专题1.1 集合（高效培优讲义）数学湘教版2019必修第一册

专题1.1 集合 我们经常需要把满足一定要求或具有一定特征的对象放在一起或归为一类,概括地说,把一些确定的对象的全体叫做集合，简称集.集合通常用大写字母A、B、C……表示。集合所含的各个对象叫做该集合的元素.元素通常用小写字母a、b、c……表示. 元素与集合的区别 元素与集合是两个完全不同的概念，元素是集合中的某一对象，而集合是由所有的元素组成的;元素与集合是相对的，如数0、1构成的一个集合记为A,0是集合A中的一个元素，但集合A也可以作为元素，如集合B中含有A，此时A表示集合B中的一个元素. 下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 对于选项A：其中元素不具有确定性，故选项A错误， 对于选项B：对于任何一个学生可以判断其是否属于{北附广南实验学校2020～2021学年度笫二学期全体高一学生}，故选项B正确， 对于选项C：其中元素不具有确定性，故选项C错误， 对于选项D：其中元素不具有确定性，故选项D错误， 故选：B． B 判断指定的一组对象能否构成集合,关键在于能否找到一个明确的标准. 关系 含义 记法 读法 属于 是集合中的元素 属于 不属于 不是集合中的元素 不属于 符号＂＂＂用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性（开口对着集合），左右两边不能互换． 性质 含义 示例 确定性 集合的元素是确定的.也就是说,给定一个集合,一个对象在不在这个集合中就确定了 若用集合 表示＂中国的直辖市＂，则上海 ，苏州 互异性 一个给定集合中的各个元素是互不相同的，即一个元素在同一个集合中是不能重复出现的 若实数 、 是集合 中的两个元素，则 无序性 组成集合的元素无先后顺序之分 由1、0组成的集合和由0、1 组成的集合是同一个集合 集合中的元素是确定的，任意一个元素要么是一个给定集合的元素,要么不是，两种关系有且只有一种成立;同时，应注意检查集合的元素是否满足互异性 集合中元素的三个性质的主要作用 (1)确定性 判断指定的一组对象能否组成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，即组成集合的元素必须是确定的. (2)互异性 提示我们求出结果后要检验，特别是题中含有参数时，一定要检验求出的参数是否能使集合中的元素满足互异性 (3)无序性 方便定义集合相等，当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等，需分情况讨论. 已知集合A＝{2，4，x2﹣x}，若6∈A，则x＝　 　 ． 根据6∈A，所以6＝x2﹣x，然后根据集合的性质分别进行讨论验证即可． 因为6∈A，所以6＝x2﹣x． 解得x＝3或﹣2．符合题意． 故x的值为3或﹣2． 3或﹣2． 若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 根据集合元素的互异性，在集合M＝{a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，则△ABC不会是等腰三角形． 根据集合元素的互异性，在集合M＝{a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形； D 已知 a,b,c为集合中的三个元素,它们可构成某一个三角形的三边的长那么此三角形能否为等腰三角形? 根据集合元素的互异性可知,a,b,c三个元素互不相等,若此三个元素构成某一三角形的三边长，则此三角形一定不是等腰三角形. 如果两个集合与的组成元素完全相同，就称这两个集合相等，记作． （1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等． （2）判断两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如 、、组成的集合与方程 的解组成的集合相等． 元素个数有限的集合称为有限集,否则就称为无限集. 如：一元二次方程 的解组成的集合为有限集；周长为 1 的三角形组成的集合为无限集． 数学中,常常需要用到数的集合,数的集合简称数集.常用的数集可以用以下特定的符号来表示 数集 符号 自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 不含有任何元素的集合称为空集,记作Ø 知识点8 列举法 将集合中的元素不重复地一一列举出来并写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法 能用列举法表示的集合一般是有限集，但对于一些有规律的无限集,在不会引起歧义的前提下,也可用列举法表示.例如，全体正偶数组成的集合可以表示为｛2,4,6,…,2n，…｝ 大括号“｛｝”表示“所有”“整体”的含义示例:实数集R可以写成｛实数｝,但如果写成{实数集}、｛全体实数｝、{R}都是不正确的. 用列举法表示下列集合： （1）能整除10的所有正整数组成的集合； （2）绝对值小于4的所有整数组成的集合． （1）利用列举法求解．（2）利用列举法求解． （1）能整除10的所有正整数组成的集合为：{10，20，30，40，50，60，…}． （2）绝对值小于4的所有整数组成的集合为：{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}． （1）{10，20，30，40，50，60，…}．（2）{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}． 知识点9 描述法 在大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线,并在竖线的右边写上集合中所有元素具有的共同特征,即： 描述法表示集合时的注意事项 （1）所有描述的内容都要写在大括号内，如＂｛x｜x＝2k}, ＂不符合要求，应写为 ． （2）精确地写出集合中代表元素的符号，如 不能写成 ． （3）不能出现未被说明的字母，如 中不明确，故集合中的元素不确定． （4）多层描述时，应准确使用＂且＂＂或＂等表示元素之间关系的词语，如或． （5）元素的取值范围，如果从上下文的关系看是明确的，那么可以省略不写。如在实数集中取值，＂＂常省略不写， 常写为． 用描述法表示下列集合： （1）1000以内被3除余2的正整数组成的集合； （2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． （1）（2）根据已知条件，结合描述法，即可求解． （1）1000以内被3除余2的正整数组成的集合为{x|x＝3k+2，k∈N，且x＜1000}； （2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合{（x，y）|x＜0且y＞0}． （1）{x|x＝3k+2，k∈N，且x＜1000}；（2）{（x，y）|x＜0且y＞0}． 知识点10 区间 1.区间的概念及几何表示 2.含“∞”的区间的几何表示 理解区间概念时的注意事项 (1) 区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开, (2)区间实质上是一类特殊数集(部分实数组成的集合)的符号表示， (3)区间表示实数集的三个原则: ①是连续的数集; ②左端点必须小于右端点; ③开或闭不能混淆。 (4)“∞”是一个趋向符号,表示无限接近,却永远不能到达，不是一个数。因此以“-∞”和“十∞”为区间的一端时,这一端必须用小括号. 题型一、集合的概念 例1（24-25高一上·湖南怀化·期中）下列关系中正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 3．（23-24高一上·广东广州·期中）下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26高一上·全国·课后作业）以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 题型二、判断元素能否构成集合 例2（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 6．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）下列各组对象可构成一个集合的是（    ） A．与10非常接近的数 B．本班视力差的女生 C．中国漂亮的工艺品 D．我校学生中的女生 7．（24-25高一上·湖南·阶段练习）下列对象能构成集合的有（    ） A．接近于2025的所有正整数 B．小于的实数 C．未来10年内的房价趋势 D．点与点 8．（23-24高一上·全国·课后作业）考察下列每组对象，能构成一个集合的是（    ） A．不超过20的非负整数 B．方程在实数范围内的解 C．某校2023年在校的所有高个子同学 D．的近似值的全体 题型三、判断是否为同一集合 例3（2024高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 11．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知集合，集合，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四、元素与集合 例4（24-25高一上·湖南邵阳·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（2014高三·全国·专题练习）已知集合，若，则的值为 . 14．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，若中只有一个元素，则的值构成的集合为 ． 15．（24-25高一上·湖南·期中）若集合，则（   ） A． B． C． D． 题型五、判断元素与集合的关系 例5（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（23-24高一上·湖南常德·期末）集合，又则（   ） A． B． C． D．任一个 18．（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）用符号“”或“”填空： 设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 . 19．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，则下列各项为中的元素的是（   ） A． B． C． D． 题型六、根据元素与集合的关系求参数 例6（24-25高一上·河南·阶段练习）若集合，且，则（    ） A．10或13 B．13 C．4或7 D．7 21．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 22．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一上·河南·阶段练习）设集合，若，则实数（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 24．（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 25．（22-23高一下·辽宁沈阳·期末）设集合，且，则x的值可以为（    ） A．3 B． C．5 D． 题型七、集合中元素的特性 例7（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）若，，，为集合的4个元素，则以，，，为边长的四边形可能是（   ） A．等腰梯形 B．直角梯形 C．菱形 D．矩形 27．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若，则的所有可能取值为 ． 28．（22-23高一上·浙江杭州·期中）集合，若，则 29．（22-23高一上·湖南株洲·阶段练习）已知集合A有三个元素，且.求实数. 30．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）由a2，a-1，1组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．2 B．1 C．-2 D．0 题型八、利用集合元素的互异性求参数 例8（19-20高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，且，则a=（    ） A．1 B．-1 C．±1 D．0 32．（19-20高一上·江苏南通·阶段练习）若1∈{x，x2}，则x=（　　） A．1 B． C．0或1 D．0或1或 33．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知，则实数a的值是（    ） A．3 B．1 C．3或1 D．0 34．（20-21高一上·广西钦州·阶段练习）若，则实数的值为 . 35．（24-25高一上·上海徐汇·期末）设是实数，集合，若，则 . 36．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 题型九、集合的表示方法 例9（24-25高一上·湖南邵阳·期中）若，则集合可用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）集合用列举法可表示为（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）一次函数与图象的交点组成的集合 . 40．（24-25高一上·北京·阶段练习）用列举法表示集合为 ． 41．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 题型十、自然语言表示集合 例10（23-24高一上·湖南湘西·阶段练习）集合的表示方法有 （写出其中两种即可）. 43．（24-25高一上·上海·随堂练习）两条平行直线的交点组成的集合是 ．（用符号表示） 44．（24-25高一上·全国·课前预习）常用数集及其记法 全体自然数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正整数组成的集合简称 ，记作 或 ； 全体整数组成的集合简称 ，记作 ； 全体有理数组成的集合简称 ，记作 ； 全体实数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正实数组成的集合简称 ，记作 ； 45．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)所有能被3整除的数的集合； (4)方程的解集； (5)不等式的解集； (6)抛物线上的点组成的集合． 题型十一、描述法表示集合 例11（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 47．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 48．（24-25高一上·山东菏泽·期中）方程的解集表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 49．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合是指（   ） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 50．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若，，则集合B的非空真子集的个数为 . 题型十二、列举法表示集合 例12（24-25高一上·陕西西安·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 52．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 54．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）用列举法表示“能整除的所有正整数”组成的集合： . 题型十三、用区间表示集合 例13将数集用区间表示为 ． 13-1用区间表示下列集合： （1）： ； （2）： ； （3）： ； （4）： ． 13-2把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)． 13-3用区间表示下列集合： (1)； (2)且. 13-4（24-25高一上·北京·阶段练习）用列举法表示集合为 ． 1．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④；⑤其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 4．（19-20高一·全国·课后作业）集合的另一种表示法是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）设集合含有，1两个元素，含有，2两个元素，定义集合，满足，且，则中所有元素之积为（　　） A． B． C．8 D．16 6．（19-20高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知则实数的值为 7．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 8．（21-22高一上·湖南长沙·期中）设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中，，则中元素的个数是 ． 9．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数的所有可能取值构成集合是T，则 . 10．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 11．（24-25高一上·湖南·阶段练习）设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． (1)当时，写出集合的积集； (2)若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； (3)若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 集合 我们经常需要把满足一定要求或具有一定特征的对象放在一起或归为一类,概括地说,把一些确定的对象的全体叫做集合，简称集.集合通常用大写字母A、B、C……表示。集合所含的各个对象叫做该集合的元素.元素通常用小写字母a、b、c……表示. 元素与集合的区别 元素与集合是两个完全不同的概念，元素是集合中的某一对象，而集合是由所有的元素组成的;元素与集合是相对的，如数0、1构成的一个集合记为A,0是集合A中的一个元素，但集合A也可以作为元素，如集合B中含有A，此时A表示集合B中的一个元素. 下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 对于选项A：其中元素不具有确定性，故选项A错误， 对于选项B：对于任何一个学生可以判断其是否属于{北附广南实验学校2020～2021学年度笫二学期全体高一学生}，故选项B正确， 对于选项C：其中元素不具有确定性，故选项C错误， 对于选项D：其中元素不具有确定性，故选项D错误， 故选：B． B 判断指定的一组对象能否构成集合,关键在于能否找到一个明确的标准. 关系 含义 记法 读法 属于 是集合中的元素 属于 不属于 不是集合中的元素 不属于 符号＂＂＂用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性（开口对着集合），左右两边不能互换． 性质 含义 示例 确定性 集合的元素是确定的.也就是说,给定一个集合,一个对象在不在这个集合中就确定了 若用集合 表示＂中国的直辖市＂，则上海 ，苏州 互异性 一个给定集合中的各个元素是互不相同的，即一个元素在同一个集合中是不能重复出现的 若实数 、 是集合 中的两个元素，则 无序性 组成集合的元素无先后顺序之分 由1、0组成的集合和由0、1 组成的集合是同一个集合 集合中的元素是确定的，任意一个元素要么是一个给定集合的元素,要么不是，两种关系有且只有一种成立;同时，应注意检查集合的元素是否满足互异性 集合中元素的三个性质的主要作用 (1)确定性 判断指定的一组对象能否组成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，即组成集合的元素必须是确定的. (2)互异性 提示我们求出结果后要检验，特别是题中含有参数时，一定要检验求出的参数是否能使集合中的元素满足互异性 (3)无序性 方便定义集合相等，当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等，需分情况讨论. 已知集合A＝{2，4，x2﹣x}，若6∈A，则x＝　 　 ． 根据6∈A，所以6＝x2﹣x，然后根据集合的性质分别进行讨论验证即可． 因为6∈A，所以6＝x2﹣x． 解得x＝3或﹣2．符合题意． 故x的值为3或﹣2． 3或﹣2． 若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 根据集合元素的互异性，在集合M＝{a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，则△ABC不会是等腰三角形． 根据集合元素的互异性，在集合M＝{a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形； D 已知 a,b,c为集合中的三个元素,它们可构成某一个三角形的三边的长那么此三角形能否为等腰三角形? 根据集合元素的互异性可知,a,b,c三个元素互不相等,若此三个元素构成某一三角形的三边长，则此三角形一定不是等腰三角形. 如果两个集合与的组成元素完全相同，就称这两个集合相等，记作． （1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等． （2）判断两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如 、、组成的集合与方程 的解组成的集合相等． 元素个数有限的集合称为有限集,否则就称为无限集. 如：一元二次方程 的解组成的集合为有限集；周长为 1 的三角形组成的集合为无限集． 数学中,常常需要用到数的集合,数的集合简称数集.常用的数集可以用以下特定的符号来表示 数集 符号 自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 不含有任何元素的集合称为空集,记作Ø 知识点8 列举法 将集合中的元素不重复地一一列举出来并写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法 能用列举法表示的集合一般是有限集，但对于一些有规律的无限集,在不会引起歧义的前提下,也可用列举法表示.例如，全体正偶数组成的集合可以表示为｛2,4,6,…,2n，…｝ 大括号“｛｝”表示“所有”“整体”的含义示例:实数集R可以写成｛实数｝,但如果写成{实数集}、｛全体实数｝、{R}都是不正确的. 用列举法表示下列集合： （1）能整除10的所有正整数组成的集合； （2）绝对值小于4的所有整数组成的集合． （1）利用列举法求解．（2）利用列举法求解． （1）能整除10的所有正整数组成的集合为：{10，20，30，40，50，60，…}． （2）绝对值小于4的所有整数组成的集合为：{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}． （1）{10，20，30，40，50，60，…}．（2）{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}． 知识点9 描述法 在大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线,并在竖线的右边写上集合中所有元素具有的共同特征,即： 描述法表示集合时的注意事项 （1）所有描述的内容都要写在大括号内，如＂｛x｜x＝2k}, ＂不符合要求，应写为 ． （2）精确地写出集合中代表元素的符号，如 不能写成 ． （3）不能出现未被说明的字母，如 中不明确，故集合中的元素不确定． （4）多层描述时，应准确使用＂且＂＂或＂等表示元素之间关系的词语，如或． （5）元素的取值范围，如果从上下文的关系看是明确的，那么可以省略不写。如在实数集中取值，＂＂常省略不写， 常写为． 用描述法表示下列集合： （1）1000以内被3除余2的正整数组成的集合； （2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． （1）（2）根据已知条件，结合描述法，即可求解． （1）1000以内被3除余2的正整数组成的集合为{x|x＝3k+2，k∈N，且x＜1000}； （2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合{（x，y）|x＜0且y＞0}． （1）{x|x＝3k+2，k∈N，且x＜1000}；（2）{（x，y）|x＜0且y＞0}． 知识点10 区间 1.区间的概念及几何表示 2.含“∞”的区间的几何表示 理解区间概念时的注意事项 (1) 区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开, (2)区间实质上是一类特殊数集(部分实数组成的集合)的符号表示， (3)区间表示实数集的三个原则: ①是连续的数集; ②左端点必须小于右端点; ③开或闭不能混淆。 (4)“∞”是一个趋向符号,表示无限接近,却永远不能到达，不是一个数。因此以“-∞”和“十∞”为区间的一端时,这一端必须用小括号. 题型一、集合的概念 例1（24-25高一上·湖南怀化·期中）下列关系中正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用常用数集的定义逐一判断即可得解. 【详解】对于①：为有理数，则成立，①正确； 对于②：为实数，则不成立，②错误； 对于③：不是正自然数，则不成立，③错误； 对于④：是无理数，不是整数，则不成立，④错误； 故正确的有1个. 故选：A. 2．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 3．（23-24高一上·广东广州·期中）下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由数与数域的关系判断出正确个数，求出答案. 【详解】对于①，，①错误； 对于②，，②正确； 对于③，，③错误； 对于④，，④错误， 故正确的个数为1个. 故选：A 4．（25-26高一上·全国·课后作业）以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由集合元素三要素逐个判断即可. 【详解】（1）（2）（5）的元素不确定，不能构成集合． （3）（4）（6）符合集合概念， 故选：B 题型二、判断元素能否构成集合 例2（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 6．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）下列各组对象可构成一个集合的是（    ） A．与10非常接近的数 B．本班视力差的女生 C．中国漂亮的工艺品 D．我校学生中的女生 【答案】D 【分析】根据集合的性质判断即可. 【详解】由集合的确定性可得，仅“我校学生中的女生”满足确定性. 故选：D 7．（24-25高一上·湖南·阶段练习）下列对象能构成集合的有（    ） A．接近于2025的所有正整数 B．小于的实数 C．未来10年内的房价趋势 D．点与点 【答案】BD 【分析】根据集合中元素的确定性判断各项是否能构成集合即可. 【详解】对于A，接近于2025所有正整数的标准不明确，不能构成集合． 对于B，小于的实数是确定的，能构成集合． 对于C，未来10年内的房价趋势不明确，不能构成集合． 对于D，点与点是两个不同的点，是确定的，能构成集合． 故选：BD 8．（23-24高一上·全国·课后作业）考察下列每组对象，能构成一个集合的是（    ） A．不超过20的非负整数 B．方程在实数范围内的解 C．某校2023年在校的所有高个子同学 D．的近似值的全体 【答案】AB 【分析】根据解集的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，对任意一个整数能判断出是不是“不超过20的非负整数”，所以能构成集合； 对于B中，方程的两个解是，能构成集合； 对于C中，“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合； 对于D中，“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数是不是它的近似值，所以不能构成集合． 故选：AB 题型三、判断是否为同一集合 例3（2024高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 10．（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】AD 【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. 11．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知集合，集合，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由两个集合中元素的特征，判断两个集合的关系和元素与集合的关系. 【详解】点在函数图像上，有，A选项正确； 集合A为数集，集合B为点集，，B选项错误； 函数的值域为，则，，C选项正确； 集合B为点集，，D选项错误. 故选：AC. 题型四、元素与集合 例4（24-25高一上·湖南邵阳·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用元素与集合之间的关系对选项逐一判断可得结果. 【详解】易知为有理数，可得，即A正确； 易知，即B错误； 而0不是正整数，所以，即C错误； 显然不是整数，即，可得D错误； 故选：A 13．（2014高三·全国·专题练习）已知集合，若，则的值为 . 【答案】 【分析】分类讨论和，注意元素的互异性. 【详解】因为，所以或， 当，即时，，此时集合中有重复元素3，所以不符合题意，舍去； 当时，解得或（舍去），此时当时，符合题意， 综上可知，， 故答案为：. 14．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，若中只有一个元素，则的值构成的集合为 ． 【答案】 【分析】根据题意分情况讨论即可求得结果，当时，满足题意；时，只需让判别式等于零即可. 【详解】当时，解得，满足题意； 当时，此时，解得， 所以的值构成的集合为， 故答案为：. 15．（24-25高一上·湖南·期中）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算出每项中、的对应的值后，检验其是否符合即可得解. 【详解】对A：有，解得，由时，，故，故A错误； 对B：有，解得，由时，，故，故B正确； 对C：有，解得，由时，，故，故C错误； 对D：有，解得，由时，，故，故D错误. 故选：B. 题型五、判断元素与集合的关系 例5（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】1是自然数，故，故①正确； 不是正整数，故，故②正确； 是有理数，故，故③正确； 是实数，故，故④错误； 是无理数，故，故⑤错误. 则正确的有3个. 故选：. 17．（23-24高一上·湖南常德·期末）集合，又则（   ） A． B． C． D．任一个 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系求得正确答案. 【详解】集合的元素是所有的偶数、集合的元素是所有的奇数， 奇数+偶数=奇数，所以，， 如，但.所以B选项正确. 故选：B 18．（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）用符号“”或“”填空： 设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 . 【答案】 【分析】由元素与集合的关系填写即可. 【详解】中国与印度属于亚洲国家，美国与英国不属于亚洲国家. 中国，美国，印度，英国. 故答案为：；；；. 19．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，则下列各项为中的元素的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】元素与集合的关系，就是看元素是否符合集合的要求，逐个验证即可. 【详解】A选项：，且，∴，故A正确； B选项：，且，∴，故B正确； C选项：，且，∴，故C不正确； D选项：，且，∴，故D正确. 故选：ABD 题型六、根据元素与集合的关系求参数 例6（24-25高一上·河南·阶段练习）若集合，且，则（    ） A．10或13 B．13 C．4或7 D．7 【答案】B 【分析】利用元素与集合的关系计算即可. 【详解】当，即时，，此时与4重复，则. 当，即时，. 故选：B 21．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合之间的关系，分类讨论、、，即可求解. 【详解】由， 若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则或（舍），，此时符合集合元素的特性； 若，即，则不符合集合元素的互异性. 故. 故选：B. 22．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用元素与集合的关系，列式求解即得. 【详解】依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 23．（23-24高一上·河南·阶段练习）设集合，若，则实数（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系得出两种情况，再分别检验即得. 【详解】由集合，因，则或， 当时，，此时，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，当时，满足．故． 故选：B． 24．（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 【答案】2 【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案. 【详解】因为， 所以或， 若，，不满足互异性； 若或2，又，所以， 故答案为：2. 25．（22-23高一下·辽宁沈阳·期末）设集合，且，则x的值可以为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】BC 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】∵，则有： 若，则，此时，不符合题意，故舍去； 若，则或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述：或. 故选：BC. 题型七、集合中元素的特性 例7（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）若，，，为集合的4个元素，则以，，，为边长的四边形可能是（   ） A．等腰梯形 B．直角梯形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【分析】根据集合中元素的互异性，以及特殊四边形边长的性质进行判断即可. 【详解】根据集合中元素的互异性，以，，，为边长的四边形，四条边均不相等， 选项中只有直角梯形可能满足要求. 故选：B 27．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若，则的所有可能取值为 ． 【答案】2或0 【分析】分类讨论，若不满足元素互异性，则舍去，求出答案. 【详解】①当时，，此时不满足元素的互异性，舍去， ②当时，，此时集合为，符合题意， ③当时，或1，若，，此时不满足元素的互异性，舍去， 若，此时集合为，综上所述的可能值为2或0． 故答案为：2或0 28．（22-23高一上·浙江杭州·期中）集合，若，则 【答案】 【分析】分和，并结合集合元素的互异性求解即可. 【详解】解：因为， 所以，若，则可得或2， 当时，，不满足互异性，舍去， 当时，，满足题意; 若，则，此时，不满足互异性，舍去； 综上 故答案为： 29．（22-23高一上·湖南株洲·阶段练习）已知集合A有三个元素，且.求实数. 【答案】或 【分析】分或进行分类讨论并检验. 【详解】因为，所以或， 若，则，此时集合中含有三个元素,符合题意; 若，则或, 当时，集合中含有三个元素,符合题意， 当时，此时集合中含有重复元素,不符合题意，舍去， 所以实数的值是1或. 30．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）由a2，a-1，1组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．2 B．1 C．-2 D．0 【答案】CD 【分析】利用集合的互异性即可判断实数a的范围条件，根据选项筛选即可. 【详解】由题意得,解得a≠2且a≠±1，则符合要求的只有CD. 故选：CD. 题型八、利用集合元素的互异性求参数 例8（19-20高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，且，则a=（    ） A．1 B．-1 C．±1 D．0 【答案】B 【分析】代入求值，再由集合的互异性验证即可求解. 【详解】由题意可得或， 解得或， 当时，，不满足集合的互异性，舍去； 当时，，满足题意， 故选：B 32．（19-20高一上·江苏南通·阶段练习）若1∈{x，x2}，则x=（　　） A．1 B． C．0或1 D．0或1或 【答案】B 【分析】根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果 【详解】根据题意，若1∈{x，x2}，则必有x=1或x2=1， 进而分类讨论： ①、当x=1时，x2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去， ②、当x2=1，解可得x=-1或x=1（舍）， 当x=-1时，x2=1，符合题意， 综合可得，x=-1， 故选B． 【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题. 33．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知，则实数a的值是（    ） A．3 B．1 C．3或1 D．0 【答案】A 【分析】由元素与集合的关系可得出或，然后再检查集合元素的互异性. 【详解】由题意得或，当时，集合为，符合题意； 当时，集合为，不符合题意，所以. 故选：A 34．（20-21高一上·广西钦州·阶段练习）若，则实数的值为 . 【答案】 【分析】分，分别求解，再根据元素的互异性即可得答案. 【详解】解：当时， 则不满足元素的互异性， 故； 所以，解得:(舍)或， 故实数的值为. 故答案为：2. 35．（24-25高一上·上海徐汇·期末）设是实数，集合，若，则 . 【答案】 【分析】根据元素与集合关系及互异性求参数即可. 【详解】若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则（正值舍），此时，满足； 综上，. 故答案为： 36．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】BD 【分析】根据集合中元素的互异性求解. 【详解】集合，则，解得，知BD符合. 故选：BD. 题型九、集合的表示方法 例9（24-25高一上·湖南邵阳·期中）若，则集合可用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用列举法表示集合，可得结果. 【详解】因为，则. 故选：D. 38．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）集合用列举法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将集合中的元素列举出来即可. 【详解】. 故选：C 39．（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）一次函数与图象的交点组成的集合 . 【答案】 【分析】联立方程组，利用列举法求解集合即可. 【详解】联立与，解得， 所以一次函数与图象的交点组成的集合为：. 故答案为： 40．（24-25高一上·北京·阶段练习）用列举法表示集合为 ． 【答案】 【分析】先解方程可得，进而求解即可. 【详解】由，则，即， 又，所以， 则. 故答案为：. 41．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接解出集合即可； （2）解方程，对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据集合的元素之和为进行检验或求出的值，即可得解. 【详解】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． 题型十、自然语言表示集合 例10（23-24高一上·湖南湘西·阶段练习）集合的表示方法有 （写出其中两种即可）. 【答案】列举法、描述法（答案不唯一） 【分析】利用集合的表示方法求解即可. 【详解】一般情况下，集合的表示方法有列举法、描述法、韦恩图法、自然语言法和符号法等. 故答案为：列举法、描述法（答案不唯一） 43．（24-25高一上·上海·随堂练习）两条平行直线的交点组成的集合是 ．（用符号表示） 【答案】 【分析】直接根据平行线的定义及空集的符号得到答案. 【详解】两条平行直线没有交点，所以它们交点组成的集合是空集. 故答案为：. 44．（24-25高一上·全国·课前预习）常用数集及其记法 全体自然数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正整数组成的集合简称 ，记作 或 ； 全体整数组成的集合简称 ，记作 ； 全体有理数组成的集合简称 ，记作 ； 全体实数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正实数组成的集合简称 ，记作 ； 【答案】 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 【分析】略 【详解】略 45．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)所有能被3整除的数的集合； (4)方程的解集； (5)不等式的解集； (6)抛物线上的点组成的集合． 【答案】(1)月，3月，5月，7月，8月，10月，12月 (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用列举法表示集合； （2）利用列举法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用列举法表示集合； （5）利用描述法表示集合； （6）利用描述法表示点集合. 【详解】（1）月，3月，5月，7月，8月，10月，12月． （2）． （3） （4）. （5）. （6）. 题型十一、描述法表示集合 例11（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据集合描述法用列举法求出集合中元素得解. 【详解】因为集合，， 所以, 故选：D 47．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】解不等式即可求解. 【详解】由，解得或， 所以不等式的解集是或. 故选：D. 48．（24-25高一上·山东菏泽·期中）方程的解集表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设，应用列举法、描述法分析正确的集合表示方式，即可得答案. 【详解】方程的解为， 所以，，都可以表示该方程的解集， 表示的是含有点的集合． 故选：C 49．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合是指（   ） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 【答案】D 【分析】由已知可得或，集合元素是点集，再结合点的坐标的特点即可判断． 【详解】因为，所以或， 所以集合表示第二象限和第四象限内的所有点，以及在轴上的点， 即不在第一、第三象限内的所有点. 故选：D. 50．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若，，则集合B的非空真子集的个数为 . 【答案】6 【分析】用穷举法求出集合，再求集合B的非空真子集的个数即可. 【详解】由题意，当，或时，或； 当，或时，或； 当，或时，或； 综合以上可知，； 所以集合B的非空真子集的个数为， 故答案为：6 题型十二、列举法表示集合 例12（24-25高一上·陕西西安·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合中的元素特征可得出集合. 【详解】因为，，则， 故选：B. 52．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，结合得的值即可求解. 【详解】由得，，即， 又，∴ 故. 故选：C. 53．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的取值分情况讨论，代入计算即可. 【详解】，时，， 时，， 或或或时，， 或或或时，， 故. 故选：D. 54．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）用列举法表示“能整除的所有正整数”组成的集合： . 【答案】 【分析】首先写出能整除的正整数，然后用列举法写成集合的形式. 【详解】因为能整除的正整数有， 所以“能整除 9 的所有正整数”组成的集合为. 故答案为： 题型十三、用区间表示集合 例13将数集用区间表示为 ． 【答案】 【分析】由区间的定义可得. 【详解】由区间的定义可得，数集可表示为. 故答案为： 13-1用区间表示下列集合： （1）： ； （2）： ； （3）： ； （4）： ． 【答案】 【分析】利用集合与区间的对应关系即可直接写出答案. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 故答案为：，，，. 13-2把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据区间与集合的对应关系即可写出对应的区间表示. 【详解】（1） （2） （3） （4） 13-3用区间表示下列集合： (1)； (2)且. 【答案】(1) (2) 【分析】先求解集合中的不等式，再利用区间表示即可 【详解】（1）由题意， （2）由题意，且且 13-4（24-25高一上·北京·阶段练习）用列举法表示集合为 ． 【答案】 【分析】先解方程可得，进而求解即可. 【详解】由，则，即， 又，所以， 则. 故答案为：. 1．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④；⑤其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用元素与集合的关系一一判定即可. 【详解】易知空集是没有元素的集合，即，①错误； 空集是任何集合的子集，即，④正确； 无理数不是整数，即，②错误； 最简分数是有理数，即，③正确. 故选：B 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可. 【详解】因为，所以①正确； 因为，，所以②不正确； 因为，，故③正确； ，故④错误. 故选：C 3．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【分析】根据集合的性质逐项分析判断即可. 【详解】对于①：接近于的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误； 对于②：年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确； 对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误； 对于④：不大于的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确； 对于⑤：因为，不能构成一个集合，故⑤错误； 故选：D. 4．（19-20高一·全国·课后作业）集合的另一种表示法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元一次不等式，写出集合中的元素，利用列举法可得答案. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以， 故选：B. 5．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）设集合含有，1两个元素，含有，2两个元素，定义集合，满足，且，则中所有元素之积为（　　） A． B． C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据集合的定义先求出集合，然后再把集合中所有元素相乘即可求解. 【详解】由题意，， 由集合的定义可知，集合中有以下元素：①，②，③，④， 根据集合中元素满足互异性去重得， 所以中所有元素之积为. 故选：C. 6．（19-20高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知则实数的值为 【答案】5 【分析】根据集合中元素的确定性讨论和，再结合元素互异性即可求解. 【详解】因为， 当时，那么，不满足集合元素的互异性，不符合题意， 当时，，此时集合为符合题意， 所以实数的值为， 故答案为：． 7．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 【答案】 【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值. 【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 8．（21-22高一上·湖南长沙·期中）设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中，，则中元素的个数是 ． 【答案】4 【分析】求得的元素，由此确定正确答案. 【详解】依题意，， 所以共有个元素. 故答案为： 9．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数的所有可能取值构成集合是T，则 . 【答案】 【分析】先分析得，进而得到或，再分类讨论的取值情况，结合二次方程的判别式得到关于的方程或不等式，从而得解. 【详解】对于，有， 所以集合中有两个元素，即， 因为，所以或， 对于，易知必是方程中的一解， 当时，，所以有唯一解，且无解， 则，解得； 当时，若有唯一解，由上述分析可知无解，不满足题意； 若有两解，则有唯一解， 即，解得或； 综上，实数的所有可能取值为，则. 故答案为：. 10．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)的值为或，当时，元素为，当时，元素为 (3) 【分析】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根； （2）（3）讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围. 【详解】（1）A是空集，且，，解得， 的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，，，解得，此时集合， 综上所求，的值为或，当时，元素为，当时，元素为； （3）当时，，符合题意； 当时，要使关于x的方程有实数根，则，得. 综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为. 11．（24-25高一上·湖南·阶段练习）设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． (1)当时，写出集合的积集； (2)若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； (3)若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】（1）根据题意，得到； （2）不妨设，推出中的元素个数大于等于5，再举出实例，得到中元素个数最小值为5； （3）中的元素个数最多的情况是6个互不相同的数，同时中没有两个数互为相反数，的绝对值互不相等，不妨设，由此求出，. 【详解】（1），故， ， 故； （2）是由4个正实数构成的集合， 不妨设， 因为，故中的元素个数大于等于5， 当时，此时， 故中元素个数最小值为5； （3）由条件可知，对于一个4元集合， 中的元素个数最多的情况为，是6个互不相同的数， 同时中没有两个数互为相反数，因此中没有两个数互为相反数， 由此知，的绝对值互不相等，不妨设， 则中最小的与次小的两个数分别为与， 最大与次大的两个数分别为与， 从而必有， 于是， 所以， 当时，，解得， 又为有理数，不合要求，舍去， 当，解得，满足要求， 易得或， 经检验，均满足要求，故， 集合中的所有元素之和为. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$