特殊平行四边形的性质与判定-考点专题练2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第一章特殊平行四边形 专题1 二倍角处理策略 名师指导 解决二倍角的策略，是将二倍角转化为等角，常见方法： ①如图①,∠ABC=2∠ACB,作∠ABC的平分线交AC于点 D,向内构造等腰△DBC; ②如图②,∠ABC=2∠ACB,作AC的垂直平分线交BC于点D,向内构造等腰△ABD和等腰△DAC; ③如图③,∠ABC=2∠ACB,延长CB到点 D,使得BD=BA,向外构造等腰△ACD和等腰△BAD; ④如图④,∠ABC=2∠ACB,以AC所在直线为对称轴,翻折△ABC得到△ADC. 我们在后面学了圆与相似以后，还会继续探究二倍角问题. 分类训练建议用时:15 min 类型一二倍角 1.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC 于点D,求证:∠BAC=2∠CBD.(用两种不同的证法) C 2.·如图,四边形ABCD 是矩形,点 E 在线段 CB的延长线上,连接DE 交AB 于点F,∠AED=2∠CED,点G是DF的中点,若BE=1,CD=3,则DF的长为( ) A.8 B.9 3.如图,四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠BCD=45°,∠CAD=2∠ACB.过点 D作DE⊥AC 于点 E,交 BC 于点 F.若AB=6,则 FC = . 类型二四倍角 4. 如图,矩形ABCD 中,AB=12,AD=18,E 为AB 的中点,F 为 BC 边上一点,若∠BFE=4∠ADE,则BF的长为 . 专题2正方形中的十字架模型 名师指导 过顶点型十字架 不过顶点型十字架 在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在边AD,DC 上 在正方形 ABCD 中,点 E,F,G,H分别在边 AB,CD,BC,AD 上 解决方法 构造两个直角三角形全等 △ABE ≅△DAF,AE =DFAF ⊥BE,知一推三 EF=BEH,则EF = GH(注意逆命题不一定成立) 针对训练建议用时:12 min 项目式学习问题情境：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且AE⊥BF，垂足为M.那么AE与 BF 相等吗? (1)直接判断:AE BF(填“=”或“≠”). 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： (2)如图②,在正方形ABCD中,点E,F,G分别在边 BC,CD,DA上,且GE⊥BF,垂足为M.那么GE与BF 相等吗?证明你的结论. 问题拓展： (3)如图③,点 E在边 CD上,且MN⊥AE,, 垂足为H', 当H在正方形ABCD 的对角线BD上时, 连接AN,将△AHN沿着AN翻折，点H落在点 H'处. ①四边形AHNH'是正方形吗?请说明理由. ②若AB=6,点 P在BD上,BD=3BP,直接写出 的最小值为 . 专题 3 正方形中的对角互补模型 名师指导 针对训练建议用时:10 min (1)如图①,已知△ABE和 △BCD, AB⊥BC,AB =BC,CD⊥BD, AE⊥BD.用等式写出线段AE, DE, CD的数量关系, 并说明理由. 【模型应用】(2)如图②, 在正方形ABCD中, 点E,F分别在对角线BD和边 CD上,AE⊥EF, AE =EF .用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由. 【模型迁移】(3)如图③,在正方形ABCD中,点E在对角线BD上,点 F 在边 CD 的延长线上,A E⊥EF,AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DF的数量关系,并说明理由. 专题 4 正方形中的手拉手模型 名师指导 正方形ABCD 和正方形 CEFG，点C 是公共顶点，BG与DE相交于点H，则有结论： ①△BCG≌△DCE,②BG =DE,BG⊥DE,③∠BHD =90°,④CH平分∠BHE. 