精品解析：江西省九江市湖口县2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

下学期第一次阶段性评估八年级数学 检测范围：第一章至第三章 第Ⅰ卷（选择题，共18分） 一、选择题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A B. C. D. 2. 已知，则下列不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图：等边三角形中，，与相交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上． B. 角平分线上的点到角两边的距离相等． C. 三角形三个内角的平分线交于同一个点． D. 三角形三个内角的平分线的交点到三条边的距离相等． 5. 如果不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 6. 用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设　　 A. 三角形的三个外角都是锐角 B. 三角形的三个外角中至少有两个锐角 C. 三角形的三个外角中没有锐角 D. 三角形的三个外角中至少有一个锐角 第Ⅱ卷（非选择题，共102分） 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 7. 已知点与点关于原点对称，则_____． 8. 如果关于x的不等式的解集为，那么m的取值范围是______． 9. 某商品每件进价100元，每件标价150元，为了促销，商家决定打折销售，但其利润率不能低于，则这种商品最多可以打 _____折． 10. 如图，将放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A的坐标是，点C的坐标是，则点B的坐标是 __________． 11. 如图，在中，，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，，则______cm． 12. 如图，在中，，D为的中点，，点P为边上的动点，点E为边上的动点，则的最小值为_____． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 13. 解下列不等式（组）． （1）解不等式． （2）解下列不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 14. 在中，的垂直平分线分别交线段，于点M，P，的垂直平分线分别交线段于点N，Q．当时，求的度数． 15. 一次数学竞赛中，共有20道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分；80分以上（含80分）可以获奖，问若要获奖，至少要答对几道题？ 16. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图： （1）作出关于坐标原点O成中心对称的； （2）作出以O点为旋转中心，将绕点O逆时针旋转得到的．的面积是______． 17. 如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，光于，若、周长分别为和. (1)求证：； (2)线段的长. 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 18. 某社区为了更好地开展“垃圾分类，美丽永州”活动，需购买A，B两种类型垃圾桶，用1600元可购进A型垃圾桶14个和B型垃圾桶8个，且购买3个A型垃圾桶的费用与购买4个B型垃圾桶的费用相同，请解答下列问题： （1）求出A型垃圾桶和B型垃圾桶的单价． （2）若社区欲用不超过3600元购进两种垃圾桶共50个，其中A型垃圾桶至少29个，求有哪几种购买方案? 19. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF． （1）求证：CF=EB； （2）若AB=14，AF=8，求CF长． 20. 如图，已知直线与轴相交于点，与轴相交于点，直线与直线相交于点． （1）求m的值及直线的函数表达式； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 21. 如图，在等边中，，点M以的速度从点B出发向点A运动（不与点A重合），点N以的速度从点C出发向点B运动（不与点B重合），设点M，N同时运动，运动时间为． （1）在点M，N运动过程中，经过几秒时等边三角形? （2）在点M，N运动过程中，的形状能否为直角三角形，若能，请计算运动时间；若不能，请说明理由． 22. 阅读与理解： 若一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式②是一元一次不等式①的“覆盖不等式”，例如：不等式的解都是不等式的解，则是的“覆盖不等式”． 根据以上信息，解决下列问题： （1）__________的“覆盖不等式”；（填“是”或“不是”） （2）若关于的不等式是的“覆盖不等式”，且也是关于的不等式的“覆盖不等式”，求的值； （3）若是关于的不等式的“覆盖不等式”，试求的取值范围． 六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 23. 综合与实践 如图，在等腰中，，点D，E分别在边，上，，M，N分别为，的中点． 观察猜想 （1）如图1，线段与数量关系是_____，位置关系是_________． 探究证明 （2）将图1中的绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由． 模型应用 （3）将图1中的绕点A逆时针旋转，当M，D，N三点恰好共线时，若点D恰好是的中点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 下学期第一次阶段性评估八年级数学 检测范围：第一章至第三章 第Ⅰ卷（选择题，共18分） 一、选择题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意； C．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 已知，则下列不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，，， 故选项A、B、D描述正确，不符合题意； ∵， ∴ 故选项C描述错误，符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3. 如图：等边三角形中，，与相交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形性质、三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质．先根据等边三角形的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据三角形全等的性质可得，最后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中 ， ， ∴， ∴， 故选：C． 4. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上． B. 角平分线上的点到角两边的距离相等． C. 三角形三个内角的平分线交于同一个点． D. 三角形三个内角的平分线的交点到三条边的距离相等． 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点P作于E点，于F点，则，然后根据角平分线性质定理的逆定理可判断平分，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：如图，过点P作于E点，于F点， ∵两把长方形直尺完全相同， ∴， ∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：A． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的性质、角平分线的性质和线段垂直平分线的性质． 5. 如果不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知条件得出关于的不等式，即可得出选项． 