精品解析：广西壮族自治区梧州市藤县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年度下学期期中考试试题卷 八年级数学 说明：1．本试卷共8页（试题卷4页，答题卷4页）．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请将学校、班别、姓名、考场、座位号写在答题卷指定的位置，答案写在答题卷相应的区域内．在试题卷上答题无效． 一、选择题（请将所选答案的字母代号用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，每小题3分，共36分） 1. 下列式子有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数，逐项排除即可，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件． 【详解】解：、无意义，此选项不符合题意； 、无意义，此选项不符合题意； 、原式，此选项符合题意； 、无意义，此选项不符合题意； 故选：． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，分母有理化．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、是二次根式，故本选项符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 估算的结果在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，先利用二次根式的乘法法则进行计算，然后再估算出的值的范围，从而估算出的值的范围，即可解答．准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴估算的结果在和之间． 故选：C． 4. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．本题根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：A、符合一元二次方程的定义，正确； B、不是整式方程，故错误． C、方程二次项系数可能为，故错误； D、方程含有两个未知数，故错误； 故选：A． 5. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项、再配方即可解答；掌握配方法的步骤是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 故选B． 6. 以下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等，即可解答． 【详解】解：A．∵， ∴， ∴，，不能构成直角三角形，不符合题意； B．∵， ∴， ∴，，不能构成直角三角形，不符合题意； C．∵， ∴， ∴，，不能构成直角三角形，不符合题意； D．∵， ∴， ∴，，能构成直角三角形，符合题意； 故选：D． 7. 如图，在中，，，为中点，且交于点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理等，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求出，根据三角形内角和定理求出，解直角三角形求出，，再根据线段的和差求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 为中点，且交于点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 8. 若，是方程的两个实数根，则可以分解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解；已知一元二次方程的两根，可利用根与系数的关系求得字母未知系数，从而完成式子的因式分解． 【详解】解：根据根与系数的关系可得：，． ∴ 因此． 故选：B． 9. 下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质逐项分析判断，即可得到答案． 【详解】A． ，故该选项不正确，不符合题意； B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项不正确，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 10. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意找出等量关系是解题关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据题意可列出关于x的方程，再求解即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， ∴这种植物每个支干长出的小分支个数是8． 故选：C． 11. 已知关于的方程（，，为常数，）的解是，，那么方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了方程解的定义，把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解，注意由两个方程的特点进行简便计算． 【详解】解：∵关于的方程（为常数，）的解是，， ∴方程变形为：， 即或， 解得：或， 故选：D． 12. 如图，在中，，，，于，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出的长，即可推出结果． 【详解】解：在中， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 的面积， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 某市实施科技强市的战略，为加强科技基础研究能力，逐步加大了对科研经费的投入，2022年投入科研经费6000万元，2024年投入经费8000万元．设科研经费投入的年平均增长率为，根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率的应用，解题的关键是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程． 【详解】解：设科研经费投入的年平均增长率为， ∵2022年投入科研经费6000万元，2024年投入经费8000万元．设科研经费投入的年平均增长率为x， 根据题意可列方程为， 故答案为：． 14. 若最简二次根式与可以合并，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据最简二次根式与可以合并可知与是同类二次根式，然后根据被开方式相同列式求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴， ∴． 故答案为：1． 15. 如图，，则数轴上点B所表示的数是____________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的实数，勾股定理，正确理解相关知识点是解题关键． 根据勾股定理求出的长，利用，即可得到的长，进而得出最后结果． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， ， ， 则数轴上点所表示的数是， 故答案为：． 16. 有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最短；为直角的斜边，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，小虫沿着的路线爬行时路程最短． 在直角中，， ∴ ∴最短路线长为cm. 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则是解题的关键． 先化简二次根式，运用二次根式乘法法则计算，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查因式分解法、公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． （1）利用提公因式法因式分解解一元二次方程即可得到答案； （2）由公式法解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 提公因式得， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，． 19. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题主要查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 20. 如图，四边形中，． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 证：连接，如图所示， 由题意，在中，， ∵，， ∴， ∴是为斜边的直角三角形， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理及其逆定理证明即可； （2）结合（1）的结论，利用直角三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）可得是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，理解并熟练运用相关定理是解题关键． 21. 实践与探究： 如图，在网格中，点和直线的位置如图所示（每个小正方形的边长为1个单位长度），将点向右平移6个单位，再向上平移2个单位长度得到点． （1）线段的长度是_____； （2）以直线所在直线为轴，过点且与直线垂直的直线为轴，建立直角坐标系．请在图中画出直角坐标系，并解答下列问题： ①分别写出点，点的坐标； ②在轴上取一点，连接、、，若，且是以为斜边的直角三角形．求点的坐标． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了作图平移变换，勾股定理，轴对称最短路线问题，熟记各性质定理是解题的关键． （1）根据平移变换的性质作出图形，再根据勾股定理求出的长； （2）①根据坐标系写出点，点的坐标即可； ②根据勾股定理得出方程求出m的值即可得出点的坐标． 【小问1详解】 如图1，点即为所求，， 故答案为：； 【小问2详解】 建立直角坐标系如图所示， ①如图，； ②是以为斜边的直角三角形，点在轴上，， ， ， 解得或4， 或． 22. 某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为元，当售价为元时，平均每天能售出双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格（元）之间存在如图所示的函数关系． （1）求出与的函数关系式； （2）公司希望平均每天获得的利润达到元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少元? （3）在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能否获得元的利润?若能，求出定价：若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）每双运动鞋的售价应该定为元； （3）在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能获得元的利润，定价为元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、一元二次方程以及一元一次不等式的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）由题意，设与的函数关系式为，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案； （2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解； （3）由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 由图可知，函数图象经过点和， ， 解得：， 与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意可知，每双运动鞋的售价应该定为元， 根据题意得， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ， 答：每双运动鞋的售价应该定为元； 【小问3详解】 解：公司每天能获得元的利润，理由如下： 保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的， ， 解得：， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（符合题意）， ， 答：在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能获得元的利润，定价为元． 23. 如图，由两个全等的和构成的四边形，已知直角三角形的直角边长分别为m、n，斜边长为q，分别以m，，n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程，称为勾股方程． （1）直接写出一个勾股方程； （2）若勾股方程有两个相等的实数根，求的值； （3）若是勾股方程的一个根，且四边形的周长是6，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）设，，则，即可写出一个符合条件的勾股方程； （2）由已知可知，再结合勾股定理，能求出，，即可求解； （3）由已知可得，，求出，再求面积即可． 【小问1详解】 解：设，，则． ∴是勾股方程． 【小问2详解】 解：∵勾股方程有两个相等的实数根， ∴． ∴ ∵， ∴ ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【小问3详解】 解：∵是勾股方程的一个根， ∴， ∴ ∵四边形的周长是6， ∴． ∴ ∵， 又∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程、勾股定理，理解题意，灵活应用勾股定理、一元二次方程的判别式、完全平方公式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期期中考试试题卷 八年级数学 说明：1．本试卷共8页（试题卷4页，答题卷4页）．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请将学校、班别、姓名、考场、座位号写在答题卷指定的位置，答案写在答题卷相应的区域内．在试题卷上答题无效． 一、选择题（请将所选答案的字母代号用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，每小题3分，共36分） 1. 下列式子有意义的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 估算的结果在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 4. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 以下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 如图，在中，，，为中点，且交于点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 若，是方程的两个实数根，则可以分解为（ ） A. B. C. D. 9. 下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 11. 已知关于的方程（，，为常数，）的解是，，那么方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 12. 如图，在中，，，，于，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 某市实施科技强市的战略，为加强科技基础研究能力，逐步加大了对科研经费的投入，2022年投入科研经费6000万元，2024年投入经费8000万元．设科研经费投入的年平均增长率为，根据题意可列方程为______． 14. 若最简二次根式与可以合并，则______． 15. 如图，，则数轴上点B所表示的数是____________ 16. 有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 20. 如图，四边形中，． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 21. 实践与探究： 如图，在网格中，点和直线的位置如图所示（每个小正方形的边长为1个单位长度），将点向右平移6个单位，再向上平移2个单位长度得到点． （1）线段的长度是_____； （2）以直线所在直线为轴，过点且与直线垂直的直线为轴，建立直角坐标系．请在图中画出直角坐标系，并解答下列问题： ①分别写出点，点的坐标； ②在轴上取一点，连接、、，若，且是以为斜边的直角三角形．求点的坐标． 22. 某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为元，当售价为元时，平均每天能售出双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格（元）之间存在如图所示的函数关系． （1）求出与的函数关系式； （2）公司希望平均每天获得的利润达到元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少元? （3）在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能否获得元的利润?若能，求出定价：若不能，请说明理由． 23. 如图，由两个全等的和构成的四边形，已知直角三角形的直角边长分别为m、n，斜边长为q，分别以m，，n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程，称为勾股方程． （1）直接写出一个勾股方程； （2）若勾股方程有两个相等的实数根，求的值； （3）若是勾股方程的一个根，且四边形的周长是6，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $