河南省叶县高级中学2024-2025学年高二下学期数学期末猜题卷

河南省叶县高中2024-2025高二数学下学期期末预测卷 第一部分（选择题 共58分） 【测试范围：人教A版2019选修一、二、三全部内容】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选修三本书全部内容 一、单选题： 本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知由样本数据组成一个样本，可得到回归直线方程为，且，则样本点的残差为（    ） A．0.3 B．-0.3 C．1.3 D．-1.3 2．的展开式中各项系数之和为，设，则（    ） A． B． C． D． 3．从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（    ） A．480种 B．240种 C．120种 D．60种 4．已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左､右焦点､若的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．在平行六面体中，，，则的长为（   ） A．12 B． C． D． 7．若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．为备战乒乓球赛，某体校甲､乙两名主力进行训练，规则如下：两人每轮分别与老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为此轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，且满足，每局之间相互独立.记甲､乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（    ） A．17 B．22 C．27 D．32 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知、是两个随机事件，且，，则下列说法正确的有（    ） A． B．若、相互独立，则 C．若，则 D．若，则、相互独立 10．已知曲线E：，其焦点为F，下列说法中正确的是（   ） A．若P为曲线E上一点，，则 B．若P为曲线E上一点，则P到直线l：的距离最小值为 C．过F的直线l交曲线E于A，B两点，若l的倾斜角为，则 D．过F的直线，分别交曲线E于A，B，C，D四点，若，则的最小值为16 11．已知函数，.下列结论正确的是（    ） A．有且只有个零点 B．有且只有个极值点 C．无最大值，也无最小值 D．的极小值就是最小值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线和互相垂直，且，则的最小值为 ． 13．盒子中有大小与质地均相同的个红球和个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球个（大小与质地均相同），再从中随机取1个球，计算此次取到白球的概率是 ． 14．已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知等差数列满足，正项数列满足. (1)求的通项公式； (2)求的前项积. 16．（15分） 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，且为正三角形，，点为的中点，点为棱上一点，且，. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 17．（15分） 某面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为元，售价为元，该款面包当天只出一炉（一炉至少个，至多个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，以便利润最大化，该店记录了这款新面包最近天的日需求量（单位：个），整理得下表： 日需求量 频数 （1）根据表中数据可知，频数与日需求量（单位：个）线性相关，求关于的线性回归方程； （2）若该店这款新面包每日出炉数设定为个 （i）求日需求量为个时的当日利润； （ii）求这天的日均利润. 相关公式：， 18．（17分） 已知椭圆：（）的长轴长为10，离心率为. (1)求的方程； (2)若的左焦点为，直线：与交于，两点，求的面积. 19．（17分） 已知函数. (1)若，判断函数的单调性； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数有两个极值点，求证： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省叶县高中2024-2025高二数学下学期期末预测卷详解答案 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题： 本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知由样本数据组成一个样本，可得到回归直线方程为，且，则样本点的残差为（    ） A．0.3 B．-0.3 C．1.3 D．-1.3 【答案】A 【分析】先将中心代入回归方程求出，将代入回归方程求得，结合残差的定义即可求解. 【详解】由题意知，将点代入， 得，所以， 将代入，解得， 所以样本点的残差为. 故选：A 2．的展开式中各项系数之和为，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的值，再根据，利用通项公式求出的值. 【详解】令，可得的展开式中各项系数之和为，， 设， 则. 故选：B 3．从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（    ） A．480种 B．240种 C．120种 D．60种 【答案】C 【分析】结合捆绑法与全排列，并消除和的顺序即可求解. 【详解】站在一起有种， 将看成一个整体与进行全排列，共有种， 同时要求在的左边，共有种． 故选：. 4．已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对函数求导，分析其单调性，再结合函数的零点情况确定的取值范围.涉及到的知识点有导数与函数单调性的关系以及函数零点的概念. 【详解】函数的定义域为. 对求导，可得：. 当时，在上，，即，所以在上单调递减，此时不可能有两个零点. 当时，令，即，因为，所以，解得（负根舍去）. 当时，，，在上单调递增； 当时，，，在上单调递减. 所以在处取得极大值，也是最大值，. 因为当和时，，要使有两个零点，则，即. 因为，不等式两边同时除以得，即. 根据对数函数的单调性，在上单调递增，所以，两边同时平方可得，解得. 的取值范围是. 故选：D. 5．已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左､右焦点､若的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义和性质列式求，进而可得离心率. 【详解】由题意可知：，解得， 所以椭圆的离心率. 故选：A. 6．在平行六面体中，，，则的长为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行六面体的几何性质，利用空间向量的线性运算以及数量积的定义，结合向量模长公式，可得答案. 【详解】由题意可得，由，则， 由， 则，， 所以 . 故选：B. 7．若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的标准方程可得圆心与半径，分直线与圆的位置为相离、相切与相交三种情况，建立不等式，可得答案. 【详解】由圆可得圆心，半径， 圆心到直线的距离， 当直线与圆相离或相切时，即，圆上的点到直线的距离最小值为， 由题意可得，解得或； 当直线与圆相交时，即，圆上的点到直线的距离最小值为，最大值为， 由题意可得，由，不等式显然成立，由不等式，解得. 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 8．为备战乒乓球赛，某体校甲､乙两名主力进行训练，规则如下：两人每轮分别与老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为此轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，且满足，每局之间相互独立.记甲､乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（    ） A．17 B．22 C．27 D．32 【答案】C 【分析】由题可得甲乙两人每轮训练通过的概率表达式，结合基本不等式及二次函数知识可得两人通过训练概率的最大值，再结合甲、乙在轮训练中训练过关的轮数服从二项分布，及二项分布期望公式即可求解. 【详解】由题可知：甲乙两人每轮训练通过的概率为：. 因为，，，所以由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立. 所以，当，即时取得最大值. 又甲、乙在轮训练中训练过关的轮数服从二项分布，则期望为，结合，可得. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知、是两个随机事件，且，，则下列说法正确的有（    ） A． B．若、相互独立，则 C．若，则 D．若，则、相互独立 【答案】ABC 【分析】根据条件概率公式，全概率公式，以及概率的加法公式分别判断各选项. 【详解】A选项：由条件概率公式可知，即，A选项正确； B选项：由独立事件的定义可知，当、相互独立时，，B选项正确； C选项：由，即，所以，C选项正确； D选项：是条件概率的基本性质，无论事件、是否相互独立，该等式恒成立，D选项错误； 故选：ABC. 10．已知曲线E：，其焦点为F，下列说法中正确的是（   ） A．若P为曲线E上一点，，则 B．若P为曲线E上一点，则P到直线l：的距离最小值为 C．过F的直线l交曲线E于A，B两点，若l的倾斜角为，则 D．过F的直线，分别交曲线E于A，B，C，D四点，若，则的最小值为16 【答案】ABD 【分析】利用抛物线定义，结合几何图形求解判断A；利用点到直线距离公式求出最小值判断B；利用弦长公式求解判断CD. 【详解】抛物线的焦点，准线 对于A，过作准线的垂线，垂足分别为，交抛物线于，连接， 则， 当且仅当重合时取等号，A正确； 对于B，设，P到直线l：的距离， 当且仅当，即点时取等号，B正确； 对于C，直线的方程为，由消去得， 设的横坐标分别为，则，，C错误； 对于D，直线的斜率都存在且不为0，设直线的方程为，， 由消去得，则， ，直线的方程为， 同理，因此， 当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 11．已知函数，.下列结论正确的是（    ） A．有且只有个零点 B．有且只有个极值点 C．无最大值，也无最小值 D．的极小值就是最小值 【答案】AD 【分析】求导，根据导数判断函数的单调性与极值最值情况，进而可导零点. 【详解】由已知， 则， 令，解得或， 则 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，极小值为，B选项错误； 又当时，恒成立，所以当且仅当时，，即函数的极小值也是最小值，A、D选项正确，C选项错误； 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线和互相垂直，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据两直线垂直得到，再利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以，即， 因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为． 故答案为：． 13．盒子中有大小与质地均相同的个红球和个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球个（大小与质地均相同），再从中随机取1个球，计算此次取到白球的概率是 ． 【答案】 【分析】由题意，根据古典概型求得概率，结合全概率公式，可得答案. 【详解】由题意可设{第一次取得红球}，{第一次取得白球}， {第二次取得红球}，{第二次取得白球}， 易知，，，， 所以. 故答案为：. 14．已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造函数利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】设则， 故在R上单调递减， 且，即， 即， 故. 故不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知等差数列满足，正项数列满足. (1)求的通项公式； (2)求的前项积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列通项公式将已知条件化为用表示的方程组，求出，即可求解的通项公式； （2）利用与的关系，写出数列的通项公式，即可求得的前项积. 【详解】（1）设等差数列的公差为， ， ，即，解得， ； （2）由（1）可知， ， 当时，，又，所以， 所以， 则. 16．（15分） 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，且为正三角形，，点为的中点，点为棱上一点，且，. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而可得，根据等边三角形的性质可得，即可根据线面垂直的判定求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，即可根据向量的夹角公式求解. 【详解】（1）证明：因为为正三角形，点为的中点，所以. 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面. 又平面，所以. 因为，，平面， 所以平面. （2）如图，取的中点，的中点，连接，. 易知，，则，平面， 又平面，所以， 故以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 易知，则，，，， ，， 则， 故. 由（1）可知是平面的一个法向量， 故由题可知，又， 解得. 17．（15分） 某面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为元，售价为元，该款面包当天只出一炉（一炉至少个，至多个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，以便利润最大化，该店记录了这款新面包最近天的日需求量（单位：个），整理得下表： 日需求量 频数 （1）根据表中数据可知，频数与日需求量（单位：个）线性相关，求关于的线性回归方程； （2）若该店这款新面包每日出炉数设定为个 （i）求日需求量为个时的当日利润； （ii）求这天的日均利润. 相关公式：， 【答案】（1）；（2）（i）15元；（ii）101.6元. 【分析】（1）计算x,y的平均数，计算线性回归方程的参数，即可．（2）（i）当日需求为15个时，结合信息表，计算利润，即可．（ii）分别计算每种日需求下的利润，计算期望，即可． 【详解】（1），， ， ，故关于的线性回归方程为. （2）（i）若日需求量为个，则当日利润元 （ii）若日需求量为个，则当日利润元 若日需求量为个，则当日利润元 若日需求量为个或个，则当日利润元 则这30日的日均利润 元 18．（17分） 已知椭圆：（）的长轴长为10，离心率为. (1)求的方程； (2)若的左焦点为，直线：与交于，两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出即可得出答案. （2）先联立方程组，利用韦达定理和弦长公式求出；再利用点到直线距离公式求出点到直线的距离；最后根据三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为（）. 由题可知，，解得，. 所以. 所以的方程为. （2） 设，. 联立方程,可得， 则，， 故. 由题可知， 所以点到直线的距离， 故的面积为. 19．（17分） 已知函数. (1)若，判断函数的单调性； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数有两个极值点，求证： 【答案】(1)在上单调递增； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导可得，可得结论； （2）通过函数的导数，对a分类讨论，分别求解函数的单调性，求出满足条件的实数a的取值范围． （3）根据（2）的结论把转化为，然后利用换元法求出关于t的函数，利用导函数求出最值即可. 【详解】（1）若，则，函数的定义域为， 所以， 所以在上单调递增； （2）由，可得 ①若，易知在上恒成立， 所以在是减函数，又，所以，不符合题意， ②若，令，则，， 故时，，又， 所以时，，不符合题意， ③若，易知，故在是增函数， 又，所以，综上，； （3）由（2）知，，所以，且， 当时，，所以在上是减函数， 故要证，即证， 即， 又，所以，又， 代入化简得：，所以， 令，则，即证， 设，则， 所以在上是减函数，所以， 即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$