精品解析：宁夏石嘴山市第三中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

石嘴山三中2024－2025学年第二学期高二年级月考数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合. 【详解】依题意，集合，而，则， 由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为. 故选：B 2. 函数，则 A. B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数的意义，首先计算内层函数值，再计算外层函数值，计算时根据自变量确定代入分段函数中即可. 【详解】∵函数，∴， ，故选D 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、指数与对数的运算，属于中档题．对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰．本题解答分两个层次：首先求出 的值，进而得到的值． 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性和零点存在定理计算判断即得. 【详解】在上单调递增，，在区间上单调递减， 函数在区间上单调递增， ，， 函数的唯一零点所在的区间是. 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指对数互化、对数的运算性质和换底公式计算找到关系式； 【详解】因为，所以， ，故. 故选：A. 5. 若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由是上的减函数列不等式，求解实数的取值范围即可. 【详解】由题意得， 解得； 解得；当时 解得. 综上得实数的取值范围为. 故选：D. 6. 若函数在区间上的最大值为3，则实数（ ） A. B. 1 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【详解】函数， 当时，，不合题意； 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意， 所以实数. 故选：C 7. 已知函数，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定函数的对称性与单调性，然后由对称性和单调性解不等式． 【详解】∵，∴的图像关于直线对称， ∵和都在上是减函数，在上是增函数，∴在上为减函数，在上为增函数． 又，∴，即或，解得或． 故选：C． 8. 设，若存在实数满足，且，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先画出函数的图象，利用函数的性质可知，，并且代入化简，利用二次函数求取值范围. 【详解】函数的图象如图所示， ，，， ，，， ， 又因为，所以. 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AC 【解析】 【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确； 对于选项B：的定义域为， 的定义域为， 定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：的定义域，的定义域， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故C正确； 对于选项D：的定义域为，的定义域为， 定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故D错误. 故选：AC. 10. 已知是定义在上的奇函数，当时，，下列说法正确的是（ ） A. 时，函数解析式为 B. 函数在定义域上为增函数 C. 不等式的解集为 D. 不等式恒成立 【答案】BC 【解析】 【分析】 对于A，利用奇函数定义求时，函数解析式为；对于B，研究当时，的单调性，结合奇函数图像关于原点对称，知在上的单调性；对于C，求出，不等式，转化为，利用单调性解不等式；对于D，分类讨论与两种情况是否恒成立. 【详解】对于A，设，，则， 又是奇函数，所以， 即时，函数解析式为，故A错； 对于B，，对称轴为，所以当时，单调递增，由奇函数图像关于原点对称，所以在上为增函数，故B对； 对于C，由奇函数在上为增函数，则时，，解得，（舍去），即， 所以不等式，转化为， 又在上为增函数，得，解得， 所以不等式的解集为，故C对； 对于D，当时， ， 当时， 不恒大于0，故D错； 故选：BC 【点睛】方法点睛：考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是： （1）把不等式转化为的模型； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别. 考查了利用奇偶性求函数解析式，求函数解析式常用的方法： （1）已知函数类型，用待定系数法求解析式； （2）已知函数奇偶性，用奇偶性定义求解析式； （3）已知求，或已知求，用代入法、换元法或配凑法； （4）若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解； 11. 已知函数则下列选项正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数的值域为 C. 方程有两个不等的实数根 D. 不等式解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】画出的图象，结合图象即可判断各选项. 详解】 画出的图象，如上图所示. 令，解得或， 所以的图象与轴交于. 对于A，由图象可知，函数在区间上不单调，A错； 对于B，由图象可知，函数的值域为，B对； 对于C，，， 由图象可知，方程，即有两个不等的实数根，C对； 对于D，由图象可知，当时，， 所以，由可得. 令，解得或； 令，解得或， 所以，由图象可知，不等式解集为，D错. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数的定义域是，即，结合函数的解析式，列出不等式组 ，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域是，即， 则函数有意义，则满足 ，解得， 解得，即函数的定义域是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了抽象函数定义域的求解，以及对数函数的性质的应用，其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法，以及对数函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 13. 函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由题意可得：，所以函数的单调递减区间为. 考点：函数的性质. 14. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的对称性和奇偶性，已知函数值的方程，求得参数，写出函数解析式，再利用奇偶性转换自变量的值，解得对应函数值. 【详解】已知为奇函数，则，换元得， 已知为偶函数，则，换元得， 则当时，即，因为，所以， 则，当时，，解得， 可知，即，解得， 所以当时，， 当时，，， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）若时，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用求得，由可求得，即得答案； （2）依题意可得当时，恒成立，参变分离可得恒成立，再令，，求出，即可求出参数取值范围. 【小问1详解】 由题意设， 由得； 由得， 即恒成立，故，则， 故； 【小问2详解】 因为当时，的图象恒在图象的上方， 所以当时，恒成立， 即当时，恒成立， 令，，则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 16. 已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数. （1）求函数的表达式； （2）对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据在区间上是严格减函数可得，解不等式可得整数的值，检验是否符合奇函数即可； （2）对任意实数，不等式恒成立，而在上为减函数，由此可得解． 【小问1详解】 依题意为奇函数，在区间上是严格减函数， 可得，解得， 由于,故，1，2， 当和时，，此时为奇函数，符合要求， 当时，，此时为偶函数，不符合要求， ； 【小问2详解】 不等式，即， 又在上是减函数，在上为增函数，则在上为减函数， 所以，则， 所以实数的取值范围为． 17. 已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上． （1）求实数的值； （2）解不等式； （3）有两个不等实根时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）确定定点的坐标，然后将其坐标代入中，从而求得的值. （2）列出的解析式，然后运用对数的运算法则化简不等式，根据对数函数的单调性求出解集. （3）将等式化简，然后将方程有两个不等实根问题转化为两个函数有两个不同交点的问题，从而根据函数的值域求出的范围. 【小问1详解】 因为的图象恒过定点，则. 将点代入中得：， 所以，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，所以. 将不等式化简得：，. 根据对数函数的单调性，则，所以. 即：，又， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 因为，所以. 所以有两个不等实根 将有两个不等实根问题转化为函数与直线有两个不同交点的问题. 当时，，此时； 当时，，此时； 所以，所以的取值范围为. 18. 随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时. （1）若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围； （2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：） 【答案】（1）车流密度的取值范围是 （2）隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米. 【解析】 【分析】（1）根据题意得，再根据分段函数解不等式即可得答案； （2）由题意得，再根据基本不等式求解最值即可得答案. 【小问1详解】 解：由题意知当（辆/千米）时，（千米/小时）， 代入，解得， 所以. 当时，，符合题意； 当时，令，解得，所以. 所以，若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度的取值范围是. 【小问2详解】 解：由题意得， 当时，为增函数，所以，当时等号成立； 当时， . 当且仅当，即时等号成立. 所以，隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米. 19. 经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是. （1）已知函数，且，求的值； （2）证明：函数图象的对称中心为； （3）已知函数，求的值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数，利用奇偶函数判定方法得为奇函数，从而的图象关于点对称，即可求解； （2）构造函数，利用奇偶函数的判定方法得为奇函数，通过变形可得，再利用题设定义，即可求解； （3）先假设的对称中心为，根据题设可得，，进而可得，即可求解. 【小问1详解】 令，易知其定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数， 则函数的图象关于点对称， 则，则， 又，所以. 【小问2详解】 因为， 令，则 易知的定义域为，定义域关于原点对称，又， 所以为奇函数，则函数图象的对称中心为. 【小问3详解】 假设函数图象有对称中心且对称中心为， 则，所以， 整理得到，所以，解得，， 所以函数有对称中心，则， 令， ， 相加得， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山三中2024－2025学年第二学期高二年级月考数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 函数，则 A. B. 4 C. D. 8 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C D. 5. 若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上最大值为3，则实数（ ） A. B. 1 C. 3 D. 7. 已知函数，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设，若存在实数满足，且，则的范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B 与 C. 与 D. 与 10. 已知是定义在上的奇函数，当时，，下列说法正确的是（ ） A. 时，函数解析式为 B. 函数在定义域上为增函数 C. 不等式的解集为 D. 不等式恒成立 11. 已知函数则下列选项正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数的值域为 C. 方程有两个不等的实数根 D. 不等式解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是________. 13. 函数的单调递减区间为__________. 14. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，且，则______． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）若时，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围. 16. 已知幂函数为奇函数，且在区间上严格减函数. （1）求函数的表达式； （2）对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 17. 已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上． （1）求实数的值； （2）解不等式； （3）有两个不等实根时，求的取值范围． 18. 随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时. （1）若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围； （2）隧道内车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：） 19. 经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是. （1）已知函数，且，求的值； （2）证明：函数图象的对称中心为； （3）已知函数，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $