集合的概念复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.1集合的概念 题型1 集合的含义与元素的特征 4 题型2 元素与集合关系的判断及应用 6 考点1 元素与集合关系的判断 6 考点2 已知元素和集合的关系求参数 9 题型3 集合的表示方法 11 题型4 集合与方程的综合应用 15 基础过关自测 19 知识点一 集合与元素的含义 1．集合与元素的含义 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集). 通常用大写拉丁字母，，，…表示集合，用小写拉丁字母，，，…表示集合中的元素. 注：对集合与元素概念的理解 ①含义：“集合”是一个原始的不加定义的数学术语，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明. ②对象：集合中的对象所指的范围非常广泛，组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等. ③总体：集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体，而非个别对象. 2．集合中元素的三个特性 ⑴确定性：对于一个给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了. 例如,“高一年级所有的高个子学生”这一组对象就不能构成集合，因为“高个子”的标准不明确。 ⑵互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素。例如，方程有两个相等的实数根,其根构成的集合是,而不能写成.反过来,若表示一个集合,则必有且. ⑶无序性：构成集合的元素间无先后顺序之分. 任意调换集合中的元素位置,集合不变。例如,集合与集合是同一个集合.| 3．元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 元素与集合的关系 属于 如果是集合的元素，那么就说属于集合 属于集合 不属于 如果不是集合的元素，那么就说不属于集合 不属于集合 注：①与取决于是不是集合中的元素；根据集合中元素的确定性可知，对任何与，在与这两种情况中必有一种且只有一种成立。 ②符号仅表示元素与集合之间的关系。 ③元素与集合的相对性。例如：在中，是集合；在中，是元素。 4．集合相等 根据集合中元素的无序性，我们可以判断两个集合是否相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.集合与集合相等记作. 注：①两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等. ②两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如,构成的集合与,,,构成的集合相等. 5．集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.当集合中元素的个数有限时，称之为有限集；当集合中元素的个数无限时，称之为无限集. 知识点二 常用数集及其记法 数的集合简称数集，为书写方便，规定常用的数集用特定的字母表示，下面是一些常用的数集及其记法： 数集 定义 符号表示 自然数集 自然数组成的集合 正整数集 正整数组成的集合 或 整数集 整数组成的集合 有理数集 有理数组成的集合 实数集 实数组成的集合 知识点三 表示集合的三种基本方法 集合的常见表示方法有自然语言法、列举法、描述法及后面将要学习的 图法和符号法. 1．自然语言法 自然语言法是用文字叙述的形式描述集合的方法.此方法只要叙述清楚即可，如被除余数是的正整数的集合. 2．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫作列举法.例如，由方程的解构成的集合可以表示成. 注：使用列举法表示集合时的注意事项 ①元素间用逗号隔开. ②元素不能重复(互异性). ③元素之间不用考虑先后顺序(无序性). ④有些集合的元素较多，元素又呈现一定的规律，在不发生误解的情况下，也可以列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如不大于 的正整数所构成的集合可表示成. ⑤“”含有“所有”“整体”的含义，如所有实数构成的集合可以写为，但如果写成或就是错误的. ⑥对于含有有限个元素且元素个数较少的集合，宜采用列举法. 3．描述法 一般地，设是一个集合，我们把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法. 注：使用描述法表示集合时的注意事项 ①写清楚集合中元素的代表符号，如不能写成. ②用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何图形等. ③不能出现未被说明的字母，如中未被说明，故此集合中的元素是不明确的. ④所有描述的内容都要写在花括号内，如“，”不符合书写要求,应将“”写在“”中,即 . ⑤元素的取值(或变化)范围，从上下文来看，若能明确,则可省略不写,如集合也可表示为. ⑥多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语,如. 知识点四 数集和点集 一般地，在用描述法表示数集与点集时，数集的代表元素用一个字母表示，点集的代表元素用有序实数对表示.即通常表示数的集合，通常表示平面直角坐标系内点的集合.常见情形有 数集 集合 集合的含义 表示函数的所有自变量的取值组成的集合 表示函数的所有函数值组成的集合 表示方程的解集，即 点集 表示函数图像上所有的点组成的集合 表示二元一次方程组，的解集，即 题型1 集合的含义与元素的特征 1．（24-25高一上·四川南充·期中）下列选项中，能够构成集合的是（    ） A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题 C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数 【答案】C 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合中的元素满足的特征即可求解. 【详解】对于A，个子较高，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故A错误， 对于B，难题，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故B错误， 对于C，的根为，故集合为，C正确， 对于D, 无限接近于,概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故D错误， 故选：C 2．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）2024巴黎奥运会已圆满结束，中国体育健儿披荆斩棘，顽强拼搏，取得了骄人的成绩.下列有关巴黎奥运会的团体中不能构成集合的是（   ） A．全体参赛国家 B．全体裁判员 C．全体荣获金牌的运动员 D．全体表现较好的运动员 【答案】D 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】由集合的概念可得答案. 【详解】根据集合元素的确定性可以判断A，B，C正确； 对于D，“表现较好”没有衡量标准，因此表现较好的运动员是不确定的，故不能构成集合，故D不正确； 故选：D. 3．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）若，，，为集合的4个元素，则以，，，为边长的四边形可能是（   ） A．等腰梯形 B．直角梯形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【知识点】集合元素互异性的应用 【分析】根据集合中元素的互异性，以及特殊四边形边长的性质进行判断即可. 【详解】根据集合中元素的互异性，以，，，为边长的四边形，四条边均不相等， 选项中只有直角梯形可能满足要求. 故选：B 4．由实数所组成的集合，最多可含有（    ）个元素 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合元素互异性的应用 【解析】把分别可化为，，，，，，根据集合中元素的互异性，即可得到答案． 【详解】由题意，当时所含元素最多， 此时分别可化为，，， 所以由实数所组成的集合，最多可含有3个元素． 故选：B 5．（多选）（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】BD 【知识点】利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据集合中元素的互异性求解. 【详解】集合，则，解得，知BD符合. 故选：BD. 题型2 元素与集合关系的判断及应用 考点1 元素与集合关系的判断 6．用符号“”或“”填空： （1）若，则-1 A； （2）若，则3 B； （3）若，则8 C，9.1 C. （4） ； （5） ； （6）2017 . （7） ， ， ， ． 【答案】 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】结合自然数集，整数集，有理数集，实数集的元素特征，根据集合与元素的关系的定义判断即可. 【详解】（1），故； （2），故； （3），故； （4），； （5） （6）因为2017不能被表示为的形式，所以； （7） 7．（24-25高一上·福建泉州·期末）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 8．（多选）（24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可. 【详解】设， 则，A错误，C正确； ，B正确； ，D不正确. 故选：BC 9．（多选）（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，则下列元素满足的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据元素和集合的关系判断即可. 【详解】当时，；当时，；当时，； 6不能表示为两个整数的平方差. 故选：ABD. 10．（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当一负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴，故只有B正确. 故选：B. 11．已知集合A是由元素x组成的，其中，m，． (1)设，，，试判断，与A之间的关系； (2)任取，试判断，与A之间的关系． 【答案】(1)，，． (2)，． 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】（1）利用分母有理化和完全平方公式进行化简即可； （2）设,，然后将，表示出来，进行判断即可. 【详解】（1）∵，∴． ∵,∴． ∵，∴． 综上，，，． （2） 任取，设，， 则， 其中，，∴． ∵， 其中，，∴． 综上，，． 考点2 已知元素和集合的关系求参数 12．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合，若，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据元素与集合的关系可得出或，再结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为集合，且，分以下两种情况讨论： （1）若，则，此时，， 此时集合中的元素不满足互异性，舍去； （2）若，即，解得或（舍）， 当时，，合乎题意. 综上所述，. 故选：B. 13．已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据元素与集合的从属关系列式，可求实数m的取值范围. 【详解】由且，得，解得． 故选：A 14．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知集合，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】利用元素与集合的关系可求解. 【详解】因为，，所以，解得. 故选：D. 15．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【详解】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 题型3 集合的表示方法 16．（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知集合，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列举法表示集合 【分析】解一元二次方程，即可求出集合. 【详解】由，解得，，故. 故选：C． 17．（多选）（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）一次函数与的图象的交点组成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】通过联立方程组的方法来求得正确答案. 【详解】解方程组，解得， 故一次函数与的图象的交点组成的集合是： 或. 故选：BC 18．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列举法表示集合 【分析】由，结合得的值即可求解. 【详解】由得，，即， 又，∴ 故. 故选：C. 19．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列举法表示集合、列举法求集合中元素的个数 【分析】根据的取值分情况讨论，代入计算即可. 【详解】，时，， 时，， 或或或时，， 或或或时，， 故. 故选：D. 20．（多选）（24-25高一上·江西景德镇·期中）下列说法正确的有（   ） A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合 B．集合与集合是相同的集合 C．由，，，，这些数组成的集合有4个元素 D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合 【答案】CD 【知识点】判断元素能否构成集合、描述法表示集合 【分析】A选项：集合中元素需要具备确定性，而视力差标准不确定；B选项：点集和数集无法相等；C选项：集合中相同的元素算做1个；D选项：可以判断出和异号. 【详解】对于选项A，视力差标准不确定，所以某校高一年级视力差的学生不能构成集合，故选项A错误， 对于选项B，其中集合是数集，集合是点集， 所以集合与集合不是同一集合，故选项B错误， 对于选项C，因为，由集合中元素的互异性知这些数组成的集合有4个元素，所以选项C正确， 对于选项D，因为第二或第四象限内的点横纵坐标异号，即， 所以第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合，故选D正确， 故选：CD. 21．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】（1）利用列举法表示集合即可； （2）利用描述法表示集合即可； （3）利用描述法表示集合即可； （4）利用描述法表示集合即可. 【详解】（1）利用列举法表示集合; （2）利用描述法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用描述法表示集合. 题型4 集合与方程的综合应用 22．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合只有一个元素，则的取值集合为 . 【答案】 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分，两种情况讨论可求的取值集合. 【详解】①若，则，解得，满足集合 中只有一个元素，所以符合题意； ②若，则为一元二次方程，因为集合有且只有一个元素， 所以，解得. 综上所述：的取值集合为. 故答案为：. 23．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【详解】对a分类讨论，利用一元二次方程的解与判别式的关系即可得出． 【分析】集合中至多有一个元素，则 当时，， 当时，，解得， 综上所述，a的取值范围是：或， 故答案为：或． 24．（2024高一上�全国�专题练习）若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程及根的判别式列式求解即得. 【详解】依题意，方程有两个不等的实根，则且，解得且， 所以实数m的取值范围为且. 故选：C 25．已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 【答案】D 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分、、三种情况讨论，若为一次方程则符合题意，若为二次方程只需即可. 【详解】若，则，符合题意； 若，则变为，显然不成立， 则，不符合题意； 当，即时，则， 解得（舍）或， 所以的所有可能值为，故所有可能值的乘积为． 故选：D 26．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 【答案】(1)，且 (2) (3)答案见解析 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）由一元二次方程根的情况令，且判别式大于零求解即可； （2）由一元二次方程根的情况令，且判别式小于零求解即可； （3）分与不等于零的情况，当时，令判别式大于零. 【详解】（1）当A中有两个元素时，关于x的方程有两个不相等的实数根，所以，且，解得，且. （2）当A中没有元素时，关于x的方程没有实数根，所以，且，解得. （3）当A中有且仅有一个元素时，关于x的方程有一个实数根或有两个相等的实数根. 当时，方程的根为；当时，令，解得，此时. 综上所述，当时，集合A中有且仅有一个元素；当时，集合A中有且仅有一个元素. 三、题型5集合的新定义问题 27．设P，Q为两个非空实数集合，定义．若，，则中元素的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【知识点】集合新定义、列举法求集合中元素的个数 【分析】根据给定的定义，按分别求出即可. 【详解】当时，；当时，； 当时，，， 所以，共有8个元素. 故选：B 28．定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义 【分析】计算可求得，可得结论. 【详解】因为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 故中的元素个数为3. 故选：C. 29．集合 ，当时，若，则称 为的一个“孤立元素”，则中孤立元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【解析】根据“孤立元素”的定义，依次研究各元素即可得答案. 【详解】解：对于元素，，故不满足孤立元素的定义； 对于元素，，故不满足孤立元素的定义； 对于元素，，故不满足孤立元素的定义； 对于元素，，，故满足孤立元素的定义； 故中孤立元素的个数为个. 故选：A. 【点睛】本题考查集合新定义问题，正确理解新定义是解题的关键，是基础题. 30．（多选）非空集合G关于运算满足：（1）对任意a，，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称G关于运算为“融洽集”.现给出下列集合和运算，其中G关于运算为“融洽集”的是（    ） A．，为实数的乘法 B．，为整数的加法 C．，为整数的乘法 D．，为多项式的加法 【答案】AB 【知识点】集合新定义 【分析】根据是关于运算⊕为“融洽集”的定义，逐一分析四个集合及运算是否满足定义，可得答案． 【详解】对于，，为实数的乘法满足（1），且存在满足（2），故是关于运算⊕的融洽集，正确， 对于，非负整数，为整数的加法满足（1），且存在满足（2），故是关于运算⊕的融洽集，正确， 对于，偶数，为整数的乘法，若存在满足（2），则为奇数，与已知矛盾，故不是关于运算⊕的融洽集，错误， 对于，，为多项式的加法．两个二次三项式的和不一定是二次三项式，不满足（1），故不是关于运算⊕的融洽集，错误， 故选：． 基础过关自测 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 【答案】A 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合中元素的确定性可判断各选项. 【详解】①难解的题目，不满足元素的确定性，不能组成集合； ②方程无解，即方程在实数集内的解组成的集合为； ③直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为； ④很多多项式，不满足元素的确定性，不能组成集合； 故选：A. 2．（2024高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】判断是否为同一集合 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 3．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】通过列举法表示集合，逐项判断即可 【详解】，所以， 故A，C，D错误，B正确 故选：B. 4．（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 【答案】C 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】分和两种情况讨论，注意集合中元素的互异性. 【详解】因为，， 当时，则，此时，不符题意； 当时，解得或（舍去）， 若，则，符合题意， 综上所述，. 故选：C. 5．（24-25高一上·山东威海·阶段练习）给出下列说法： ①在直角坐标平面内，第一、三象限内的点组成的集合为； ②所有奇数组成的集合为； ③集合与是同一集合． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据集合元素的特征，即可判断选项. 【详解】第一象限内的点的坐标，即，第三象限内的点的坐标，即，故①正确； 所有奇数组成的集合为，故②错误； 集合是点集，集合表示数集，不是同一集合，故③错误. 故选：A 6．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据题意结合集合相等列式求解即可. 【详解】因为集合，且， 则，解得. 故选：A. 7．（24-25高一上·全国·随堂练习）对集合用描述法来表示，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】根据给定的集合的公共属性及各选项中集合表示的数的特征判断即得. 【详解】集合是不超过5的正整数的倒数形成的集合， 对于AB，集合AB中的有负数，AB不是； 对于C，集合中没有，C不是； 对于D，满足对集合的描述，D是. 故选：D 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①；②；③若，则；④若，且，则；⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合 【分析】利用集合的特征性质对选项进行判断. 【详解】若， 对于①，，①正确； 对于②，当中时，，所以，②正确； 对于③，若，不妨设， 则，，所以，③正确； 对于④，若且，不正确， 例如，，④不正确； 对于⑤，存在且，满足， 例如，， 若， 则，故，⑤正确. 综上，①②③⑤正确. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法中不正确的是（　　） A．集合中有两个元素 B．集合中没有元素 C． D．与是不同的集合 【答案】BCD 【知识点】判断是否为同一集合、判断元素与集合的关系、列举法表示集合 【分析】利用集合的元素个数判断AB；利用元素与集合的关系判断B；利用集合的元素特性判断D. 【详解】对于A，，该集合中有两个元素，A正确； 对于B，集合中有一个元素0，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，由集合中元素的无序性，知与是相同的集合，D错误. 故答案为：BCD 10．（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】根据题意可知，方程的根只有一个，分当和当时，直接根据方程只有一个根求解即可. 【详解】当，即时，，符合题意； 当，即时，若集合只有一个元素， 由一元二次方程根的判别式，解得. 综上实数的值可以为，. 故选：AD 11．（24-25高一上·重庆·阶段练习）设，则（      ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可. 【详解】设， 而，即A错误，C正确； ，即B正确； ，即D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高一上·福建泉州·期中）方程组的解集为 . 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】解原方程组，可得其解集. 【详解】解方程组得，故原方程组的解集为. 故答案为：. 13．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ． 【答案】，且 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据图形结合描述法即可得到答案. 【详解】设集合中的代表元素是． 由题意，，且， 因此所求集合，且． 故答案为：，且. 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，记且.则 ， . 【答案】 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义 【详解】由及可得可能的取值有1，2，3，6，即，4，3，0，故.因为且，所以；又且，则. 四、解答题 15．（24-25高一上·四川凉山·阶段练习）用列举法表示下列给定的集合： (1)方程的实数根组成的集合C； (2)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【答案】(1) (2) 【知识点】列举法表示集合 【分析】通过求解方程和方程组，用列举法表示集合即可. 【详解】（1）解方程得：或，所以集合； （2）解方程组得：，所以集合. 16．（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】描述法表示集合 【分析】（1）（2）（3）根据各项文字描述写出集合的描述形式即可. 【详解】（1）由x轴上的点的特征为，故集合为； （2）由点在抛物线上，故集合为； （3）由，则，故集合为. 17．（24-25高一上·全国·课后作业）若集合中至多有一个元素，求k的取值范围． 【答案】或 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分和两种情况讨论，结合判别式列式求解即可. 【详解】因为集合中至多有一个元素， 当时，，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：k的取值范围或. 18．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】（1）转化条件或，验证元素的互异性即可求解； （2）按照，讨论，验证即可求解. 【详解】（1）∵， 当，即时，此时，不成立， 当，即，此时，成立， ∴； （2）由题意可得，， 若，则，不符合题意， 若，则，不符合题意， 故不存在实数a和x的值，使得. 19．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1集合的概念 题型1 集合的含义与元素的特征 4 题型2 元素与集合关系的判断及应用 5 考点1 元素与集合关系的判断 5 考点2 已知元素和集合的关系求参数 6 题型4 集合与方程的综合应用 8 题型5 集合的新定义问题 9 基础过关自测 9 知识点一 集合与元素的含义 1．集合与元素的含义 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集). 通常用大写拉丁字母，，，…表示集合，用小写拉丁字母，，，…表示集合中的元素. 注：对集合与元素概念的理解 ①含义：“集合”是一个原始的不加定义的数学术语，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明. ②对象：集合中的对象所指的范围非常广泛，组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等. ③总体：集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体，而非个别对象. 2．集合中元素的三个特性 ⑴确定性：对于一个给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了. 例如,“高一年级所有的高个子学生”这一组对象就不能构成集合，因为“高个子”的标准不明确。 ⑵互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素。例如，方程有两个相等的实数根,其根构成的集合是,而不能写成.反过来,若表示一个集合,则必有且. ⑶无序性：构成集合的元素间无先后顺序之分. 任意调换集合中的元素位置,集合不变。例如,集合与集合是同一个集合.| 3．元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 元素与集合的关系 属于 如果是集合的元素，那么就说属于集合 属于集合 不属于 如果不是集合的元素，那么就说不属于集合 不属于集合 注：①与取决于是不是集合中的元素；根据集合中元素的确定性可知，对任何与，在与这两种情况中必有一种且只有一种成立。 ②符号仅表示元素与集合之间的关系。 ③元素与集合的相对性。例如：在中，是集合；在中，是元素。 4．集合相等 根据集合中元素的无序性，我们可以判断两个集合是否相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.集合与集合相等记作. 注：①两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等. ②两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如,构成的集合与,,,构成的集合相等. 5．集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.当集合中元素的个数有限时，称之为有限集；当集合中元素的个数无限时，称之为无限集. 知识点二 常用数集及其记法 数的集合简称数集，为书写方便，规定常用的数集用特定的字母表示，下面是一些常用的数集及其记法： 数集 定义 符号表示 自然数集 自然数组成的集合 正整数集 正整数组成的集合 或 整数集 整数组成的集合 有理数集 有理数组成的集合 实数集 实数组成的集合 知识点三 表示集合的三种基本方法 集合的常见表示方法有自然语言法、列举法、描述法及后面将要学习的 图法和符号法. 1．自然语言法 自然语言法是用文字叙述的形式描述集合的方法.此方法只要叙述清楚即可，如被除余数是的正整数的集合. 2．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫作列举法.例如，由方程的解构成的集合可以表示成. 注：使用列举法表示集合时的注意事项 ①元素间用逗号隔开. ②元素不能重复(互异性). ③元素之间不用考虑先后顺序(无序性). ④有些集合的元素较多，元素又呈现一定的规律，在不发生误解的情况下，也可以列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如不大于 的正整数所构成的集合可表示成. ⑤“”含有“所有”“整体”的含义，如所有实数构成的集合可以写为，但如果写成或就是错误的. ⑥对于含有有限个元素且元素个数较少的集合，宜采用列举法. 3．描述法 一般地，设是一个集合，我们把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法. 注：使用描述法表示集合时的注意事项 ①写清楚集合中元素的代表符号，如不能写成. ②用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何图形等. ③不能出现未被说明的字母，如中未被说明，故此集合中的元素是不明确的. ④所有描述的内容都要写在花括号内，如“，”不符合书写要求,应将“”写在“”中,即 . ⑤元素的取值(或变化)范围，从上下文来看，若能明确,则可省略不写,如集合也可表示为. ⑥多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语,如. 知识点四 数集和点集 一般地，在用描述法表示数集与点集时，数集的代表元素用一个字母表示，点集的代表元素用有序实数对表示.即通常表示数的集合，通常表示平面直角坐标系内点的集合.常见情形有 数集 集合 集合的含义 表示函数的所有自变量的取值组成的集合 表示函数的所有函数值组成的集合 表示方程的解集，即 点集 表示函数图像上所有的点组成的集合 表示二元一次方程组，的解集，即 题型1 集合的含义与元素的特征 1．（24-25高一上·四川南充·期中）下列选项中，能够构成集合的是（    ） A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题 C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数 2．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）2024巴黎奥运会已圆满结束，中国体育健儿披荆斩棘，顽强拼搏，取得了骄人的成绩.下列有关巴黎奥运会的团体中不能构成集合的是（   ） A．全体参赛国家 B．全体裁判员 C．全体荣获金牌的运动员 D．全体表现较好的运动员 3．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）若，，，为集合的4个元素，则以，，，为边长的四边形可能是（   ） A．等腰梯形 B．直角梯形 C．菱形 D．矩形 4．由实数所组成的集合，最多可含有（    ）个元素 A．2 B．3 C．4 D．5 5．（多选）（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 题型2 元素与集合关系的判断及应用 考点1 元素与集合关系的判断 6．用符号“”或“”填空： （1）若，则-1 A； （2）若，则3 B； （3）若，则8 C，9.1 C. （4） ； （5） ； （6）2017 . （7） ， ， ， ． 7．（24-25高一上·福建泉州·期末）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 8．（多选）（24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）设，则（ ） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，则下列元素满足的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 11．已知集合A是由元素x组成的，其中，m，． (1)设，，，试判断，与A之间的关系； (2)任取，试判断，与A之间的关系． 考点2 已知元素和集合的关系求参数 12．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合，若，则（    ） A． B． C． D．或 13．已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知集合，且，，则（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 题型3集合的表示方法 16．（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知集合，则集合（   ） A． B． C． D． 17．（多选）（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）一次函数与的图象的交点组成的集合是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 20．（多选）（24-25高一上·江西景德镇·期中）下列说法正确的有（   ） A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合 B．集合与集合是相同的集合 C．由，，，，这些数组成的集合有4个元素 D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合 21．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 题型4 集合与方程的综合应用 22．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合只有一个元素，则的取值集合为 . 23．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 24．（2024高一上�全国�专题练习）若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 26．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 题型5 集合的新定义问题 27．设P，Q为两个非空实数集合，定义．若，，则中元素的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 28．定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．集合 ，当时，若，则称 为的一个“孤立元素”，则中孤立元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 30．非空集合G关于运算满足：（1）对任意a，，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称G关于运算为“融洽集”.现给出下列集合和运算，其中G关于运算为“融洽集”的是（    ） A．，为实数的乘法 B．，为整数的加法 C．，为整数的乘法 D．，为多项式的加法 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 2．（2024高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 5．（24-25高一上·山东威海·阶段练习）给出下列说法： ①在直角坐标平面内，第一、三象限内的点组成的集合为； ②所有奇数组成的集合为； ③集合与是同一集合． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 6．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 7．（24-25高一上·全国·随堂练习）对集合用描述法来表示，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①；②；③若，则；④若，且，则；⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）下列说法中不正确的是（　　） A．集合中有两个元素 B．集合中没有元素 C． D．与是不同的集合 10．（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·重庆·阶段练习）设，则（      ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一上·福建泉州·期中）方程组的解集为 . 13．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ． 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，记且.则 ， . 四、解答题 15．（24-25高一上·四川凉山·阶段练习）用列举法表示下列给定的集合： (1)方程的实数根组成的集合C； (2)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 16．（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 17．（24-25高一上·全国·课后作业）若集合中至多有一个元素，求k的取值范围． 18．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 19．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$