精品解析：2025年江苏省徐州市睢宁县新城区九年级中考数学第三次模拟试卷

九年级数学第三次模拟试卷 一、单选（3×8=24） 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条管道将水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 以为中心点的量角器与直角三角板如图所示摆放，直角顶点在零刻度线所在直线上，且量角器与三角板只有一个公共点，若点对应读数为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 某排球队名场上队员的身高（单位：）是：，，，，，.现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 8. 如图，以矩形的顶点A为圆心，以长为半径作弧，交于点F，交于点E，且，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题3×10=30 9. 分解因式：_________________． 10. 2025年春节上映的《哪吒之魔童闹海》在海内外持续上映，截止2025年4月9日票房已超156亿，数据156亿用科学记数法表示为______． 11. 已知点是线段的黄金分割点，，则线段的长为________． 12. 若二次函数的图象与轴无交点，则的取值范围是______． 13. 如图，五边形是正五边形，若，则__________． 14. 如图，在中，过，，三点的与相交于点．若，则______． 15. 用半径为，面积为的扇形铁皮，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为__________． 16. 关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是_____． 17. 如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是6，则的值为______． 18. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图象上存在两个“级和值点”，则的取值范围为___________． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 20. （1）解方程； （2）解不等式组：． 21. 某校就“的知晓程度”对全校学生进行问卷测试.现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分，并进行整理、描述和分析（得分用表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95. 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中　　　，　　　，　　　； （2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对的知晓程度更高?请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有450名学生，九年级有500名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对 “非常了解”的共有多少名? 22. 如图，有四张背面完全相同的纸牌、、、，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀． （1）从中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是______． （2）先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，求摸出的两张牌面图形都是轴对称图形的概率． 23. 如图，中，，D是的中点，P是上的一点，且弧弧，为的外接圆． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若是等边三角形，，求弧的长． 24. 宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫与点的距离为. （1）求坐垫到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到，参考数据：，，） 25. 定义：如图①，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． （1）已知点是线段的勾股分割点，若，求的长． （2）如图②，在菱形中，点、分别在、上，，，分别交于点．求证：是线段的勾股分割点． （3）如图3，点是线段上的一定点如图所示．请在上画一点，使，是线段的勾股分割点（尺规作图） 26. 已知：二次函数的图像与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点，且． （1）求二次函数表达式； （2）若抛物线上有两点、，当时，求的取值范围； （3）设是二次函数位于第一象限图像上一点，作于点轴于点．当最大时，求点的横坐标． 27. 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． （1）如图1，已知四边形是筝形，则其对角线与满足的关系是______； （2）如图2，中，，P为线段上一点，将沿向外翻折得，将沿向右翻折得，连接，若，判断四边形是否为筝形，请说明理由，并求出的长； （3）如图3，四边形中，，，，点E在上，，当时，请直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第三次模拟试卷 一、单选（3×8=24） 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值、相反数、有理数的乘方和负数的定义，正确的计算是解题的关键．根据求绝对值、相反数、有理数的乘方和负数的定义，将各数化简，即可求解． 【详解】解：A、是负数，符合题意； B、，是正数，不符合题意； C、，是正数，不符合题意； D、，是正数，不符合题意； 故选：A． 2. 下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意； C．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不合题意； D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的运算， 先根据幂的乘方计算A，再判断是否是同类项解答B，然后根据单项式乘以单项式解答C，最后根据乘法公式解答D． 【详解】解：因为，所以A不正确； 因为不是同类项，不能合并，所以B不正确； 因为，所以C正确； 因为，所以D不正确． 故选：C． 4. 如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条管道将水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．依据线段的性质以及垂线段的性质，即可得出结论． 【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的方案是B选项． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 5. 如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，概率的计算，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形，结合概率公式计算即可． 【详解】解：如图，当涂黑1、2、3区域时，所有黑色方块构成的图形是中心对称图形， 是中心对称图形的概率， 故答案选：A． 6. 以为中心点的量角器与直角三角板如图所示摆放，直角顶点在零刻度线所在直线上，且量角器与三角板只有一个公共点，若点对应读数为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】量角器器与三角板只有一个公共点，得到与圆量角器相切与点，得到，进而求出的度数，利用平角的定义，即可求出的度数． 【详解】解：∵量角器与三角板只有一个公共点， ∴与圆量角器相切与点， ∴， ∴， ∵点对应读数为，即：， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查切线的定义和性质，角度的计算．正确的识图，确定三角形的边与量角器相切，是解题的关键． 7. 某排球队名场上队员的身高（单位：）是：，，，，，.现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据平均数的计算公式进行计算即可,根据方差公式先分别计算出甲和乙的方差，再根据方差的意义即可得出答案. 详解：换人前6名队员身高的平均数为==188， 方差为S2==； 换人后6名队员身高的平均数为==187， 方差为S2== ∵188＞187，＞， ∴平均数变小，方差变小， 故选A. 点睛：本题考查了平均数与方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立. 8. 如图，以矩形的顶点A为圆心，以长为半径作弧，交于点F，交于点E，且，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质和解直角三角形，构造直角三角形，利用三角函数转化线段关系是解题关键． 过点作，垂足为交于过点作，垂足为，设，根据等腰三角形性质可得，，再利用，证明，可得，，进而表示各条线段长，最后利用列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴过点作，垂足为交于过点作，垂足为， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 设，则，， ∴， ， ， ∴， ， ∵在矩形中，，， ∴， ∵， ∴， 解并检验得：， ∴， 故选：A． 二、填空题3×10=30 9. 分解因式：_________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式3a，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 10. 2025年春节上映的《哪吒之魔童闹海》在海内外持续上映，截止2025年4月9日票房已超156亿，数据156亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：156亿． 故答案为：． 11. 已知点是线段的黄金分割点，，则线段的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 12. 若二次函数的图象与轴无交点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求得． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴无交点， ∴无实数根， ∴， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 13. 如图，五边形是正五边形，若，则__________． 【答案】72 【解析】 【详解】分析：延长AB交于点F，根据得到∠2=∠3,根据五边形是正五边形得到∠FBC=72°,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出. 详解：延长AB交于点F， ∵， ∴∠2=∠3， ∵五边形是正五边形， ∴∠ABC=108°, ∴∠FBC=72°, ∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72° 故答案为72°. 点睛：此题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键. 14. 如图，在中，过，，三点的与相交于点．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，由四边形是平行四边形，则，又四边形是圆内接四边形，所以，得出，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 用半径为，面积为的扇形铁皮，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的计算．根据扇形面积公式计算． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得：， 故答案为：12． 16. 关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案． 【详解】去分母得：， 解得：， ， 解得：， 当时，不合题意， 故且． 故答案为且． 【点睛】此题主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意义是解题关键． 17. 如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是6，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ， ， ∵点A在双曲线上，点B在， ，， ， ， ， ， ，轴， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 18. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图象上存在两个“级和值点”，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与方程的关系，数形结合是解题的关键．由题意可知二次函数的图象与直线在的范围内有两个交点，求得直线与抛物线有且只有一个交点和直线过点时的的值，结合图象即可求得． 【详解】解：设“级和值点”坐标为，则，整理得， ∵在的范围内，若二次函数的图象上存在两个“级和值点”， ∴二次函数的图象与直线在的范围内有两个交点， 令，解得或， ∴二次函数的图象与x轴的交点为，， 令 方程整理得， 当直线与抛物线有且只有一个交点时，， 解得， 当直线过点时，， 解得， ∴二次函数的图象上存在两个“级和值点”，则的取值范围为． 故答案为：． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，实数的混合运算，分式的混合运算； （1）先计算零次幂，算术平方根，负整数指数幂，绝对值，再合并即可； （2）先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 20. （1）解方程； （2）解不等式组：． 【答案】（1）x1=1+，x2=1-；（2）不等式组的解集为1＜x≤． 【解析】 【分析】（1）方程利用配方法求出解即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】解：（1）方程移项得：x2-2x=5， 配方得：x2-2x+1=6，即（x-1）2=6， 开方得：x-1=±， 解得：x1=1+，x2=1-； （2）． 由①得：x＞1， 由②得：x≤， 则不等式组的解集为1＜x≤． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，以及解一元一次不等式组，熟练掌握方程及不等式组的解法是解本题的关键． 21. 某校就“的知晓程度”对全校学生进行问卷测试.现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分，并进行整理、描述和分析（得分用表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95. 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中　　　，　　　，　　　； （2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对的知晓程度更高?请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有450名学生，九年级有500名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对 “非常了解”的共有多少名? 【答案】（1），， （2） 八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）： ①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79； ②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78． （3）人 【解析】 【分析】本题考查的是从扇形图与统计表中获取信息，求解中位数，众数，利用样本估计总体； （1）由八年级被抽取的学生测试得分中第5个，第6个数据分别是：82，82，从而可得中位数的值，由九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，可得的值，由八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有人，可得的值； （2）从中位数或众数的角度出发可得答案； （3）由九年级与八年级的总人数分别乘以“非常了解”的占比，再求和即可. 【小问1详解】 解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有； 八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有； ∴第5个，第6个数据分别是：82，82， 所以中位数， 九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多， ， ∵八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有， ∴， ∴； 故答案为：82，20，78； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有名． 22. 如图，有四张背面完全相同的纸牌、、、，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀． （1）从中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是______． （2）先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，求摸出的两张牌面图形都是轴对称图形的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，概率公式，列表法或树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）由中心对称图形的定义可知，图案是中心对称图形的情况有3种，再根据概率公式求解即可； （2）由轴对称图形的定义可知，正三角形、正方形矩形是轴对称图形，再列表求概率即可． 【小问1详解】 解：由中心对称图形的定义可知，正方形、平行四边形和矩形是中心对称图形， 则共有4张牌，图案是中心对称图形的情况有3种， 因此摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是； 【小问2详解】 解：由轴对称图形的定义可知，正三角形、正方形矩形是轴对称图形， 列表如下： 由表格可知，共有种情况，其中摸出的两张牌面图形都是轴对称图形的情况有6种， 即摸出的两张牌面图形都是轴对称图形的概率为． 23. 如图，中，，D是的中点，P是上的一点，且弧弧，为的外接圆． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若是等边三角形，，求弧的长． 【答案】（1） 直线与相切，理由： 连结、，交于E，如图， ∵弧弧， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴直线与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连结、，交于E，则，，，有，进一步得，结合已知得，即； （2）根据题意得和，则，，证明是等边三角形，设的半径为r，则，在中利用勾股定理求得r，再结合弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， 设的半径为r，则， 在中，，即，解得， 则弧的长． 【点睛】本题主要考查切线的判定、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、垂径定理、弧长公式和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉圆的性质和三角形的性质． 24. 宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫与点的距离为. （1）求坐垫到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1）99.5（2）3.9 【解析】 【分析】（1）作于点，由可得答案； （2）作于点，先根据求得的长度，再根据可得答案 【详解】（1）如图1，过点E作于点， 由题意知、， ∴， 则单车车座到地面的高度为； （2）如图2所示，过点作于点， 由题意知， 则， ∴. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答． 25. 定义：如图①，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． （1）已知点是线段的勾股分割点，若，求的长． （2）如图②，在菱形中，点、分别在、上，，，分别交于点．求证：是线段的勾股分割点． （3）如图3，点是线段上的一定点如图所示．请在上画一点，使，是线段的勾股分割点（尺规作图） 【答案】（1）的长为或 （2）证明：∵四边形是菱形， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴，即， ∴，则， ∵， ∴，即， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的勾股分割点； （3）如图所示，点即为所求点的位置： 【解析】 【分析】（1）设，则，根据勾股定理中直角边与斜边的关系，分类讨论即可求解； （2）根据菱形的性质设，根据平行线截线段成比例得到，则，，则，则，运用勾股定理的计算即可求证； （3）根据尺规作垂线，垂直平分线的性质作图即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 设，则， 当是斜边时，， ∴，整理得， ∵， ∴原方程无解，即不是斜边； 当是斜边时，， ∴， 解得，， ∴； 当是斜边时，， ∴， 解得，， ∴； ∴的长为或； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：以点为圆心，以为半径画弧交于点， 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，则为线段的垂直平分线，垂足为点，则， 在上取， 连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，交于点，则， 在中，，即， ∴点即为所求点的位置． 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，菱形的性质，平行线截线段成比例，尺规作垂线，垂直平分线的性质等知识的综合，理解勾股定理的计算，平行线截线段成比例的计算，垂直平分线的性质是解题的关键． 26. 已知：二次函数的图像与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点，且． （1）求二次函数表达式； （2）若抛物线上有两点、，当时，求的取值范围； （3）设是二次函数位于第一象限图像上一点，作于点轴于点．当最大时，求点的横坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的综合、等腰三角形的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先求出，再根据待定系数法求解即可； （2）先说明抛物线的对称轴为、抛物线的开口方向向下，再根据离对称轴越远的点的函数值越小列不等式求解即可； （3）先求得，再求出直线解析式为，设，则，进而得到所以、；如图：过G作于I，再根据等腰三角形的性质、矩形的判定与性质可得，进而得到，最后根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵函数图象与轴交于两点（A在左侧）， ∴， 将、代入可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为：， ∵， ∴抛物线的开口方向向下， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴， ∴，解得：． 【小问3详解】 解：令，即， ∴，解得：或， ∴． 设直线解析式为，把，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， ∵，， ∴， ∴， 如图：过P作轴于D，交于E． ∵， ∴， ∴， 设，则． 所以，则， 如图：过G作于I， ∵， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴， 令， ∴抛物线的对称轴为：， ∵抛物线开口方向向下，， ∴当时，取最大值， ∴点P的横坐标为． 27. 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． （1）如图1，已知四边形是筝形，则其对角线与满足的关系是______； （2）如图2，中，，P为线段上一点，将沿向外翻折得，将沿向右翻折得，连接，若，判断四边形是否为筝形，请说明理由，并求出的长； （3）如图3，四边形中，，，，点E在上，，当时，请直接写出的最大值． 【答案】（1）垂直平分 （2） 四边形是筝形，理由如下： 如图2，设与交于点H， 由折叠的性质得，垂直平分，垂直平分， ∴，，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形， （3） 【解析】 【分析】（1）由筝形可得，，即垂直平分； （2）由折叠的性质可得，，，，，由等腰三角形的性质可得垂直平分，即，可证四边形是筝形，由面积法可求的长； （3）由折叠的性质可得，，，，，，可证，由勾股定理可求的长，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是筝形， ∴，， ∴垂直平分； 故答案为：垂直平分； 【小问2详解】 解：证明筝形略． ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，将沿翻折得，将沿翻折得，在截取，连接，， ∵，， ∴， 由折叠得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当点A，点G，点H，点D共线时，有最大值， ∴的最大值． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了新定义，折叠的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握新定义，合理添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $