，此时抛物线开始与正方形有个交点； 当抛物线过点时，将代入，得， 解得，此时抛物线与正方形有个交点． 当时，抛物线与正方形又开始有个交点． 若，则抛物线开口向下，根据抛物线的对称轴为直线，且经过点，可知此时抛物线与正方形没有交点． 综上，当抛物线与正方形有个交点时，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质（对称轴公式、顶点坐标、过定点问题）、对称点的性质以及二次函数与几何图形（正方形）的交点问题，熟练掌握二次函数的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 25. 在中，，点D为射线上一动点（不与点A，C重合），作，并交射线于点E，连接，． （1）【操作发现】 如图（1），当时，过点A作，交于点M． ①请利用无刻度的直尺和圆规补全图形； ②的数量关系为________； （2）【类比探究】 如图（2），当，且点D在线段上时，探究：线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 当时，过点A作于点N，若，，求的长． 【答案】（1）①见解析；② （2），证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查几何图形的性质和数量关系，包括三角形全等、等腰三角形的性质以及直角三角形的勾股定理．通过作图、证明和计算，探究线段之间的数量关系． （1）依题意按要求作图，利用三角形全等的性质证明与的数量关系． （2）通过作辅助线和证明三角形全等，探究线段、、之间的数量关系． （3）利用直角三角形的勾股定理和等腰三角形的性质，求的长．在射线上截取，使，连接，分两种情况讨论求解． 【小问1详解】 解：作图如图． ，， ． ． ， ． ，， ． ． ． 【小问2详解】 解：． 理由：在上截取，连接，如图， ∵，，， ∴． ∴，． ∴是等腰三角形． ，， ∴． ． 过点A作于点P， 易得， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：在射线上截取，使，连接．分以下两种情况讨论： 当点D在线段上时，如图， 由（2）得，为等腰三角形，， ∵， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∴． 当点D在的延长线上时，如图， 同理可得为等腰三角形，， ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $