2026届高三数学解题方法技巧模型讲义之-函数的周期性与对称性模型

超级模型2  周期与对称模型【模型归纳】 模型一：周期模型 【必备知识】 结论1  函数的图象既关于直线轴对称，又关于直线轴对称，则是以为周期的周期函数． 证明：由已知得． 令，即， 故函数的周期为． 结论2  函数的图象既关于直线轴对称，又关于点中心对称，则是以为周期的周期函数． 证明：由已知得． 令，即， 于是， 故函数的周期为． 结论3  函数的图象既关于点中心对称，又关于点中心对称， 则是以为周期的周期函数． 证明：由已知得． 令，即， 故函数的周期为． （河南驻马店2025高三联考） 【典例1】已知定义在上的奇函数满足，则（ ） A．0    B．    C．253    D．506 【答案】A 【分析】根据为上的奇函数，可得，结合可得，进而得到，可得函数是周期为8的周期函数，再结合可得，进而求解即可. 【详细解析】因为函数为上的奇函数，所以， 又，则， 所以， 所以函数是周期为8的周期函数， 又，则， 所以， 所以. 故选：A. （吉林长春市第五中学2025月考） 【典例2】若，，，，则 ． 【答案】 【分析】判断出函数的周期为6，利用对称性、已知条件求出可得答案. 【详细解析】因为，所以， 所以的一个周期为6．因为， 设，则， 令，则，又，， 所以， 所以，， ，， 所以． 所以． 故答案为：． （云南师范大学附属中学2025教学测评） 【典例3】设是定义在上的以3为周期的奇函数，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，进而可得，即可得. 【详细解析】由题意， 故，解得， 故答案为： 【题后反思】求解与函数周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.利用函数的周期性，可将其他区间的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 模型二：对称模型 【必备知识】 1．两个充要条件 （1）函数的图象关于直线轴对称对定义域内任意x都有函数是偶函数． （2）函数的图象关于点中心对称对定义域内任意x都有函数是奇函数． 2．对称性的两个结论 （1）函数对定义域内任意x都有，则函数的图象的对称轴是直线． （2）函数对定义域内任意x都有，则函数的图象的对称中心为点． （福建福鼎第一中学2025高三检测） 【典例4】已知是定义在上的奇函数，则以下函数中图象一定关于点成中心对称的是（ ） A．    B． C．    D． 【答案】B 【分析】构造函数，，判断它们的奇偶性，结合函数图象的平移变换，判断各选项的准确性. 【详细解析】设，则，所以为奇函数，对称中心为. 因为是由向右平移1个单位所得，故其对称中心为，所以A错误； 因为是由向左平移1个单位所得，故其对称中心为，所以B正确； 设，则，所以为奇函数，对称中心为. 因为是由向上平移1个单位所得，故其对称中心为，所以C错误； 因为是由向下平移1个单位所得，故其对称中心为，所以D错误； 故选：B （广东佛山2025高三统一调研测试） 【典例5】设是函数的导数，，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】C 【分析】令，求导，得到在上单调递增，且，由得到，得到的对称性，故在上单调递减，且，得到当时，，则，当时，，则，求出成立的的取值范围. 【详细解析】令，则， 因为时，，故当时，， 故在上单调递增，且． 因为，故， 即，所以， 故关于直线对称，故在上单调递减，且， 当时，，则； 当时，，则； 所以使得成立的的取值范围是. 故选：C． （2025四川泸州高三一模） 【典例6】已知函数的定义域为，若，则（ ） A．    B． C．    D． 【答案】BD 【分析】应用赋值法可求得，和，变换可得，与联立即可求得，应用可得，进而可得. 【详细解析】因为所以所以， 取，由可知，，故A错误； 取，由知，， 所以，故B正确； 令，由知，，即， 又因为，所以，故C错误； 由得，， 所以， 所以，所以， 又，所以， 所以，故D正确. 故选：BD 【题后反思】求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数图象的对称轴或对称中心.注意奇函数的图象关于原点对称.解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题. （轴对称问题·2025广东久洵杯调研测试） 1．若函数关于直线对称，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】由题意可得，代入展开后，结合等式恒成立，即可求得答案. 【详解】由题意函数关于直线对称， 故，即， 即， 即, 故需满足且，即， 则， 故选：B （中心对称·江西重点高中2025高三联考） 2．若定义在上的增函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设易得，结合函数单调性有，再由的单调性及零点确定不等式解集. 【详解】由，即的图象关于点对称， 所以，而，即， 则，又在上为增函数， 故，即， ， 因在上单调递增，且， 由，可得， 即不等式的解集为. 故选：C. （轴对称+中心对称+周期性湖北腾云联盟2025高三一模）） 3．已知定义在上的函数分别满足：为偶函数，，则下列结论正确的是（    ） A．函数为周期函数 B． C．的图像关于点中心对称 D． 【答案】ACD 【分析】根据表达式化简计算可得，即A正确，因为偶函数在原点处的取值不确定，可判断B错误，由对称中心定义可判断C正确，利用累加法计算可得D正确. 【详解】对于A，由可得，即的周期为2，A正确. 对于B，因为为偶函数，令可得无法确定，B错误， 对于C，因为为偶函数，所以， 可得， 因此关于点中心对称，即C正确； 对于D，，， 累加可得，所以，即D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：在求解对称中心问题时，要充分利用定义将表达式化简得出相应结论即可. （周期·山西临汾2025高三联考） 4．已知函数的定义域为，且，，则 ． 【答案】 【分析】令求，令求，令得，通过迭代求周期，然后可解. 【详解】令，则， 因为，所以， 令，则，得， 令，则，即， 所以， 所以 所以，所以，即， 是以6为周期的周期函数， 所以， 故答案为：. （中心对称+周期性·广东惠州2025联考） 5．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，且，则 . 【答案】（或写成） 【分析】根据奇函数和，得函数的周期为4，利用函数周期性和奇函数的关系进行转化即可得到结果． 【详解】因为，所以直线是函数的一条对称轴， 即， 又因为是奇函数，所以点是函数的对称中心， 即， 所以，所以， 故函数的周期是4， 因为是定义在上的奇函数，所以， 又当时，， 且，所以， ， 两式联立可解得， 所以当时，， 所以， ， 所以， 所以 . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：利用函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键，属于基础题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 超级模型2  周期与对称模型【模型归纳】 模型一：周期模型 【必备知识】 结论1  函数的图象既关于直线轴对称，又关于直线轴对称，则是以为周期的周期函数． 证明：由已知得． 令，即， 故函数的周期为． 结论2  函数的图象既关于直线轴对称，又关于点中心对称，则是以为周期的周期函数． 证明：由已知得． 令，即， 于是， 故函数的周期为． 结论3  函数的图象既关于点中心对称，又关于点中心对称， 则是以为周期的周期函数． 证明：由已知得． 令，即， 故函数的周期为． （河南驻马店2025高三联考） 【典例1】已知定义在上的奇函数满足，则（ ） A．0    B．    C．253    D．506 【答案】A 【分析】根据为上的奇函数，可得，结合可得，进而得到，可得函数是周期为8的周期函数，再结合可得，进而求解即可. 【详细解析】因为函数为上的奇函数，所以， 又，则， 所以， 所以函数是周期为8的周期函数， 又，则， 所以， 所以. 故选：A. （吉林长春市第五中学2025月考） 【典例2】若，，，，则 ． 【答案】 【分析】判断出函数的周期为6，利用对称性、已知条件求出可得答案. 【详细解析】因为，所以， 所以的一个周期为6．因为， 设，则， 令，则，又，， 所以， 所以，， ，， 所以． 所以． 故答案为：． （云南师范大学附属中学2025教学测评） 【典例3】设是定义在上的以3为周期的奇函数，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，进而可得，即可得. 【详细解析】由题意， 故，解得， 故答案为： 【题后反思】求解与函数周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.利用函数的周期性，可将其他区间的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 模型二：对称模型 【必备知识】 1．两个充要条件 （1）函数的图象关于直线轴对称对定义域内任意x都有函数是偶函数． （2）函数的图象关于点中心对称对定义域内任意x都有函数是奇函数． 2．对称性的两个结论 （1）函数对定义域内任意x都有，则函数的图象的对称轴是直线． （2）函数对定义域内任意x都有，则函数的图象的对称中心为点． （福建福鼎第一中学2025高三检测） 【典例4】已知是定义在上的奇函数，则以下函数中图象一定关于点成中心对称的是（ ） A．    B． C．    D． 【答案】B 【分析】构造函数，，判断它们的奇偶性，结合函数图象的平移变换，判断各选项的准确性. 【详细解析】设，则，所以为奇函数，对称中心为. 因为是由向右平移1个单位所得，故其对称中心为，所以A错误； 因为是由向左平移1个单位所得，故其对称中心为，所以B正确； 设，则，所以为奇函数，对称中心为. 因为是由向上平移1个单位所得，故其对称中心为，所以C错误； 因为是由向下平移1个单位所得，故其对称中心为，所以D错误； 故选：B （广东佛山2025高三统一调研测试） 【典例5】设是函数的导数，，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】C 【分析】令，求导，得到在上单调递增，且，由得到，得到的对称性，故在上单调递减，且，得到当时，，则，当时，，则，求出成立的的取值范围. 【详细解析】令，则， 因为时，，故当时，， 故在上单调递增，且． 因为，故， 即，所以， 故关于直线对称，故在上单调递减，且， 当时，，则； 当时，，则； 所以使得成立的的取值范围是. 故选：C． （2025四川泸州高三一模） 【典例6】已知函数的定义域为，若，则（ ） A．    B． C．    D． 【答案】BD 【分析】应用赋值法可求得，和，变换可得，与联立即可求得，应用可得，进而可得. 【详细解析】因为所以所以， 取，由可知，，故A错误； 取，由知，， 所以，故B正确； 令，由知，，即， 又因为，所以，故C错误； 由得，， 所以， 所以，所以， 又，所以， 所以，故D正确. 故选：BD 【题后反思】求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数图象的对称轴或对称中心.注意奇函数的图象关于原点对称.解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题. （轴对称问题·2025广东久洵杯调研测试） 1．若函数关于直线对称，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 （中心对称·江西重点高中2025高三联考） 2．若定义在上的增函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （轴对称+中心对称+周期性湖北腾云联盟2025高三一模）） 3．已知定义在上的函数分别满足：为偶函数，，则下列结论正确的是（    ） A．函数为周期函数 B． C．的图像关于点中心对称 D． （周期·山西临汾2025高三联考） 4．已知函数的定义域为，且，，则 ． （中心对称+周期性·广东惠州2025联考） 5．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，且，则 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$