上述正方形手拉手模型，可以看作等腰直角三角形 CBD 和等腰直角三角形CGE 手拉手的扩充. 针对训练建议用时:10 min 【问题情境】如图①,四边形ABCD 和四边形CEFG都为正方形,AB=1,点E在BC的延长线上,点G在CD的延长线上,分别连接对角线BD,EG,(CE=BD..将正方形CEFG 从图①的位置开始绕点 C顺时针旋转，设旋转角为( 【自主探究】(1)小斌画出了旋转角( 时的情形(如图②)，连接DG后，小斌发现四边形BCGD是平行四边形，请帮他证明这一结论； (2)小亮画出了旋转角( 时的某一情形(如图③),连接BG,DE,写出线段 BG,DE 的关系: ; 【拓展延伸】(3)如图④，小颖在正方形 CEFG绕点 C 旋转的过程中( ，连接BE，BG，请你直接写出当△BEG为等腰三角形时 的值. 专题5 正方形中的半角模型 名师指导 类型 菱形120°含 60° 正方形90°含 45° 模型 结论 ①△AEF 为等边三角形 ②连 接 AC, △ABE ≌ △ACF ( 或 △AEC≌△AFD) ①EF=BE+DF ②△CEF的周长为正方形ABCD 边长的2倍 ③FA平分∠DFE,EA 平分∠BEF ④连接 BD,分别交AE,AF 于点 M,N,则. MN²=BM²+DN² 针对训练建议用时:10 min 在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题:【问题情境】如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E在边 BC上,且 ∠DAE=45°,BD=3,CE=4,求DE的长. 解:如图②,将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACD',连接ED'. 【问题解决】将上述解题过程补充完整. 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变. 【知识迁移】如图③，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，满足△CEF 的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连接AE，AF，分别与对角线BD交于M，N两点.探究BM，MN，DN的数量关系并证明. 【拓展应用】如图④,在矩形ABCD中,点E,F分别在边 BC,CD上,且. 探究BE，EF，DF的数量关系： (直接写出结论，不必证明). 专题6 正方形中的 分类训练建议用时:15 min 类型一 型 1.如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，点H在BC的延长线上，四边形CEGH为正方形.判断AG与BE 的数量关系并证明. 类型二：型 2.如图, P 为正方形ABCD边BC上任意一点, BG⊥AP于点G, 在AP 的延长线上取点 E, 使AG=GE,连接BE,CE. (1)如图①，若正方形的边长为 求 BG的长度； (2)如图②,当P 点为 BC的中点时,求证: (3)如图③,∠CBE的平分线交AE 于点 N, 连接DN, 求证: 答案 专题1 二倍角处理策略 1. 解法一:设∠CBD=α,∵ BD⊥AC 于点 D,∴ ∠C=90°-α.∵AB=AC,∴ ∠ABC=∠C=90°-α,∴ ∠BAC = 180°-2(90°-α)=2α,∴∠BAC=2∠CBD. 解法二:如图①,在DA上取一点 E,使得DE=DC,连接BE.∵ BD⊥AC 于点 D,∴ BD 是 CE 的垂直平分线,∴ BC = BE,BC 和 BE 关于 BD 成轴对称,∴∠CBD=∠EBD,∴∠CBE=2∠CBD,∴ △BCE 为 等腰三角形，∠C 是其一底角，而△ABC 也是等腰三角形，∠C 是其一底角，∴△BCE 和△ABC 的顶角也是相等的.即∠BAC=∠CBE,∴∠BAC=2∠CBD. 一题多解 解法三:如图②,作∠BAC的平分线AE 交 BC 于点 E.∵AB=AC,∴∠BAE=∠CAE,∠AEC=90°,∴∠CAE+∠C=90°.又∵ BD⊥AC于点 D,∴ ∠CBD+∠C= 90°,∴∠CAE=∠CBD,∴ ∠BAC =2∠CBD. 解法四:如图③,作BC的垂直平分线EF 交 BD 于点 F,连接CF,则 BF = CF,∴ ∠CBD = ∠BCF.∵ ∠CBD+∠BCF = ∠CFD,∴∠CFD=2∠CBD.∵ AB =AC,∴ ∠ABC =∠ACB,∴ ∠ABD =∠ACF.∵ BD⊥AC,∴∠ABD+∠BAC=90°,∠ACF+∠CFD=90°,∴∠BAC=∠CFD=2∠CBD. 解法五:如图④,延长 BA 至点 E,使得 AE=AB,连接 CE.∵AB=AC,∴ AE = AB = AC,∴ ∠BEC = ∠ACE,∠BCE = 90°.又∵∠BAC=∠BEC+∠ACE,∴∠BAC=2∠ACE.又∵BD⊥AC 于点D,∴∠BDC=90°,∴ ∠CBD+∠BCD =90°.而∠ACE+∠BCD=90°,∴∠ACE=∠CBD,∴∠BAC=2∠ACE=2∠CBD. 2. D 3.12 4. 解析:如图,连接EC,在 BC上取一点 G.连接EG,使 EG=CG,可证△AED≌△BEC,∴∠ADE=∠BCE.∵ GE=CG,∴∠EGB=2∠BCE = 2 ∠ADE. ∵ ∠BFE = 4∠ADE, ∴∠BFE = 2∠EGB, ∴∠FEG=∠EGB,∴EF=GF.∵AB=12,AD=18,∴BE=6,BC=18.设 EG=CG=x,则 BG=18-x, 解得x=10,∴ BG=18-x=8.设BF=y,则 即 专题2 正方形中的十字架模型 (1)= 解析:∵AE⊥BF,∴∠EMB=90°,∴∠FBC+∠AEB=90°.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°,∴∠FBC+∠BFC = 90°, ∴ ∠AEB = ∠BFC, 在 △ABE 和 △BCF 中, (4468=chiC.∴△ABE∠BCBF(AM)∴ABE=BEBC中. (2)GE=BF.证明:如图①,过点A 作AN∥GE,交BF 于点 H,交 BC于点 N,∴ ∠EMB=∠NHB =90°,∴ ∠FBC+∠BNA=90°.∵ 四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC,AB=BC,∠BAD=∠ABC=∠C=90°.∵AD∥BC,AN∥GE,∴四边形ANEG是平行四边形,∴AN=GE.∵ ∠C = 90°,∴ ∠FBC +∠BFC = 90°,∴∠BNA = ∠BFC, ∴△ABN≌△BCF(AAS), ∴AN=BF.∵AN=GE,∴GE=BF. (3)①四边形AHNH'是正方形.理由:如图②,连接CH,由(2)的结论可知,AE=MN,∵四边形ABCD 是正方形,BD 是正方形的对角线,∴∠ABD=∠CBD=45°,AB =BC.∵ BH = BH,∴△ABH≌△CBH(SAS),∴∠BAH=∠BCH,AH=CH.由折叠可知,AH=AH',NH=NH'.∵ ∠ABN+∠AHN=180°,∴∠BAH+∠BNH=180°.∵ ∠BNH+∠HNC= 180°,∴ ∠BAH = ∠HNC,∴∠HNC = ∠NCH,∴ NH =CH,∴NH=CH=AH=AH'=NH',∴四边形AHNH'是菱形.∵∠AHN=90°,∴菱形AHNH'是正方形. ②2 解析:如图③,作 H'Q⊥BC,交 CB 的延长线于点 Q,作HF⊥BC于点 F,∴∠H'QN=∠HFB=90°,由①知四边形AHNH'是正方形,∴ H'N= HN,∠H' NH = 90°,AH'= /₂AN, ∴∠H'NQ+∠HNF=∠HNF+∠NHF=90°,∴ ∠H'NQ=∠NHF,∴ △H'QN≌△NFH(AAS),∴H'Q=NF,QN=HF.∵∠HBF=45°,∠HFB=90°,∴△BHF是等腰直角三角形,∴HF=BF=NF+BN,QN=QB+BN,∴NF=QB=QH',∴∠H'BQ=∠ABH'=45°,∴∠H'BD=90°. 作点P关于BH'的对称点 P',则 PH'=P'H',过点 P'作 P'K⊥AB 交 AB 的延长线于点 K,则△P'BK是等腰直角三角形，∴ ,即当A,H',P'三点共线时， 最小，最小值为 AP'的长.∵AB=6,∴ BD=6 .∵ BD=3BP,∴ BP=BP'=2 ,∴ P'K= 即 的最小值为 故答案为 专题3 正方形中的对角互补模型 (1)DE+CD=AE.理由:∵CD⊥BD,AE⊥BD,AB⊥BC,∴∠ABC=∠D=∠AEB=90°,∴ ∠ABE+∠CBD=∠C+∠CBD=90°,∴∠ABE=∠C.又∵AB=BC,∴△ABE≌△BCD(AAS),∴BE=CD,AE=BD,∴DE=BD-BE=AE-CD,∴DE+CD=AE. 理由:如图①,过E 点作 EM⊥AD 于点 M,过E点作EN⊥CD 于点 N.∵ 四边形ABCD 是正方形,BD 是正方形的对角线,∴∠ADB=∠CDB=45°,DB平分∠ADC,∠ADC=90°,∴ AD= CD=BD,∴DE=BD-BE= AD-BE.∵ EN⊥CD,EM⊥AD,∴EM=EN.∵AE=EF,∴Rt△AEM≌Rt△FEN,∴AM=NF.∵ EM=EN,EN⊥CD,EM⊥AD,∠ADC=90°,∴四边形 EMDN是正方形,∴ED是正方形 EMDN的对角线, 即 BE)-DF,即 理由:如图②,过点 A 作AH⊥BD于点 H,过点 F作FG⊥BD,交 BD 的延长线于点 G.∵AH⊥BD,FG⊥BD,AE⊥EF,∴∠AHE=∠G=∠AEF=90°,∴ ∠AEH+∠HAE=∠AEH+∠FEG=90°,∴∠HAE=∠FEG.又∵AE=EF,∴△HAE≌△GEF(AAS),∴HE=FG.∵ 在正方形 ABCD 中,∠BDC =45°,∴ ∠FDG=∠BDC =45°,∴∠DFG=45°,∴△DFG是等腰直角三角形, FG= DF.∵ ∠ADB=45°,AH⊥HD,∴△ADH是等腰直角三角形, 专题4 正方形中的手拉手模型 (1)如图①,∵四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠ADC=90°,∠BDC= ∠ADC=45°.∵α=45°,∴∠BDC=∠DCG,∴BD∥CG.∵ 四边形EFGC 是正方形,∴CG=CE.∵CE=BD,∴BD=CG,∴四边形BCGD 是平行四边形. (2)BG=DE,BG⊥DE 解析:如图②,设CG交 DE于点O,BG交DE于点H.∵ 四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形,∴CB=CD,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°,∴ ∠BCG=∠DCE,∴ △BCG≌△DCE(SAS),∴BG=DE,∠BGC=∠DEC.∵∠DEC+∠EOC=90°,∠EOC=∠GOH,∴∠BGC+∠GOH=90°,∴∠GHO=90°,∴BG⊥DE.综上,BG=DE,BG⊥DE. 或5或4. 解析:如图③,当EB=EG时,连接DE,作GH⊥AB 于点H,交CD 于点 K.∵ BG⊥DE,EB=EG,∴DE垂直平分线段BG,∴DG=DB.∵ BD=EC=CG,∴DG=GC= .∵AB∥CD,AB⊥ ∠ADK=∠AHK=90°,∴四边形 ADKH 是矩形,∴ 如图④,当 BG=BE时,延长BC 交 GE 于点 H.∵ BG=BE,CG=CE,BC=BC,∴△BCG≌△BCE(SSS),∴∠CBG=∠CBE,∴BH⊥EG, 5.当BG=EG=2时, 综上所述，满足条件的BG² 的值为 或5或4. 专题5 正方形中的半角模型 【问题解决】如图①,将△ABD绕点A 逆时针旋转90°得到△ACD',连接ED'. 由旋转的性质得∠BAD=∠CAD',∠B=∠ACD',AD=AD',BD=CD'.∵∠BAC=90°,∠DAE = 45°,∴ ∠BAD +∠EAC = 45°.∵ ∠BAD =∠CAD',∴∠CAD'+∠EAC=45°,即∠EAD'=45°,∴∠DAE=∠D'AE.在△DAE 和△D'AE 中, AD = AD',∠DAE = ∠D'AE,AE = AE,∴△ADE≌△AD'E(SAS),∴DE=D'E.又∵∠ECD'=∠ECA+∠ACD'=∠ECA+∠B=90°,∴在Rt△ECD'中, 【知识迁移】 证明:如图②,将△ABE绕点A 逆时针旋转90°,得到△ADF'. 