精品解析：湖南省娄底市涟源市2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

湖南省娄底市涟源市2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题 满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在下列选项实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，掌握实数的分类是解答本题的关键． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A. 是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； B. 是无理数，故此选项符合题意； C. 是整数，属于有理数，故此选项不符合同意； D. 是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 很多人可能都知道蓝鲸是迄今发现的地球上最大的动物，却都不了解体积最小的动物，世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多倍，它是被命名为 H39的原生动物，它的最长直径也不过才米． 其中数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法定义．根据题意利用科学记数法表示方法即可得到本题答案． 【详解】解：， 故选：C． 3. 一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出一个球，恰好是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率即可． 【详解】解：根据题意可得：一袋中装有红球6个，白球9个，黑球3个，共18个， 任意摸出1个，摸到白球的概率是． 故选：A． 4. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，你认为从左面看到的几何体形状应该为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在从左面看到的图中． 【详解】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的右边是一个小正方形． 故选：C． 【点睛】本题考查从不同方向看简单组合体，把握空间几何体从左面看得到的平面图形的构成是解决问题的关键． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查算术平方根、立方根、负整数指数幂、二次根式的乘法．根据算术平方根、立方根、负整数指数幂以及二次根式的乘法法则计算逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，本选项符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：A． 6. 如图，是的弦，半径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质．连接，利用全等三角形的性质证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，设交于K． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 7. 如图，在中，分别以A，B为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结，交于点P．若，的周长为10，则的长为（    ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键；由作图可知垂直平分，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵，的周长为10， ∴，即， ∴； 故选：B． 8. 为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意、找到等量关系成为解题的关键． 由汽车及骑车师生速度间的关系可得出汽车的速度为，再利用“时间、路程、速度”的关系以及等量关系“他们同时达到”列出关于x的分式方程即可． 【详解】解：∵汽车的速度是骑车师生速度的3倍，且骑车师生的速度为， ∴汽车的速度为， 根据题意得：． 故选：B． 9. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 故选：C． 10. 如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．当时，；当时，，结合图形，即可求解． 【详解】解：当时，如图， ∴，， ∴，此时抛物线开口向上． 当时，如图， ∴，， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴ ，此时抛物线的开口向下． 综上，选项A符合题意， 故选：A． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，积的乘方运算，根据单项式乘单项式和积的乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 已知与相似且周长比为，则与的面积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵与相似，且周长的比为， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为，即； 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． 13. 在平面直角坐标系中，若点与点于原点对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，代数式求值，关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，据此作答即可． 【详解】∵点与点于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 为了从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加市锦标赛，特统计了他们最近10次射击训练的成绩，其中，他们射击的平均成绩都为环，方差分别是，从稳定性的角度看，______的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题主要考查方差的知识，解答本题需掌握方差的意义； 根据题意得到甲、乙两人成绩的方差分别为：； 然后再结合方差的意义并比较出甲和乙的方差即可得到结论． 【详解】∵ ∴， 根据方差越小，越稳定， 故选甲， 故答案为：甲． 15. 如图，直线与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，连接、，则的面积是___________． 【答案】5 【解析】 【分析】依据轴，可得与的面积相等，再根据反比例函数和的图象分别过A、B两点，即可得到，，进而得出的面积为5． 【详解】解：如图，连接，， ∵轴， ∴与的面积相等， 又∵反比例函数和的图象分别过A、B两点， ∴，， ∴， ∴的面积5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了反比例函数中比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 16. 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，则房顶离地面的高度为________（结果保留两位小数）．（参考数据，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解三角形及轴对称图形的性质，过点作于点，根据轴对称图形的性质得出，，再利用正切函数求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵它是一个轴对称图形， ∴， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴． ∴房顶A离地面的高度． 故答案为：． 17. 如图，用一个直径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 _______cm．（结果保留π） 【答案】5π 【解析】 【分析】根据弧长的计算方法计算半径为，圆心角为的弧长即可． 【详解】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，牢记弧长公式是解答本题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是平行四边形，点、、的坐标分别为，，，点是的中点，点为线段上的动点，若是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据四边形是平行四边形，，，，点是的中点，可求出点的坐标，分类讨论，①如图所示，当；②如图所示，当点与点重合时；③如图所示，当；图形结合，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，，，， ∴， ∵点是的中点， ∴，则， ①如图所示，当，过点作轴于， ∵轴，轴，四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴在中，，且， ∴， ∴； ②如图所示，当点与点重合时， ∵，， ∴中，， ∵， ∴，符号题意， ∴； ③如图所示，当，过点作轴于， ∴在中，，且， ∴， ∴； 综上所述，若是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查图形的变换与点的坐标的综合，理解题意，掌握等腰三角形的性质，勾股定理求边长，平行四边形的性质，点坐标的表示是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 19. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见详解 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后把解集表示在数轴上即可． 本题考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，需要把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 【详解】解： 由①，得， 由②，得， ∴原不等式组的解集为：． 把解集表示在数轴上如图： 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】根据平方差公式及完全平方公式可进行化简，然后代值求解即可． 【详解】解：原式； ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查乘法公式及二次根式的乘法运算，熟练掌握各个运算法则是解题的关键． 21. 如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长． 【答案】（1）证明：∵ ∴ 在△ABC和△DCE中 ∴△ABC≌△DCE （2）13 【解析】 【分析】根据题意可知，本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，根据判定定理，运用两直线平行内错角相等再通过AAS以及勾股定理进行求解． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）可得BC=CE=5 在直角三角形ACE中 【点睛】本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，熟练掌握判定定理运用以及平行的性质是解决此类问题的关键． 22. 在人工智能技术飞速发展的时代，某校为了解学生对人工智能知识的熟悉程度，组织了一场知识测试，随机抽取名学生参加测试，对测试成绩（百分制）进行整理、描述和分析，将测试成绩划分为四个等级，并制作出不完整的统计图如下： 等级数据（单位：分）：，，，，，，，，，． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，并填空：_____，_____； （2）抽取的名学生中，等级成绩的中位数是_____分，众数是_____分； （3）该校共有1800名学生，若全部参加这次考核，请你估计成绩能达到等级的学生人数． 【答案】（1），，图见解析 （2）， （3）人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数、众数和用样本估计总体， （1）根据等级的人数和所占的百分比即可求出的值，再求出等级的人数即可补全条形图，根据总人数和等级的人数即可求出的值； （2）根据中位数和众数的定义即可得出答案； （3）用乘以等级所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：， 故等级的人数为，补全条形图如下： ∵， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 B等级成绩从小到大排列处在中间位置的两个数是和，因此中位数是=83.5， 成绩出现次数最多的是，因此众数是， 故答案为：，； 【小问3详解】 （人）， 答：估计成绩能达到等级的学生人数有人 23. 蓄电池的发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量和已行驶路程的相关数据，用函数图象表示如下． （1）根据图象，直接写出剩余电量为时，汽车已行驶的路程为______； （2）求该汽车剩余电量为时已行驶的路程； （3）根据小明提供的数据，这辆汽车用前半部分电量比用后半部分电量多行驶的路程为_____． 【答案】（1）150 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了从函数图像获取信息，求一次函数解析式，有理数减法的应用，正确求出一次函数解析式是解题关键． （1）根据函数图象，即可得到答案； （2）利用待定系数法求出段的函数解析式，再求出时，的值即可； （3）先求出当汽车电量为0时行驶的路程，再结合（2）所得结论，得到前半部分电量行驶的路程为，后半部分电量行驶的路程为，作差即可． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，剩余电量为时，汽车已行驶的路程为； 【小问2详解】 解：设段的函数解析式为， 将点和代入解析式得： ， 解得：， 段的函数解析式为， 当时，， 解得：， 即该汽车剩余电量为时，已行驶的路程是； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， 即当汽车电量为0时，行驶的路程为， 由（2）可知，当汽车剩余电量为时，行驶的路程是， 即前半部分电量行驶的路程为，后半部分电量行驶的路程为， ， 即这辆汽车用前半部分电量比用后半部分电量，能多行驶． 24. 辘轳（图1）是从杠杆演变来的汲水工具，据《物原》记载：“史佚始作辘轳”，说明早在公元前一千一百多年前中国已经发明了辘轳．如图2是从辘轳抽象出来的几何模型，在中，，是边上一点，以为半径的与相交于点，已知． （1）求证：直线是的切线． （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2）的半径为3 【解析】 【分析】（1）连接，根据可得，根据得，再证可得到即可的结论； （2）设的半径为r，在中，根据勾股定理列方程，解方程即可解决问题． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 直线是的切线； 【小问2详解】 解：在中，，，， ，， 设的半径为r，在中， ， 解得：， 的半径为3． 【点睛】本题考查了切线的判定及勾股定理的应用，添加辅助线和利用方程完成图形计算是解决问题关键． 25. 将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°）得到矩形AB′C′D′． 请探究如下内容： （1）如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长． （2）如图2，连接AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM是否相等？请说明理由． （3）在（2）的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），DN，MN，PN三条线段存在怎样的数量关系？请加以证明． 【答案】（1）； （2）见详解； （3）MN2＝PN•DN；见详解 【解析】 【分析】（1）设BC＝x，由旋转的性质和矩形的性质可得 ， ，，再由 ，根据对应边成比例列方程求解即可； （2）连接DD′，由平行线性质可得∠AD′M＝∠D′AC′，由全等三角形的性质可得∠D′AC′＝∠ADB，于是∠ADB＝∠AD′M，由等腰三角形的性质可得∠ADD′＝∠AD′D，从而∠MDD′＝∠MD′D，即可解答； （3）连接AM，由△AD′M≌△ADM求得∠MAD′＝∠MAD，由三角形外角的性质可得∠AMN＝∠NAM，因此MN＝AN；由△NPA∽△NAD可得AN2＝PN•DN，便可证明； 【小问1详解】 解：如图，设BC＝x， ∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形AB′C′D′， ∴点A，B，D′在同一直线上， ∴AD′＝AD＝BC＝x，D′C′＝AB′＝AB＝1， ∴D′B＝AD′﹣AB＝x﹣1， ∵∠BAD＝∠D′＝90°， ∴D′C′∥DA， 又∵点C′在DB的延长线上， ∴， ∴ ， ∴， 解得x1＝，x2＝（不合题意，舍去）， ∴BC＝． 【小问2详解】 解：如图，连接DD′， ∵D′M∥AC′， ∴∠AD′M＝∠D′AC′， ∵AD′＝AD，∠AD′C′＝∠DAB＝90°，D′C′＝AB， ∴△AC′D′≌△DBA（SAS）， ∴∠D′AC′＝∠ADB， ∴∠ADB＝∠AD′M， ∵AD′＝AD， ∴∠ADD′＝∠AD′D， ∴∠MDD′＝∠MD′D， ∴D′M＝DM； 【小问3详解】 解：如图，连接AM， ∵D′M＝DM，AD′＝AD，AM＝AM， ∴△AD′M≌△ADM（SSS）， ∴∠MAD′＝∠MAD， ∵∠AMN＝∠MAD+∠NDA，∠NAM＝∠MAD′+∠NAP， ∴∠AMN＝∠NAM， ∴MN＝AN， 在△NAP和△NDA中，∠ANP＝∠DNA，∠NAP＝∠NDA， ∴△NPA∽△NAD， ∴， ∴AN2＝PN•DN， ∴MN2＝PN•DN． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质；熟练掌握相关性质是解题关键． 26. 如图①，平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点，和点，与轴交于点C，P为抛物线上一动点． （1）拋物线的对称轴为直线______，拋物线的函数表达式为______； （2）如图②，连接，若点在上方，作轴交于点，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求的最大值； （3）若点在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E．请探索以（G是点关于轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着点的运动而发生变化？若不变，求出这个四边形的面积；若变化，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）不变，这个四边形的面积为16 【解析】 【分析】（1）根据二次函数图象与x轴的交点坐标即可求得对称轴，再利用待定系数法求函数解析式即可； （2）利用待定系数法求直线的解析式，设平移后函数解析式为：，建立方程组可得，再根据抛物线与直线始终有交点，可得，再进行计算即可； （3）分别求出直线、的解析式，再令，分别求得点F、E、G的坐标，从而求得、的值，即可求得四边形的面积． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴分别交于点和点， ∴抛物线对称轴为： 直线， 把点和点代入得：， 解得， ∴二次函数解析式为：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵抛物线， ∴， 设直线的解析式为；， 把点和点代入得：， 解得：， ∴直线解析式为：， 设平移后函数解析式为：， 建立方程组 整理得：， ∵抛物线与直线始终有交点， ∴， ∴， ∴h的最大值为； 【小问3详解】 解：如图，设， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∵G是点E关于x轴的对称点， ∴， ∵，， ∴． 综上，这个四边形的面积不变，这个四边形的面积为16． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与x轴的交点坐标与对称轴的关系、二次函数与一元二次方程、一次函数与二元一次方程组、解二元一次方程，熟练掌握相关知识，利用参数构建方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省娄底市涟源市2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题 满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在下列选项实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 很多人可能都知道蓝鲸是迄今发现的地球上最大的动物，却都不了解体积最小的动物，世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多倍，它是被命名为 H39的原生动物，它的最长直径也不过才米． 其中数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出一个球，恰好是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，你认为从左面看到的几何体形状应该为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的弦，半径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，分别以A，B为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结，交于点P．若，的周长为10，则的长为（    ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 10. 如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 计算：_______． 12. 已知与相似且周长比为，则与的面积比为______． 13. 在平面直角坐标系中，若点与点于原点对称，则________． 14. 为了从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加市锦标赛，特统计了他们最近10次射击训练的成绩，其中，他们射击的平均成绩都为环，方差分别是，从稳定性的角度看，______的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）． 15. 如图，直线与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，连接、，则的面积是___________． 16. 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，则房顶离地面的高度为________（结果保留两位小数）．（参考数据，） 17. 如图，用一个直径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 _______cm．（结果保留π） 18. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是平行四边形，点、、的坐标分别为，，，点是的中点，点为线段上的动点，若是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 19. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长． 22. 在人工智能技术飞速发展的时代，某校为了解学生对人工智能知识的熟悉程度，组织了一场知识测试，随机抽取名学生参加测试，对测试成绩（百分制）进行整理、描述和分析，将测试成绩划分为四个等级，并制作出不完整的统计图如下： 等级数据（单位：分）：，，，，，，，，，． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，并填空：_____，_____； （2）抽取的名学生中，等级成绩的中位数是_____分，众数是_____分； （3）该校共有1800名学生，若全部参加这次考核，请你估计成绩能达到等级的学生人数． 23. 蓄电池的发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量和已行驶路程的相关数据，用函数图象表示如下． （1）根据图象，直接写出剩余电量为时，汽车已行驶的路程为______； （2）求该汽车剩余电量为时已行驶的路程； （3）根据小明提供的数据，这辆汽车用前半部分电量比用后半部分电量多行驶的路程为_____． 24. 辘轳（图1）是从杠杆演变来的汲水工具，据《物原》记载：“史佚始作辘轳”，说明早在公元前一千一百多年前中国已经发明了辘轳．如图2是从辘轳抽象出来的几何模型，在中，，是边上一点，以为半径的与相交于点，已知． （1）求证：直线是的切线． （2）若，求的半径． 25. 将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°）得到矩形AB′C′D′． 请探究如下内容： （1）如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长． （2）如图2，连接AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM是否相等？请说明理由． （3）在（2）的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），DN，MN，PN三条线段存在怎样的数量关系？请加以证明． 26. 如图①，平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点，和点，与轴交于点C，P为抛物线上一动点． （1）拋物线的对称轴为直线______，拋物线的函数表达式为______； （2）如图②，连接，若点在上方，作轴交于点，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求的最大值； （3）若点在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E．请探索以（G是点关于轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着点的运动而发生变化？若不变，求出这个四边形的面积；若变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $