1.1菱形的性质与判定（题型专练）数学北师大版九年级上册

1.1 菱形的性质与判定 题型一 利用菱形的性质求角度 1．（2025·河南·模拟预测）如图，在菱形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形性质求角度，涉及菱形邻角互补、菱形对角线平分对角等知识，先由菱形邻角互补求出，再由菱形对角线平分对角求解即可得到答案．熟记菱形性质是解决问题的关键． 【详解】解：在菱形中，，则， 是菱形一条对角线， 平分，则， 故选：D． 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，三角形中位线的性质．根据菱形对角线的性质得到，，进而推出是的中位线，根据三角形中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴． 故选：B． 3．（2025·海南·模拟预测）如图，在菱形中，分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，连接．若直线恰好过点A且交CD于点E，连接．则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，平行线的性质，由作法得垂直平分，，由菱形，得到，得到为等边三角形，由平行线的性质，即可求解， 【详解】解：如图所示，连接， 由作法得垂直平分， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，在菱形中，于点E，于点F，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据菱形的性质，等积法得到，等边对等角，求出的度数即可． 【详解】解：∵菱形中，于点E，于点F， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 5．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，是线段上一点，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由菱形的性质得，，再由直角三角形的在得，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ． ， ， ． 题型二 利用菱形的性质求线段长 1．（24-25八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，，，则对角线等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据菱形的判定定理得到是菱形，得到，得到是等边三角形，得出，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 是菱形， ， 是等边三角形， ． 故选：D． 2．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，则菱形边上高的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键． 先根据菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据菱形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 故选：B． 3．（2025·河南郑州·三模）如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，中位线定理，勾股定理，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 先利用中位线定理求出菱形的边的长，再利用菱形的性质求得，从而可得，再利用勾股定理求得的长． 【详解】解：∵O为的中点，M为的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C ． 4．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，四边形是菱形，过点C作，交的延长线于点B，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，先证明，再证明，进一步利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， 故答案为： 5．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，四边形是菱形，，求： (1)的度数． (2)若，求线段和的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据四边形是菱形，得，，则，即可作答． （2）先根据四边形是菱形，得，，，运用勾股定理算出，然后根据菱形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴； ∵， ∴菱形的面积， ∵，且， ∴菱形的面积， ∴， ∴． 题型三 利用菱形的性质求周长 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知菱形的面积为24，其中一条对角线长为8，则菱形的周长为（   ） A．20 B．25 C． D．40 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，由菱形的面积求出，再由菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，再根据菱形的周长公式计算周长即可． 【详解】解：如下图菱形，假设对角线， 则， ∴， 由菱形的性质可知：，，，， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：A 2．（2024•深圳模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为（　　） A．24 B．30 C． D． 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质证明AB＝BC＝CD＝AD，在根据已知条件证明△ABC是等边三角形，求出AB＝BC＝AC＝6，从而求出菱形周长即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝6， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝6， ∴菱形ABCD的周长为： AB+BC+CD+AD ＝6+6+6+6 ＝24， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握菱形的性质、等边三角形的判定和性质． 3．（2024秋•包头期末）菱形ABCD中，若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的周长是（　　） A．25 B．20 C．15 D．10 【答案】B． 【分析】首先根据菱形的性质可得AOAC，BODB，AC⊥BD，AB＝CB＝CD＝AD，进而得到AO和BO的长，然后再利用勾股定理计算出AB长，再计算菱形的周长即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AOAC，BODB，AC⊥BD，AB＝CB＝CD＝AD， ∵AC＝8cm，BD＝6cm， ∴AO＝4cm，BO＝3cm， ∴AB5cm， ∴菱形ABCD的周长是：5cm×4＝20cm， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形的对角线互相垂直、平分，四边相等． 4．（2024秋•朝阳区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝4，则菱形ABCD的周长为（　　） A．48 B．32 C．24 D．16 【答案】B． 【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA， ∴△COD为直角三角形． ∵OE＝4，点E为线段CD的中点， ∴CD＝2OE＝8． ∴C菱形ABCD＝4CD＝4×8＝32． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出CD＝8． 5．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理求出，得到菱形的周长． 【详解】解：菱形， ，，， ， ， 菱形的周长． 故答案为：． 题型四 利用菱形的性质求面积 1．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质及面积，含度角直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质及面积是解题的关键．根据菱形的性质得，，再利用已知条件求，根据勾股定理求出，然后根据菱形的面积计算公式进行求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， ， ． 在中根据勾股定理得∶ ， ， ． 故选∶C． 2．（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别为，的中点，连接，，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查中位线的性质，菱形的性质，根据中位线的性质可得，根据菱形的性质可得，，根据菱形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴， ∵在菱形中，对角线，相交于点，， ∴，， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）若菱形周长为，两对角线之和为，则菱形面积为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先求出菱形的边长为，再由菱形的性质得到，根据题意可得，设，则，由勾股定理得，据此根据完全平方公式的变形求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵菱形周长为， ∴菱形的边长为， 如图所示，菱形的对角线交于点O，则， ∵两对角线之和为， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：11． 4．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，菱形的周长为16，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，若，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的面积计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 根据菱形的性质得到，再根据三角形的面积公式得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 菱形的周长为16， ， ，， ， 故答案为：． 5．（2024秋•达州期末）如图，菱形ABCD的边长为26，对角线AC的长为48，延长AB至E，BF平分∠CBE，点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为 　 　． 【答案】240． 【分析】连接BD交AC于点O，根据菱形的性质可得BD与AC互相垂直平分，再根据AC平分∠DAB，BF平分∠CBE，可以证明AC∥FB，根据平行线间的距离处处相等可得S△CBG＝S△ABG，进而可得S△ACG＝S△ABC． 【详解】解：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD与AC互相垂直平分， ∴OA＝OC＝24， ∴OB＝OD10， ∵DA∥CB， ∴∠DAB＝∠CBE， ∵AC平分∠DAB， ∴∠CABDAB， ∵BF平分∠CBE， ∴∠FBECBE， ∴∠CAB＝∠FBE， ∴AC∥FB， ∴S△CBG＝S△ABG， ∴S△ACG＝S△ABCAC•OB48×10＝240， 则△ACG的面积为240． 故答案为：240． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的面积，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 题型五 利用菱形的性质证明 1．（2025·陕西咸阳·三模）如图，在菱形中，延长到点，连接并延长，交的延长线于点．．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． 根据题意判定即可求解． 【详解】证明：在菱形中，， ， ， ， ． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知：如图，在菱形中，，点E、F分别在上，是等边三角形，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质．先证明是等边三角形，利用证明即可得到． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，平分，． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点是对角线上的一点，，，垂足分别为点，且．求证：是菱形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了菱形的判定，角平分线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 先证得平分，由角平分线的性质可得，再由平行四边形的性质可得，进而可得，由等角对等边可得，进而证得结论． 【详解】证明：，，垂足分别为点E、F，且， 点在的角平分线上， 平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形． 4．（2025·云南昭通·二模）如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，由菱形的性质可得，再证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：四边形是菱形， ， ，， ． ， ， ． 5．（2025九年级下·山东济南·专题练习）如图，在菱形中，于点，于点，与、分别相交于点、． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 证明≌，≌，即可求解． 【详解】证明：∵，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴≌， ∴． 又∵， ∴， ∴≌， ∴． 题型六 添加一个条件证明菱形 1．（24-25八年级下·四川广元·阶段练习）如图，在四边形中，于点O．在以下条件中①；②；③；④，添加一个条件使其成为菱形，则可以是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定进行逐一判断即可． 【详解】解：当添加①时，无法证明四边形是菱形； 当添加②时，无法证明四边形是菱形； 当添加③时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； 当添加④时，无法证明四边形是菱形； 故选：C． 2．（2025·河南开封·三模）如图，在中，，将沿直线平移，得到，连接，，若添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定．根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定定理即可求解． 【详解】解：因为四边形是平行四边形，所以，， 因为沿直线平移得到， 所以，，所以四边形是平行四边形， 当添加时，因为， 所以， 所以， 所以， 所以平行四边形AFGB是菱形． 当添加时，不能判断平行四边形AFGB是菱形； 当添加或时，只能判断平行四边形AFGB是矩形，不能判断平行四边形AFGB是菱形； 故选：B． 3．（2025·甘肃庆阳·三模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择 （限填序号）． 【答案】①③或③① 【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，据此可得到答案． 【详解】解：添加条件①时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故①符合题意； 添加条件②时， ∵四边形是平行四边形，， ∴不能得到四边形是菱形，故②不符合题意； 添加条件③时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故③符合题意； 故答案为：①③． 4．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，点分别在的边上，连接，连接相交于点，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． (1)你选择的补充条件是______；（填序号） (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 【答案】(1)①（③） (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． （1）添加合适的条件即可； （2）证四边形是平行四边形，再由一组临边相等的平行四边形是菱形，或对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明． 【详解】（1）解：补充条件①或③皆可，（答案不唯一）； 故答案：①或③ （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即． ∵， ∴四边形是平行四边形． 补充条件①：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形． 补充条件③：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形． 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，的对角线相交于点，分别是，的中点． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，线段中点的性质，全等三角形的判定，菱形的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定方法． （1）根据平行四边形的性质和线段中点的性质得出相等的边和角，然后利用边角边即可证明三角形全等； （2）利用对角线互相垂直的平行四边形为菱形即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ， 又∵分别是，的中点， ， ∴， 在和中， ； （2）解：， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵分别是，的中点， ， ∴， ∴四边形为平行四边形， 添加， 则平行四边形为菱形． 题型七 菱形的判定条件判断 1．（2024秋•天河区校级月考）四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是菱形的是（　　） A．AD∥BC，AB∥DC，AD＝BC B．AB＝DC，∠ABD＝∠BDC，AD＝CD C．AB＝DC＝AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD 【答案】A． 【分析】由菱形的判定方法逐一判断，即可求解． 【详解】A、AD∥BC，AD＝BC，AB∥DC，如一般的矩形可满足此条件，但不是菱形，故符合题意； B、∵∠BDC＝∠ABD， ∴AB∥CD， ∵AB＝DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形，故不符合题意； C、∵DC＝AD＝AB＝BC，由菱形的定义可得四边形ABCD是菱形，故不符合题意； D、∵OB＝OD，OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定方法，掌握了菱形的判定方法是解题的关键． 2．（2024秋•温县期中）如图，已知▱ABCD的对角线交于点O，下列条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠ABD＝∠ADB B．OA2+OB2＝CD2 C．∠BAO＝∠DCO D．∠ABO＝∠CBO 【答案】C． 【分析】根据∠ABD＝∠ADB得出AB＝AD，根据邻边相等的平行四边形是菱形，判定A选项不符合同意；根据勾股定理得出∠AOB＝90°，得出AC⊥BD，即可判断B不符合同意；根据∠BAO＝∠DCO无法判断四边形ABCD为菱形，即可判断C符合题意；根据∠ABO＝∠CBO，证明∠ABO＝∠ADB，得出AB＝AD，即可判断D不符合同意． 【详解】解：A．由∠ABD＝∠ADB得出AB＝AD，四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），故不符合题意； B．∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD， ∵OA2+OB2＝CD2， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴△AOB为直角三角形，∠AOB＝90°， ∴AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，故不符合题意； C．由∠BAO＝∠DCO不能证明▱ABCD是菱形，故符合题意； D．∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵∠ABO＝∠CBO， ∴∠ABO＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD为平行四边形，故不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，掌握对角线垂直的垂直或邻边相等的平行四边形是菱形解题的关键． 3．（2024•罗湖区校级开学）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．下列说法不能使平行四边形ABCD为菱形的是（　　） A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC 【答案】C． 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明平行四边形ABCD是菱形，可判断A不符合题意；由AB＝BC，可根据菱形的定义证明平行四边形ABCD是菱形，可判断B不符合题意；由AC＝BD，根据“两条对角线相等的平行四边形是矩形”可证明平行四边形ABCD是矩形，但平行四边形ABCD不一定是菱形，可判断C符合题意；由AD∥BC，得∠DAC＝∠BCA，则∠BCA＝∠BAC，所以AB＝BC，可根据菱形的定义证明平行四边形ABCD是菱形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故A不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故B不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，但平行四边形ABCD不一定是菱形， 故C符合题意； 如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， ∵∠DAC＝∠BAC， ∴∠BCA＝∠BAC， ∴AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定等知识，正确地理解和掌握菱形的定义和判定定理是解题的关键． 4．（2024春•昭通期末）下面是关于如图的不完整推理过程： ∵∠BAD+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵____， ∴四边形ABCD是菱形； 为使推理成立，横线上可以添加的条件是（　　） A．∠BCD+∠ADC＝180° B．AC＝BD C．∠BAD+∠BCD＝180° D．AD＝AB 【答案】D． 【分析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，判断即可． 【详解】解：∵∠BAD+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）； 故选：D． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，掌握其性质定理是解决此题的关键． 5．（2024秋•碑林区校级月考）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠BAC＝∠ABO B．∠ABC＝∠BAC C．OA2+OB2＝AD2 D．AD2+OA2＝OB2 【答案】C． 【分析】由菱形的判定和勾股定理的逆定理分别对各个选项进行判定即可． 【解答】解：A、由∠BAC＝∠ABO，不能判定▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、∵∠ABC＝∠BAC， ∴BC＝AC，不能判定▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵OA2+OB2＝AD2， ∴OA2+OD2＝AD2， ∴△AOD是直角三角形，且∠AOD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故选项C符合题意； D、∵AD2+OA2＝OB2， ∴AD2+OA2＝OD2， ∴△AOD是直角三角形，且∠OAD＝90°， ∴AC⊥DD，不能判定▱ABCD是菱形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握菱形的判定和勾股定理的逆定理是解题的关键． 题型八 菱形判定的证明 1．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分． 求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及菱形的判定，掌握特殊四边形的判定定理是解题关键．根据角平分线的定义和平行线的性质，得到，再结合已知条件，得到，先证明四边形是平行四边形，再证明菱形即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 2．（2025·陕西西安·三模）如图，点E为的边的中点，连接并延长交的延长线于点F，．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定，熟记相关结论即可． 证明，可得，从而得到，继而得到，即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，． ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 3．（2024秋•虹口区校级月考）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M为AC中点，MN⊥BD于点O，BN∥DM，求证：四边形BNDM为菱形． 【答案】见解析 【分析】根据直角三角形的性质得到BM＝DMAC，根据等腰三角形的性质得到∠BMN＝∠DMN，由平行线的性质得到∠BNM＝∠DMN，等量代换得到∠BMN＝∠BNM，求得BM＝BN，得到BN＝DM，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M为对角线AC的中点， ∴BM＝DMAC， ∵MN⊥BD， ∴∠BMN＝∠DMN， ∵BN∥DM， ∴∠BNM＝∠DMN， ∴∠BMN＝∠BNM， ∴BM＝BN， ∴BN＝DM＝BM＝DN， ∴四边形BNDM是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 4．（2025·江苏扬州·二模）如图，中，D是边上一点，E是的中点，过点C作的平行线交的延长线于F． (1)求证：， (2)连接、，若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）由E是的中点，，即可得出一组边相等，两组内错角相等，即可证明． （2）由，可得，继而可证四边形是平行四边形，再根据，则四边形是菱形． 【详解】（1）证明：∵E是的中点，， ∴，，， ∴． （2）四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 5．（2025·山东聊城·三模）如图，中，平分，交于点D，垂直平分，交于点E，交于点F，垂足为点G，连接，．求证： (1) ； (2)四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据垂直平分线的性质得，结合平分，得，即可证明； （2）先由等边对等角得，进行角的等量代换得，证明，故四边形是平行四边形，结合一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答． 【详解】（1）证明：∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 题型一 利用菱形的性质与判定求角度 1．（2025·浙江宁波·一模）杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连结点固定在伞柄顶端，伞圈能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点到伞骨连结点的距离都等于的一半，若夹角，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质．根据菱形的性质可得，，求得，，求得，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在中，分别是边，，的中点． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，解题的关键是： （）由三角形中位线的性质可得，，即可得四边形为平行四边形，又由中点定义可得，即可求证； （2）先根据平行线的性质求出的度数，然后根据菱形的对角线平分每一组对角求解即可． 【详解】（1）证明：∵分别是的中点， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，将两块完全相同的含有角的直角三角尺在同一平面内按如图方式摆放，其中点A、E、B、D在同一直线上，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的证明，菱形的性质等知识点，熟记相关结论即可求解； （1）由题意得：，推出，得，即可求证； （2）由题意得，推出，即可求解； 【详解】（1）证明：由题意得：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴ 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在直角三角形纸片中，，把这张纸片沿折叠，使点A与C重合，连接，过点B作的平行线，与的延长线交于点F． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)当四边形为菱形时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和菱形的边的性质． （1）根据，，证明，得到结论； （2）根据菱形的性质证明，得到的度数． 【详解】（1）证明：由题意得，， 又∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 题型二 利用菱形的性质与判定求线段长 1．（24-25八年级下·北京密云·期中）如图，在中，，过点作的平行线与的延长线相交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再证明四边形是平行四边形，进而证明，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）设与交于点，根据平行四边形的性质求出，根据菱形性质求出，，，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是菱形； （2）解：如图，设与交于点， 四边形是平行四边形， ， ∵四边形是菱形， ，，， ， ∴， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识．熟练掌握菱形的判定方法，是解题的关键． 2．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，在中，，点D是的中点，连接，过点C作，过点A作，交于点E，连接交于点O． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点F，交于点G，若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了菱形的判定与性质和勾股定理，解题关键是熟练掌握菱形的判定定理和勾股定理，准确进行推理证明和计算． （1）先根据，证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等即可； （2）根据菱形的性质得出，得出为等边三角形，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，点D是的中点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， 解得． 3．（2025·北京房山·一模）如图，，平分，交于点C．平分，交于点D，连接，于点D，交于点G． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行及角平分线得，即，从而得四边形是平行四边形，再由即可证明结论成立； （2）设交于点O，由菱形的性质及垂直关系得点G是线段的中点，得，在中由勾股定理即可求解． 【详解】（1）∵ ∴； ∵平分，平分， ∴， ， ∴ ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ， ∴四边形是菱形； （2）解：设交于点O，如图； ∵四边形是菱形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点C是的中点， ∴； 在中，，， 由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，三角形中位线性质定理，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，熟悉菱形的判定与性质是解题的关键； 4．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在四边形中，，，相互平分且交于点，过点作的垂线交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)64 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是菱形； （2）由勾股定理得到，再由菱形的性质得到，，据此根据梯形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵相互平分， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：在中，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴四边形是梯形， ∴． 题型三 利用菱形的性质与判定求面积 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，中，点，分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为4，求菱形边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形中位线定理，菱形的判定和性质，勾股定理，通过中位线定理把与联系起来是解题的关键． （1）由中位线定理证明，，通过等量代换得出，先证四边形是平行四边形，再证四边形是菱形； （2）连接，交于点O，根据菱形的性质得出，，，根据菱形的面积为4，得出，根据勾股定理求出． 【详解】（1）证明： ，分别是，的中点， ∴是的中位线， ，， 又 ，， ， 又 ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接，交于点O，如图所示： 四边形是菱形， ∴，，， ∵菱形的面积为4， ∴， ∴， ∴， 即菱形的边长为． 2．（23-24九年级下·湖南邵阳·期中）在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及菱形的面积计算，熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）证明，可得，再由D是的中点，即，根据可证四边形是平行四边形，再利用直角三角形的性质可得，即可得出结论； （2）连接，证明四边形是平行四边形，可得，再利用菱形的面积公式即可计算出结果． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵E是的中点， ∴， 又∵， 在和中， ， ， ， ∵D是的中点， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴在中，， ∴平行四边形是菱形； （2）解：连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ， 又∵四边形是菱形，， ． 3．（24-25九年级下·辽宁丹东·开学考试）如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，且时，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、旋转的性质、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解答此题的关键． （1）证明、为等边三角形，得出，，结合旋转的性质可得，，即可得证； （2）由题意可得平行四边形是菱形，得出，连接，作于，则，求出，由直角三角形的性质可得，再由面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得：，，，，，， ∴、为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， 连接，作于，则， ， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 4．（2025·浙江绍兴·二模）如图，已知菱形，延长至点，连接，延长交于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据菱形的性质推出为等边三角形，证明即可得到； （2）根据菱形的性质得到，，，推出，求出，得到，，求出． 【详解】（1）证明：在菱形中，， ， ， ， ， ， 为等边三角形． ， 在与中， ， ． ． （2）解：如图， 由（1）知为等边三角形， ， 菱形， ，，， ， 由（1）得． ． ， ， ， ， ， 平分， ， ． 题型一 菱形的性质与判定的压轴题 1．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）四边形的对角线，相交于点O，，，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）首先证明出，得到，然后结合即可证明； （2）首先由菱形的对称性得到；然后证明出，是等边三角形，得到，求出，得到；然后求出， 得到；然后求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形，对角线，相交于点O， ∴点A和点C关于所在直线对称 ∴； ∵， ∴ ∴，是等边三角形 ∴ ∵， ∴ ∴； ∵ ∴ ∴ ∴； ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 综上所述，与线段相等的线段有，，，． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级下·安徽滁州·阶段练习）如图，在平行四边形中，点分别在上，，连接与对角线相交于点． (1)求证：； (2)连接，为的中点，连接．若，求的长； (3)在（2）的条件下，若，则__________． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得到，从而证明，进而得证； （2）根据三角形的中位线，即可求解； （3）连接，证明四边形是平行四边形，结合，可得四边形是菱形，可得，，，再进一步利用勾股定理求解即可. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ∴， ， ， 在和中， ，，， ， ； （2）解：∵点为的中点，， 是的中位线， ， ． （3）解：如图，连接， 由（1）得：，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴. 故答案为：64 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形中位线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键. 3．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． (3)在（2）的条件下，平行线与间的距离为______． 【答案】(1)见解析 (2)24 (3) 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判断和性质、勾股定理等知识，证明四边形为菱形是关键． （1）根据题意可证明，得到，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可； （2）根据，可证明为的中垂线，从而推出四边形为菱形，然后根据条件求出的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可； （3）根据等积法进行求解即可． 【详解】（1）证明：在和中， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）∵， ∴为的垂直平分线，． ∴平行四边形是菱形． ∵，     ． 在中，， ， ∴， ， ∴四边形的面积为24． （3）∵，，， ∴ 设平行线与间的距离为， 则， 解得 故答案为；． 4．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）综合与实践 问题情境：如图，在菱形中，为对角线，，分别是边，上的点，连接，，． (1)已知，菱形的周长为． 猜想验证：试猜想的形状，并说明理由． 问题解决：当点，在边，上运动时，求周长的最小值； (2)如图，若菱形的对角线和相交于点，，分别与交于点，，且为的中点，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) 是等边三角形，理由见解析； 周长的最小值为． (2)． 【分析】（）先运用菱形的性质和求得、是等边三角形，得到，再通过等量代换求得，证得 ，从而得到，又因为，所以是等边三角形； 由已知是等边三角形，那么当时，最短，由已知为等边三角形，则，，由勾股定理得，从而得到周长的最小值； （）由菱形对角线的性质，得到，先设，， 得到则，，点为的中点，则，最后通过线段和差即可求解． 【详解】（1）解： 是等边三角形，理由， ∵四边形是菱形，菱形的周长是， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴， 又∵， ∴是等边三角形， 由已知是等边三角形， ∴， 当时，最短，如图所示： 由已知为等边三角形，，， ∵， ∴，， 由勾股定理得， ∴周长的最小值； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， 设， ，则，， ∵点为的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 菱形的性质与判定 题型一 利用菱形的性质求角度 1．（2025·河南·模拟预测）如图，在菱形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·海南·模拟预测）如图，在菱形中，分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，连接．若直线恰好过点A且交CD于点E，连接．则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，在菱形中，于点E，于点F，连接．若，则的度数为 ． 5．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，是线段上一点，且，求的度数． 题型二 利用菱形的性质求线段长 1．（24-25八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，，，则对角线等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，则菱形边上高的长度为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南郑州·三模）如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，四边形是菱形，过点C作，交的延长线于点B，若，，则的长为 ． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，四边形是菱形，，求： (1)的度数． (2)若，求线段和的长． 题型三 利用菱形的性质求周长 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知菱形的面积为24，其中一条对角线长为8，则菱形的周长为（   ） A．20 B．25 C． D．40 2．（2024•深圳模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为（　　） A．24 B．30 C． D． 3．（2024秋•包头期末）菱形ABCD中，若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的周长是（　　） A．25 B．20 C．15 D．10 4．（2024秋•朝阳区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝4，则菱形ABCD的周长为（　　） A．48 B．32 C．24 D．16 5．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的周长是 ． 题型四 利用菱形的性质求面积 1．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A． B．8 C． D． 2．（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别为，的中点，连接，，，则菱形的面积为 ． 3．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）若菱形周长为，两对角线之和为，则菱形面积为 ． 4．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，菱形的周长为16，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，若，则菱形的面积为 ． 5．（2024秋•达州期末）如图，菱形ABCD的边长为26，对角线AC的长为48，延长AB至E，BF平分∠CBE，点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为 　 　． 题型五 利用菱形的性质证明 1．（2025·陕西咸阳·三模）如图，在菱形中，延长到点，连接并延长，交的延长线于点．．求证：． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知：如图，在菱形中，，点E、F分别在上，是等边三角形，求证：． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点是对角线上的一点，，，垂足分别为点，且．求证：是菱形． 4．（2025·云南昭通·二模）如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为．求证：． 5．（2025九年级下·山东济南·专题练习）如图，在菱形中，于点，于点，与、分别相交于点、． 求证：． 题型六 添加一个条件证明菱形 1．（24-25八年级下·四川广元·阶段练习）如图，在四边形中，于点O．在以下条件中①；②；③；④，添加一个条件使其成为菱形，则可以是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（2025·河南开封·三模）如图，在中，，将沿直线平移，得到，连接，，若添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃庆阳·三模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择 （限填序号）． 4．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，点分别在的边上，连接，连接相交于点，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． (1)你选择的补充条件是______；（填序号） (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，的对角线相交于点，分别是，的中点． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 题型七 菱形的判定条件判断 1．（2024秋•天河区校级月考）四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是菱形的是（　　） A．AD∥BC，AB∥DC，AD＝BC B．AB＝DC，∠ABD＝∠BDC，AD＝CD C．AB＝DC＝AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD 2．（2024秋•温县期中）如图，已知▱ABCD的对角线交于点O，下列条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠ABD＝∠ADB B．OA2+OB2＝CD2 C．∠BAO＝∠DCO D．∠ABO＝∠CBO 3．（2024•罗湖区校级开学）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．下列说法不能使平行四边形ABCD为菱形的是（　　） A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC 4．（2024春•昭通期末）下面是关于如图的不完整推理过程： ∵∠BAD+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵____， ∴四边形ABCD是菱形； 为使推理成立，横线上可以添加的条件是（　　） A．∠BCD+∠ADC＝180° B．AC＝BD C．∠BAD+∠BCD＝180° D．AD＝AB 5．（2024秋•碑林区校级月考）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠BAC＝∠ABO B．∠ABC＝∠BAC C．OA2+OB2＝AD2 D．AD2+OA2＝OB2 题型八 菱形判定的证明 1．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分． 求证：四边形是菱形． 2．（2025·陕西西安·三模）如图，点E为的边的中点，连接并延长交的延长线于点F，．求证：四边形为菱形． 3．（2024秋•虹口区校级月考）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M为AC中点，MN⊥BD于点O，BN∥DM，求证：四边形BNDM为菱形． 4．（2025·江苏扬州·二模）如图，中，D是边上一点，E是的中点，过点C作的平行线交的延长线于F． (1)求证：， (2)连接、，若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 5．（2025·山东聊城·三模）如图，中，平分，交于点D，垂直平分，交于点E，交于点F，垂足为点G，连接，．求证： (1) ； (2)四边形是菱形． 题型一 利用菱形的性质与判定求角度 1．（2025·浙江宁波·一模）杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连结点固定在伞柄顶端，伞圈能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点到伞骨连结点的距离都等于的一半，若夹角，求的度数． 2．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在中，分别是边，，的中点． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求的大小． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，将两块完全相同的含有角的直角三角尺在同一平面内按如图方式摆放，其中点A、E、B、D在同一直线上，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，求的度数． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在直角三角形纸片中，，把这张纸片沿折叠，使点A与C重合，连接，过点B作的平行线，与的延长线交于点F． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)当四边形为菱形时，求的度数． 题型二 利用菱形的性质与判定求线段长 1．（24-25八年级下·北京密云·期中）如图，在中，，过点作的平行线与的延长线相交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求的长． 2．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，在中，，点D是的中点，连接，过点C作，过点A作，交于点E，连接交于点O． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点F，交于点G，若，求的长． 3．（2025·北京房山·一模）如图，，平分，交于点C．平分，交于点D，连接，于点D，交于点G． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 4．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在四边形中，，，相互平分且交于点，过点作的垂线交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 题型三 利用菱形的性质与判定求面积 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，中，点，分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为4，求菱形边长． 2．（23-24九年级下·湖南邵阳·期中）在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 3．（24-25九年级下·辽宁丹东·开学考试）如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，且时，直接写出四边形的面积． 4．（2025·浙江绍兴·二模）如图，已知菱形，延长至点，连接，延长交于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 题型一 菱形的性质与判定的压轴题 1．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）四边形的对角线，相交于点O，，，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）． 2．（24-25八年级下·安徽滁州·阶段练习）如图，在平行四边形中，点分别在上，，连接与对角线相交于点． (1)求证：； (2)连接，为的中点，连接．若，求的长； (3)在（2）的条件下，若，则__________． 3．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． (3)在（2）的条件下，平行线与间的距离为______． 4．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）综合与实践 问题情境：如图，在菱形中，为对角线，，分别是边，上的点，连接，，． (1)已知，菱形的周长为． 猜想验证：试猜想的形状，并说明理由． 问题解决：当点，在边，上运动时，求周长的最小值； (2)如图，若菱形的对角线和相交于点，，分别与交于点，，且为的中点，直接写出与之间的数量关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$