【详解】解：， ∵不等式①的解集为， 不等式②的解集为， 又∵不等式组的解集为， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于的不等式，难度适中． 6. 用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设　　 A. 三角形的三个外角都是锐角 B. 三角形的三个外角中至少有两个锐角 C. 三角形的三个外角中没有锐角 D. 三角形的三个外角中至少有一个锐角 【答案】B 【解析】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设三角形的三个外角中至少有两个锐角， 故选B． 【点睛】考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 第Ⅱ卷（非选择题，共102分） 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 7. 已知点与点关于原点对称，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：由题意，得： ，． ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键． 8. 如果关于x的不等式的解集为，那么m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，解不等式等知识；由题意知，解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， ∴， 解得：； 故答案为：． 9. 某商品每件进价100元，每件标价150元，为了促销，商家决定打折销售，但其利润率不能低于，则这种商品最多可以打 _____折． 【答案】8 【解析】 【分析】设这种商品打折，利用利润售价进价，结合利润率不低于，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设这种商品打折， 根据题意得：， 解得：， ∴的最小值为8， ∴这种商品最多可以打8折． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 10. 如图，将放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A的坐标是，点C的坐标是，则点B的坐标是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．由平行四边形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：延长交y轴于点D， ∵点A的坐标是， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点C的坐标是， ∴，， ∴， ∴点B的坐标是， 故答案为：． 11. 如图，在中，，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，，则______cm． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据垂直平分线的性质，得出，再根据等边对等角，得出，再根据三角形的外角的性质，得出，再根据直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，即可得出答案. 【详解】解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形的外角的性质、含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解本题的关键． 12. 如图，在中，，D为的中点，，点P为边上的动点，点E为边上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，线段垂直平分线的性质等知识；连接，过点C作于点F，则易得，当点C，P，E共线且与重合时，取得最小值，利用面积关系可求得最小值． 【详解】解：如图，连接，过点C作于点F； ∵，D为的中点， ∴，， ∴，， ∴， 当点C，P，E三点共线且与重合时，取得最小值，最小值为线段的长； ∵， ∴； 故答案为：． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 13. 解下列不等式（组）． （1）解不等式． （2）解下列不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2）；数轴见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式和不等式组，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤，准确计算． （1）先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先求出两个不等式的解集，得出不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 将解集表示在数轴上，如图所示： 14. 在中，的垂直平分线分别交线段，于点M，P，的垂直平分线分别交线段于点N，Q．当时，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．先根据线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理求得，再根据等边对等角的性质可得，然后代入数据进行计算即可解答． 【详解】解：∵分别是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15. 一次数学竞赛中，共有20道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分；80分以上（含80分）可以获奖，问若要获奖，至少要答对几道题？ 【答案】至少要答对15题 【解析】 【分析】设答对题，那么答错或者不答的有题，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：设答对题，那么答错或者不答的有题， 由题意得：， 解得：， 答：至少要答对15题． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，理解题意，列出不等式是解题的关键． 16. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图： （1）作出关于坐标原点O成中心对称的； （2）作出以O点为旋转中心，将绕点O逆时针旋转得到的．的面积是______． 【答案】（1）图见详解 （2）图见详解，的面积是 【解析】 【分析】本题考查作中心对称图形及旋转作图，格点三角形的面积，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的定义及旋转的性质． （1）根据中心对称的性质找到点、、，连接、、即可得到答案； （2）根据旋转的性质找到、、，连接、、，再利用割补法求面积即可得到答案； 【小问1详解】 解：由题意可得，根据中心对称的性质找到点、、，连接、、，如图所示， 【小问2详解】 解：如图，三角形如图所示， 的面积是：， 故答案为：． 17. 如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，光于，若、周长分别为和. (1)求证：； (2)线段的长. 【答案】（1）见解析；（2）5cm 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义，平行线的性质和等腰三角形的判定证明BM=ME，EN=NC则问题可解； （2）由等腰三角形的性质，线段的和差及等量代换，三角形的周长计算出线段BC的长为5cm． 【详解】解：如图所示： （1）∵BE是∠ABC的角平分线， ∴∠MBE=∠CBE， 又∵MN∥BC， ∴∠CBE=∠MEB， ∴∠MEB =∠MBE， ∴BM=ME 同理BN=NC ∴ （2）∵△MBE为等腰三角形， ∴MB=ME， 同理可得：NE=NC， 又∵周长为AM+AN+MN， MN=ME+NE， ∴周长为AM+AN+ME+NE=AM+BM+AN+CN， ∴周长为AB+AC=8． 又∵周长为AB+AC+BC=13， ∴BC=13-8=5cm． 【点睛】本题综合考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的周长公式等相关知识点，解答关键是线段的等量代换和线段的和差进行计算． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 18. 某社区为了更好地开展“垃圾分类，美丽永州”活动，需购买A，B两种类型垃圾桶，用1600元可购进A型垃圾桶14个和B型垃圾桶8个，且购买3个A型垃圾桶的费用与购买4个B型垃圾桶的费用相同，请解答下列问题： （1）求出A型垃圾桶和B型垃圾桶的单价． （2）若社区欲用不超过3600元购进两种垃圾桶共50个，其中A型垃圾桶至少29个，求有哪几种购买方案? 【答案】（1）A型垃圾桶的单价为80元，B型垃圾桶的单价为60元 （2）共有2种购买方案，方案1：购进A型垃圾桶29个，B型垃圾桶21个；方案2：购进A型垃圾桶30个，B型垃圾桶20个． 【解析】 【分析】（1）设型垃圾桶的单价为元，型垃圾桶的单价为元，根据“用1600元可购进型垃圾桶14个和型垃圾桶8个，且购买3个型垃圾桶的费用与购买4个型垃圾桶的费用相同”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出型垃圾桶和型垃圾桶的单价； （2）设购进型垃圾桶个，则购进型垃圾桶个，根据“型垃圾桶至少购进29个，且购进50个垃圾桶的总费用不超过3600元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案． 【小问1详解】 解：设型垃圾桶的单价为元，型垃圾桶的单价为元， 依题意得：， 解得：． 答：型垃圾桶的单价为80元，型垃圾桶的单价为60元． 【小问2详解】 解：设购进型垃圾桶个，则购进型垃圾桶个， 依题意得：， 解得：． 又为正整数， 可以取29，30， 该社区共有2种购买方案， 方案1：购进型垃圾桶29个，型垃圾桶21个； 方案2：购进型垃圾桶30个，型垃圾桶20个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 19. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF． （1）求证：CF=EB； （2）若AB=14，AF=8，求CF的长． 【答案】（1）见详解 （2）3 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的性质可得，再利用“HL”证明，再利用全等三角形的性质求解； （2）利用“HL“证明，可得，设，则 ，，即可建立方程求解． 【小问1详解】 证明：∵于点E， ∴． 又∵AD平分，， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， 设， 则，， ∴， 解得 ， 故． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉直角三角形全等的性质与判定是关键． 20. 如图，已知直线与轴相交于点，与轴相交于点，直线与直线相交于点． （1）求m的值及直线的函数表达式； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：利用数形结合的思想，通过比较两函数图象的高低确定不等式的解集．也考查了待定系数法求一次函数解析式． （1）把代入直线中可得到的值，然后利用待定系数法求直线的解析式； （2）结合函数图象，找出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可． 【小问1详解】 解：把代入直线得， 解得； 把，代入直线得， 解得，， 直线的函数表达式为； 【小问2详解】 当时，， 关于的不等式的解集为． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 21. 如图，在等边中，，点M以的速度从点B出发向点A运动（不与点A重合），点N以的速度从点C出发向点B运动（不与点B重合），设点M，N同时运动，运动时间为． （1）在点M，N运动过程中，经过几秒时为等边三角形? （2）在点M，N运动过程中，的形状能否为直角三角形，若能，请计算运动时间；若不能，请说明理由． 【答案】（1）在点M，N运动过程中，经过时为等边三角形； （2）能；或 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的判定，当时，是等边三角形，由此即可解决问题； （2）分两种情况，由直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：运动后，，． 当时，是等边三角形． ∴． ∴． ∴在点M，N运动过程中，经过时为等边三角形； 【小问2详解】 解：①如图，当时， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴； ②如图，当时，． ∴． ∴． ∴． ∴在点M，N运动过程中，当运动时间或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半．关键是分情况讨论． 22. 阅读与理解： 若一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式②是一元一次不等式①的“覆盖不等式”，例如：不等式的解都是不等式的解，则是的“覆盖不等式”． 根据以上信息，解决下列问题： （1）__________的“覆盖不等式”；（填“是”或“不是”） （2）若关于的不等式是的“覆盖不等式”，且也是关于的不等式的“覆盖不等式”，求的值； （3）若是关于的不等式的“覆盖不等式”，试求的取值范围． 【答案】（1）是 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式： （1）根据“覆盖不等式”的定义进行求解即可； （2）先解两个不等式，求出两个不等式的解集，再根据两个不等式互为“覆盖不等式”列出关于a的不等式，解之即可得到答案； （3）先解不等式，再根据是关于的不等式的“覆盖不等式”列出关于m的不等式求解即可． 【小问1详解】 解：∵不等式的解都是不等式的解， ∴是的“覆盖不等式”， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：解不等式得，解不等式得， ∵关于的不等式是的“覆盖不等式”， ∴， ∴； 又∵也是关于的不等式的“覆盖不等式”， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：解不等式得， ∵是关于的不等式的“覆盖不等式”， ∴， ∴． 六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 23. 综合与实践 如图，在等腰中，，点D，E分别在边，上，，M，N分别为，的中点． 观察猜想 （1）如图1，线段与的数量关系是_____，位置关系是_________． 探究证明 （2）将图1中绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由． 模型应用 （3）将图1中的绕点A逆时针旋转，当M，D，N三点恰好共线时，若点D恰好是的中点，求的值． 【答案】（1）；；（2）为等腰直角三角形，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据，，得出，根据中点定义得出，，即，根据线段间数量关系得出，再根据垂线定义得出即可； （2）先证明，得出，，再证明，得出，即可得出答案； （3）根据等腰直角三角形的性质得出，，根据点M为的中点，得出，设，则，根据勾股定理求出，最后求出比值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，即， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）为等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （3）根据解析（2）可知：为等腰直角三角形， ∵点D为的中点， ∴，， ∵点M为的中点， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$