过点 D 作 DH⊥BD 交边 AF'于点 H,连接 NH.由旋转的性质得AE=AF',BE=DF',∠BAE=∠DAF'.由题意得EF+EC+FC=DC+BC=DF+FC+EC+BE,∴ EF=DF+BE=DF+DF'=F'F.在△AEF 和△AF'F中,AE=AF',EF=F'F,AF=AF,∴△AEF≌△AF'F(SSS),∴∠EAF=∠F'AF.又∵ BD 为正方形ABCD 的对角线,∴∠ABD=∠ADB=45°.∵DH⊥BD,∴∠ADH=∠HDB-∠ADB=45°.在△ABM 和△ADH 中,∠BAM = ∠DAH,AB = AD,∠ABM = ∠ADH,∴ △ABM ≌ △ADH(ASA),∴ AM = AH,BM = DH.在△AMN 和△AHN 中,AM = AH,∠MAN=∠HAN,AN=AN,∴ △AMN≌△AHN(SAS),∴MN=HN.在Rt△HND中, 【拓展应用】 解析：如图③，设直线 EF 交AB 延长线于点 M,交AD 延长线于点 N,将△ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90°,得到△AGH,连接 HM,HE,则△ADF≌△AGH,则 DF=GH,AG = AD,AF= AH, ∠DAF = ∠GAH.∵∠EAF=45°,∴ ∠HAE=∠GAH+∠GAE=∠DAF+∠GAE=45°,在△AEH 和△AEF 中, ∴EF=HE.过点 H 作 HO⊥CB 交 CB 的延长线于点 O,则四边形OHGB 为矩形,∴OH = BG,OB = HG.∵ ∠CEF = 45°,∴∠CEF=∠CFE=∠DFN=∠DNF=∠BME=∠BEM=45°,∴△BME,△DNF, △CEF,△AMN是等腰直角三角形,∴ CE=CF,BE =BM,DN=DF,AN=AM,∴AM-AG=AN-AD,∴GM=DN=DF=HG,∴∠HMG= 在Rt△OHE中,( 即( 又∵ EF=EH,DF=GH=GM,BE=BM,∴(DF+ 即 专题6 正方形中的 倍关系 证明:过点A 作AF⊥BE交BE于点K,交 BC 于点 F,连接FG.∵ 四边形ABCD 是正方形,AF⊥BE,∴AB=BC,∠ABF=∠BCD=∠BKF= 90°,∴ ∠CBE+∠ABK=∠BAF+∠ABK = 90°,∴∠CBE=∠BAF,∴△ABF≌△BCE(ASA),∴BF=CE.∵四边形CEGH是正方形,∴CE=EG=BF,EG∥BC,∴四边形 BFGE为平行四边形,∴BE=FG,BE∥FG,∴AF=BE=FG,且AF⊥FG,∴△AFG为等腰直角三角形，∴ 2. (1)∵AG=GE,BG⊥AP,∴AB=BE=2 ∵正方形 ABCD 中,∠ABP=90°,AB=2 ,PB=1,∴在Rt△ABP中 P的面积 (2)如图①,过点 C 作 CH⊥AE 于点 H,∵ BG⊥AE,∴∠BGP=∠CHP=90°.∵ P 为 BC的中点,∴ BP=CP.在△BGP 和△CHP 中, (△BGP≌△CHP(AAS),∴ BG=CH,∠GBP= ∠HCP.∵ AB=BE,∴∠BAE=∠BEA.∵ ∠ABC=∠ABG+∠GBP=90°,∠ABG+∠BAG= 90°,∴ ∠GBP=∠BAG,∴ ∠HCP =∠BEP.∵ AB = BC,AB = BE,∴ BC =BE,∴∠BCE=∠BEC,∴ ∠HCE =∠HEC,∴CH=EH.∵∠CHE=90°,∴CE= CH,即( (3)如图②,过点 D 作 DH⊥AE 于点 H,连接 AC.∵ BN 平分∠CBE,∴∠CBN=∠EBN,由(2)可知∠GBP=∠BEP.∵ BG⊥AE,∴∠GBP+∠PBN=45°,即∠GBN=45°=∠GNB,∴BG=GN,BN= GN.∵ DH⊥AP,∠DAB = 90°,∴ ∠DAH+∠ADH =∠DAH+∠BAG=90°,∴∠ADH=∠BAG,在△ADH 和△BAG中, (4)△ADH≌△BAG(AAS),∴AH=BG=GN,DH=AG, ∴HN=HG+GN=HG+AH=AG,∴ DH=HN.∵∠DHN=90°,∴DN= 学科网（北京）股份有限公司 $