1.1集合的概念 复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.1集合的概念 一、知识梳理 1．集合的概念 (1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)． (2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等． 精讲点拨：集合中的元素必须满足如下性质： (1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一． (2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的． (3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合． 2．元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A a不属于集合A 精讲点拨：符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换． 3．集合的表示法 (1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合． (2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示： 名称 非负整数集 (自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R (3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． (4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法． 二、考点分布 【题型一　集合概念的理解】 例题练习： 1．下列说法正确的是( ) A.我校高个子的同学能组成一个集合 B.联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C.数组成的集合中有7个元素 D.由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1,2,3,4 2．下列所给的对象能构成集合的是： ①所有的正三角形； ②高中数学人教A版必修第一册课本上的所有难题； ③比较接近1的正数； ④溆浦县第三中学2025年下学期高一年级16岁以下的学生； ⑤平面直角坐标系内到原点距离等于1的点( ) A.①④⑤ B.①②④⑤ C.①③④⑤ D.①②③④⑤ 变式训练： 3．下面几组对象可以构成集合的是 A.视力较差的同学 B.2018年的中国富豪 C.充分接近2的实数的全体 D.大于小于2的所有非负奇数 4．下面给出的四类对象中，能构成集合的是( ) A.某班视力较好的同学 B.某小区长寿的人 C.的近似值 D.方程的实数根 方法总结：判断一组对象是否能构成集合的三个依据 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 【题型二 集合的表示方法】 例题练习 5．方程组的解集可表示为( ) A. B. C. D. 6．集合用列举法表示为( ) A. B. C. D. 变式训练 7．一次函数与的图象交点组成的集合是( ) A. B. C. D. 方法总结：利用描述法表示集合的关注点 (1)写清楚该集合代表元素的符号． (2)所有描述的内容都要写在花括号内． (3)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写． 【题型三　元素与集合的关系】 例题练习： 8．下列关系正确的是( ) A. B. C. D. 9．给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 变式训练： 10．下列说法正确的有( ) ① ② ③ ④ ⑤ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 方法总结：判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法：集合中的元素是直接给出的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 【题型四 利用元素与集合的关系求参】 例题练习 11．已知集合，，则( ) A. B.或1 C.3 D. 12．集合,若,则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 变式训练： 13．已知集合A中元素满足,,则下列表示正确的是( ) A. B. C. D. 方法总结：确定集合中的元素 （1）充分理解集合的描述法， （2）注意检验元素互异性. 【题型五 利用元素的特殊性求参】 例题练习： 14．已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能取值组成的集合为____________. 15．已知,则实数a的取值集合为___________. 变式训练： 16．已知集合,其中a为常数,且.若A中至多有一个元素,则实数a的取值范围为_________________. 17．已知集合,且,则实数a的值为________________. 方法总结：利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点 (1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验． (2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用． 【题型六 集合新定义试题】 例题练习： 18．定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为__________. 变式训练： 19．小华同学学完集合的基本运算后，自己定义了如下集合运算：且，小华列举了如下命题： ①任意集合A, ②任意集合A,B, ③任意集合A,B, ④若，则 其中，所有正确命题的序号是__________. 三、达标检测 20．用适当的方法表示下列集合： (1)由方程的所有实数根组成的集合； (2)不等式的解集. 21．已知集合.若，则实数a的值构成的集合为________. 22．已知集合,若,则________. 参考答案 1．答案：B 解析：对于A,高个子缺少判断的明确标准,不能构成集合,错误； 对于B,联合国安理会常任理事国指的是中、法、俄、英、美五国,能构成集合,正确； 对于C,因为,故数组成的集合中只有5个元素,错误； 对于D,由不大于4的自然数组成的集合的元素有0,1,2,3,4,错误. 故选：B. 2．答案：A 解析：①能构成集合；②不能构成集合,“难题”标准不确定； ③不能构成集合,“比较接近1”的标准不明确； ④能构成集合；⑤能构成集合. 故选：A. 3．答案：D 解析：集合的元素需要满足确定性. 对于A，B，C三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合. 对于D选项，大于小于2的所有非负奇数为1，可以构成集合. 故本小题选D. 4．答案：D 解析：对于A，描述的对象“视力较好”不确定，不能构成集合，A不是； 对于B，描述的对象“长寿”不确定，不能构成集合，B不是； 对于C，没有给出精确度，描述的对象“的近似值”不确定，不能构成集合，C不是； 对于D，方程的实数根是和1，明确可知，能构成集合，D是. 故选：D 5．答案：A 解析：由得, 将代入得,所以, 故选:A 6．答案：A 解析：集合. 故选：A 7．答案：C 解析：因为,解得, 所以两函数图象交点组成的集合为. 故选：C. 8．答案：B 解析：,故A错误; ,故B正确; 由集合和集合间关系,,故C错误; ,故D错误; 故选:B 9．答案：B 解析：对于①,为实数,而R表示实数集,所以,即①正确； 对于②,2为整数,而Z表示整数集合,所以,即②正确； 对于③,为正自然数,而表示正自然数集,所以,所以③错误； 对于④,因为为无理数,Q表示有理数集,所以,即④错误. 故选：B. 10．答案：A 解析：是有理数,故①正确；不是正整数,故②错误； 不是自然数,故③错误；不是有理数,故④错误；是整数,故⑤错误. 故正确的有1个. 故选：A. 11．答案：D 解析：由可得或. ①当时，解得或， 若，则，与集合元素互异性矛盾， 若，则，此时，符合题意，故； ②当时，，由上分析可知不合题意. 故. 故选：D. 12．答案：C 解析：集合,, ,即, 故选:C 13．答案：ABC 解析： 14．答案： 解析：集合表示关于x的方程的解集， 因为集合A中只有一个元素，所以当，即时，由方程解得，此时，符合题意； 当时，，解得或， 当时，，当时，，符合题意. 综上可得，实数a的所有可能取值组成的集合为. 15．答案： 解析：由,所以 ①当时,得,解得或, 但时,,集合里的元素出现重复,故舍去,所以. ②当时,得,解得或, 但时,,集合里的元素出现重复,故舍去,所以. 综上可知,实数a的取值集合为, 故答案为: 16．答案： 解析：由, 若A中有零个元素,即方程无解,则,解得； 若A中有一个元素,即方程只有一个解,当时,方程为,解得,成立,当时,,解得,成立, 综上所述,若A中至多有一个元素,则实数, 故答案为：. 17．答案：0 解析：由集合,且,得或,解得或, 当时,,符合题意, 当时,且,与集合元素的互异性矛盾, 所以实数a的值为0. 故答案为：0. 18．答案：4 解析：，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 所以，所以集合中所有元素之和为. 19．答案：①③④ 解析：对于命题①，由新定义，若，则当且仅当且，而这显然不可能， 这表明了此时x不存在，即，故命题①正确； 对于命题②，不妨设，，由新定义，，， 这表明了此时，故命题②不正确； 对于命题③，由新定义，若，则一定有且， 这表明了此时集合是集合A的子集，即，故命题③正确； 对于命题④，若，则当且仅当，即若，则一定有， 由新定义，若，则当且仅当且，而这显然不可能， 这表明了此时x不存在，即若，则，故命题④正确. 综上所述：所有正确命题的序号是①③④. 故答案为：①③④. 20．答案：(1) (2) 解析：(1)由,解得, 则该方程所有实数根组成的集合为. (2)由,解得, 则不等式的解集为. 21．答案： 解析：因为集合，且，所以或. （1）当时，，，符合题意. （2）当时，解得或. 当时，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时，，符合题意. 综上可知，实数a的值构成的集合为. 22．答案：1 解析：依题意,分别令,,, 由集合的互异性,解得,则. 故答案为:1 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $