精品解析：海南省海口市琼山区海南中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

海南中学2024-2025学年度第二学期月考考试 高二数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4，则该椭圆的短轴长为（ ） A. B. C. D. 2. 对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估计总体集中趋势，则，可以分别大致反映这组数据的（ ） A. 平均数，中位数 B. 平均数，众数 C. 中位数，平均数 D. 中位数，众数 3. 若直线：与直线：平行，则（ ） A. 4 B. 1 C. 1或-4 D. -1或4 4. 已知的展开式中所有项的系数之和为，则该展开式中项的系数是（ ） A. B. C. D. 5. 学校校园从教室到寝室的一排路灯共12盏，按照规定，如果两端有坏了的路灯或者中间同时坏了相邻的两盏或两盏以上的路灯，就必须马上维修，已知这排路灯坏了3盏，则这排路灯必须马上维修的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 7. 在高三某次模拟考试中，甲、乙两个班级的数学成绩统计如下表： 班级 人数 平均分数 方差 甲 40 70 5 乙 60 80 8 则两个班所有学生的数学成绩的方差为（ ） A. B. 13 C. D. 8. 已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 10. 下列命题正确的是（ ） A. 是一组样本数据，去掉其中的最大数和最小数后，剩下10个数的中位数小于原样本的中位数 B. 若事件A，B相互独立，且，，则事件A，B不互斥 C. 若随机变量，，则 D. 若随机变量的方差，期望，则随机变量的期望 11. 已知椭圆的右焦点为，过作两条互相垂直的直线和和分别与交于和，则（ ） A. 的离心率为 B. 存在直线，使得 C. 为定值 D. 若上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则变为圆 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为________． 13. 有3男2女共5名学生被分派去A，B，C三个公司实习，每个公司至少1人，且A公司只要女生，共有_________种不同的分派方法用数字作答 14. 有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 2024年1月18日是中国传统的“腊八节”，“腊八”是中国农历十二月初八（即腊月初八）这一天．腊八节起源于古代祭祀祖先和神灵的仪式，后逐渐成为民间节日，盛行于中国北方．为调查不同年龄人群对“腊八节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人群． （1）在100名受调人群中，得到如下数据： 年龄 了解程度 不了解 了解 30岁以下 16 24 50岁以上 16 44 根据小概率值的独立性检验，分析受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度是否存在年龄差异； （2）调查问卷共设置10个题目，选择题、填空题各5个．受调者只需回答8个题：其中选择题必须全部回答，填空题随机抽取3个进行问答．某位受调者选择题每题答对的概率为0.8，知道其中3个填空题的答案，但不知道另外2个的答案．求该受调者答对题目数量的期望． 参考公式： ①． 独立性检验常用小概率值和相应临界值： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ②随机变量X，Y的期望满足： 16. 已知点和直线点是点A关于直线的对称点. （1）求点的坐标； （2）为坐标原点，且点满足.若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围. 17. 已知圆C经过点 （1）求圆C的方程； （2）求过点A且与圆C相切的直线的方程； （3）过B引直线l与圆C交于另一点D，若求l的斜率. 18. 某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）： 产品的性能指数在的适合托班幼儿使用（简称A类产品），在的适合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率. （1）求每件产品的平均销售利润； （2）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用，和年销售量数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值. 16.30 24.87 0.41 1.64 表中，，，. 根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程. （i）建立关于的回归方程； （ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？ （收益=销售利润-营销费用，取）. 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 19. 已知椭圆的左焦点为，且过点. （1）求C的方程； （2）不过原点O的直线与C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列. （i）求的斜率； （ii）求的面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南中学2024-2025学年度第二学期月考考试 高二数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4，则该椭圆的短轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由离心率得到的关系式，代入的值，即可求得短轴长. 【详解】由可得（*）， 因，即，代入（*）解得， 故短轴长为 故选：B. 2. 对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估计总体集中趋势，则，可以分别大致反映这组数据的（ ） A. 平均数，中位数 B. 平均数，众数 C. 中位数，平均数 D. 中位数，众数 【答案】A 【解析】 【分析】由中位数和平均数的分布规律直接求解即可. 【详解】由题意得，众数必定在最高的小长方形内，故排除BD， 由中位数和平均数的分布规律得（直方图在左边拖尾）， 故在这个频率分布直方图内是平均数，是中位数， 故A正确，C错误. 故选：A 3. 若直线：与直线：平行，则（ ） A. 4 B. 1 C. 1或-4 D. -1或4 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验即可. 【详解】依题意得，， 得， 解得或， 若时，直线与直线平行，符合题意； 若时，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：或． 故选：D 4. 已知的展开式中所有项的系数之和为，则该展开式中项的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，求出的值，写出展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解. 【详解】的展开式中所有项的系数之和，解得. 的展开式通项为， 令，解得， 因此，展开式中项的系数为. 故选：B. 5. 学校校园从教室到寝室的一排路灯共12盏，按照规定，如果两端有坏了的路灯或者中间同时坏了相邻的两盏或两盏以上的路灯，就必须马上维修，已知这排路灯坏了3盏，则这排路灯必须马上维修的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出9盏灯正常，在9盏灯中间形成的8个空，插入一盏已坏的灯的概率，再利用对立事件求概率公式求出答案. 【详解】设必须马上维修记为事件A，则不需要马上维修为， 而表示9盏灯正常，且在9盏灯每相邻两盏灯中间，插入一盏已坏的灯，即一共有8个空，选出3个空，插入一盏已坏的灯， ∴， ∴． 故选：A． 6. 已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的定义、点和圆的位置关系等知识确定正确答案. 【详解】依题意，设椭圆的左焦点为， 圆的圆心为，半径为， ， 当三点共线，且在之间时等号成立. 而， 所以， 当四点共线，且在之间，是的延长线与圆的交点时等号成立. 故选：D 7. 在高三某次模拟考试中，甲、乙两个班级的数学成绩统计如下表： 班级 人数 平均分数 方差 甲 40 70 5 乙 60 80 8 则两个班所有学生的数学成绩的方差为（ ） A. B. 13 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出平均数，然后根据方差公式求解即可 【详解】因为， 所以， 故选：C 8. 已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意设椭圆的左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形，再根据椭圆的定义化简得，得到离心率关于的函数表达式，再利用辅助角公式和三角函数的单调性求得离心率的范围. 【详解】由题意椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形． 根据椭圆的定义：，由题∠ABF＝α，则∠ANF＝α， 所以， 利用， ∵，∴，，即椭圆离心率的取值范围是， 故选B. 【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的取值范围问题，其中解答中合理利用椭圆的定义和题设条件，得到,再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆方程标准形式可判断A，根据椭圆定义可判断B，根据焦半径范围判断C，根据基本不等式可判断D即可. 【详解】由椭圆，可得， 所以，故离心率为，故A错误； 根据椭圆的定义可知的周长为，故B正确； 根据椭圆焦半径的取值范围可知，故C错误； 根据基本不等式可得， 取等号条件是，故D正确. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 是一组样本数据，去掉其中的最大数和最小数后，剩下10个数的中位数小于原样本的中位数 B. 若事件A，B相互独立，且，，则事件A，B不互斥 C. 若随机变量，，则 D. 若随机变量的方差，期望，则随机变量的期望 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，利用中位数的定义判断出A错误；B选项，计算出，故，B正确；C选项，利用正态分布的对称性进行判断；D选项，利用得到，D正确. 【详解】A选项，从小到大排序，去掉其中的最大数和最小数后， 剩下10个数大小顺序不变，故剩下10个数的中位数和原来的中位数一样，A错误； B选项，事件A，B相互独立，且，， ， 所以，故事件A，B不互斥，B正确； C选项，随机变量，，设，， 则， ， 根据原则，可知，C正确； D选项，随机变量的方差，期望， 其中，故，， 故随机变量的期望，D正确. 故选：BCD 11. 已知椭圆的右焦点为，过作两条互相垂直的直线和和分别与交于和，则（ ） A. 的离心率为 B. 存在直线，使得 C. 为定值 D. 若上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则变为圆 【答案】ABC 【解析】 【分析】求得椭圆的离心率可判断A；设直线的方程为，，联立方程组，利用弦长公式求得，进而可求的最大值，最小值，可判断B；求得可判断C；求得变换后的轨迹方程判断D. 【详解】由椭圆，可得，所以， 所以椭圆的离心率为；故A正确； 可得椭圆的右焦点为， 当直线的斜率为0时，直线的方程为，此时，， 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，， 联立，消去，可得，整理得， 所以， 所以 ， 同理可得， ，当时，，且 所以的最小值为，最大值为，故B正确； 当直线的斜率为0时，直线斜率不存在，此时，， 当直线的斜率为0时，直线斜率不存在，同理可得 当直线，的斜率不为0时， 为定值，故C正确； 若上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则方程为，故不是圆，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】两圆方程相减后可得公共弦的方程. 【详解】由题设可得的方程为：， 整理得：， 故答案为： 13. 有3男2女共5名学生被分派去A，B，C三个公司实习，每个公司至少1人，且A公司只要女生，共有_________种不同的分派方法用数字作答 【答案】34 【解析】 【分析】利用分类计数原理将该问题分成两类，对A公司进行分类讨论，每一类中用分步乘法计数原理及排列组合的综合应用进行解答即可． 【详解】由题意，第一类，A公司只有1个女生，有种分派方案， 则B，C公司分派人数可以为2，2或者1，3或者3，1共3种分派方案，共种，所以一共有种分派方案， 第二类，A公司有2个女生，只有1种分派方案， 则B，C公司的分派人数只能是1，2或者2，1；则有种， 根据分类计数原理共有种， 故答案为34． 【点睛】本题主要考查了分类、分步计数原理，以及组合数的应用，其中解答中认真审题，合理分类，利用分类、分步计数原理和组合数的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题． 14. 有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】记事件表示从第i个盒子里取出白球，利用全概率公式可得，进而可得，然后构造等比数列，求通项公式即得. 【详解】记事件表示从第个盒子里取出白球，则，， 所以， ， ， 进而可得，， 又，，， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 2024年1月18日是中国传统的“腊八节”，“腊八”是中国农历十二月初八（即腊月初八）这一天．腊八节起源于古代祭祀祖先和神灵的仪式，后逐渐成为民间节日，盛行于中国北方．为调查不同年龄人群对“腊八节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人群． （1）在100名受调人群中，得到如下数据： 年龄 了解程度 不了解 了解 30岁以下 16 24 50岁以上 16 44 根据小概率值的独立性检验，分析受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度是否存在年龄差异； （2）调查问卷共设置10个题目，选择题、填空题各5个．受调者只需回答8个题：其中选择题必须全部回答，填空题随机抽取3个进行问答．某位受调者选择题每题答对的概率为0.8，知道其中3个填空题的答案，但不知道另外2个的答案．求该受调者答对题目数量的期望． 参考公式： ①． 独立性检验常用小概率值和相应临界值： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ②随机变量X，Y的期望满足： 【答案】（1）受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度不存在年龄差异. （2） 【解析】 【分析】（1）计算出参考独立性检验常用小概率值和相应临界值表比较可得答案； （2）用分别表示受调者答对选择题、填空题的个数，求出、，由可得答案. 【小问1详解】 零假设：受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度不存在年龄差异， ， 根据小概率值的独立性检验，我们无法推断零假设不成立， 即认为受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度不存在年龄差异； 【小问2详解】 用分别表示受调者答对选择题、填空题的个数， 则，所以， 则可取则， 所以，，， 所以， 由， 该受调者答对题目数量的期望为. 16. 已知点和直线点是点A关于直线的对称点. （1）求点的坐标； （2）为坐标原点，且点满足.若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点，根据点关于直线对称可列出方程，联立解得答案； （2）设点，根据求得P点轨迹方程，根据点的轨迹与直线有公共点，可知圆心到直线距离小于等于半径，解不等式可得答案. 【小问1详解】 设点，由题意知线段的中点在直线上， 故：，① 又直线垂直于直线，故，② 联立①②式解得：，故点的坐标为； 【小问2详解】 设点，由题，则， 故，化简得， 又直线与圆有公共点， 故，解得 . 17. 已知圆C经过点 （1）求圆C的方程； （2）求过点A且与圆C相切的直线的方程； （3）过B引直线l与圆C交于另一点D，若求l的斜率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出AO、OB的中垂线方程可得圆心坐标、半径可得答案； （2）根据切线与直线AC垂直，求出直线AC的斜率可得答案； （3）设l的方程为利用弦长公式可得答案. 【小问1详解】 因为A、O的中点坐标为，直线的斜率为， 所以直线的垂线的斜率为，所以直线AO的中垂线方程为 ，即， 因为B、O的中点坐标为，直线的斜率为， 所以直线的垂线的斜率为，所以BO的中垂线方程为 ，即为 联立，解得 所以圆心所以圆的半径 所以圆C的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）得圆C的圆心为半径为5， 因为A在圆C上，所以切线与直线AC垂直， 因为直线AC的斜率为 所以切线的方程为即； 【小问3详解】 的斜率一定存在，设为 ，所以l的方程为 设圆心C到l的距离为d，因为所以即 所以化简得即 所以l的斜率为 18. 某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）： 产品的性能指数在的适合托班幼儿使用（简称A类产品），在的适合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率. （1）求每件产品的平均销售利润； （2）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用，和年销售量数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值. 16.30 24.87 0.41 1.64 表中，，，. 根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程. （i）建立关于的回归方程； （ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？ （收益=销售利润-营销费用，取）. 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【答案】（1）每件产品的平均销售利润为4元（2）（i）（ii）该厂应投入256万元营销费. 【解析】 【分析】（1）分别求出三类产品的频率，求出分布列及其数学期望即可； （2）（i）利用公式求出相关系数，即可求出回归方程；（ii）设年收益为万元，求出，设，，求出函数的导数，根据函数的单调性即可求出的最大值. 【详解】（1）设每件产品的销售利润为元，则的所有可能取值为1.5，3.5，5.5， 由直方图可得，，，三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4， 所以，，，， 所以随机变量的分布列为： 1.5 3.5 5.5 0.15 0.45 0.4 所以，， 故每件产品的平均销售利润为4元； （2）（i）由得，， 令，，，则， 由表中数据可得，， 则， 所以，， 即， 因为，所以， 故所求的回归方程为； （ii）设年收益为万元，则， 设，， 则， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以，当，即时，有最大值为768， 即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元. 【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题，求回归直线方程的步骤：（1）依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；（2）计算的值；（3）计算回归系数；（4）写出回归直线方程. 19. 已知椭圆的左焦点为，且过点. （1）求C的方程； （2）不过原点O的直线与C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列. （i）求的斜率； （ii）求的面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）利用左焦点和点求出，即可求出C的方程； （2）（ⅰ）设出直线的解析式和点的坐标，表达出直线OP，PQ，OQ的斜率，即可求出直线的斜率； （ii）表达出点O到直线PQ的距离，线段PQ的长度，进而表达出的面积，即可得到面积的取值范围. 【小问1详解】 由题知， 椭圆C的右焦点为，且过点， 所以，所以. 又，所以， 所以C的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由题知，直线l的斜率存在，且不为0. 设，，， 则，所以， 所以，， 且，即. 因为直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列. 所以，即， 所以，且. 因为，所以，所以. （ii）由（ⅰ）知，， 所以，且. 设点O到直线PQ的距离为d，所以. 因为，所以，， 所以 ， 又，且.所以 即的面积的取值范围. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是采用设线法，再将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，再整理，将韦达定理式代入即可求出值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $