精品解析：广西壮族自治区梧州市藤县第七中学等校2025届高三下学期5月仿真考试数学试题

广西2025届高三5月仿真考试 数学 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1、答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2、考生请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则集合中的元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定集合中元素，求得并集可得元素个数． 【详解】，，共9个元素． 故选：C． 2. 下列各组数中方差最小的是（ ） A. 1，2，3，4，5 B. 2，2，2，4，5 C. 3，3，3，3，3 D. 2，3，2，3，2 【答案】C 【解析】 【分析】 先分别求出各组数据的平均数，再根据方差公式计算方差，再进行比较即可. 【详解】对于选项A：平均数为， 方差为; 对于选项B：平均数为， 方差为； 对于选项C：平均数为， 方差为； 对于选项D：平均数为； 方差为； 因为， 所以选项C中的数据方差最小， 故选：C 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将两表达式结合诱导公式化简，再结合万能公式即可求解 【详解】， 故选：A 【点睛】本题考查诱导公式和万能公式的使用，属于基础题 4. 设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 15 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出. 【详解】由题知, 即,即,即. 由题知,所以. 所以. 故选:C. 5. 已知事件与事件相互独立，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.12 C. 0.58 D. 0.7 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率及概率的基本性质计算得解. 【详解】由事件与事件相互独立，，得， 所以. 故选：C 6. 已知平面四边形，则“(为实数)，”是“四边形是平行四边形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的判断，看“(为实数)，”和“四边形是平行四边形”二者是否能够互相推出，即可得到答案. 【详解】对于“(为实数)，”，这种情况下对应的平面四边形可能是等腰梯形，故不能推出“四边形是平行四边形”， 而“四边形是平行四边形”时，一定有“(为实数)，”成立， 故“(为实数)，”是“四边形是平行四边形”的必要不充分条件， 故选：B. 7. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（ ） A. 7 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先根据水平放置时，水的形状为直四棱柱，求出水的体积，再求出当底面水平放置时，水面高即可. 【详解】设三棱柱的底面的面积为，高为，则. 当侧面水平放置时，水的形状呈直四棱柱形， 由于液面恰好经过的中点，则直四棱柱的底面积是直三棱柱底面积的，即直四棱柱的底面积是， 所以水的体积， 当底面水平放置时，设水面高为，则， 从而有，所以， 即当底面水平放置时，水面高为6. 故选：B. 8. 若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意确定有公共零点，设为，即可得到，构造函数，求出其最小值，即可求得答案. 【详解】由于函数在上均单调递增，故均至多有一个零点， 而不等式恒成立， 若，则需恒成立，由于的值域为R，故不恒成立； 故，则有公共零点，设为， 则，即， 故， 令，则， ，由于在上均单调递增， 故在上单调递增， 则时，；时，； 故在上单调递减，在上单调递增， 故，即的最小值为1， 故选：C 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为：且，则下列正确的是（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分布列的性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，解得，所以AB选项正确. ，所以 ，C选项错误. ， 所以，所以D选项正确. 故选：ABD 10. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为 D. 在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】由偶函数的定义可得选项A正确；根据可得选项B错误；根据，结合倍角公式可得选项C正确；当时，函数可化为，根据正弦型函数的性质可得选项D错误. 【详解】因为定义域为，，所以，为偶函数，选项A正确． 因为， 的最小正周期不为选项，B错误． ，选项C正确． ，，， 时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减，选项D错误． 故选：AC. 11. 如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点M，，点，给出下列四个结论，正确的是（ ） A. 面积的最大值为 B. 的最大值为7 C. 若，则 D. 若，垂足为，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：根据椭圆性质分析判断；对于B：由椭圆定义结合几何性质分析判断；对于C：应用角平分线的性质及余弦定理即可求解；对于D，延长交于点，应用对称性及圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆方程可知：. 对于A：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故A正确； 对于B：因为，则， 可得，当且仅当为线段与椭圆的交点时，取到最大，所以的最大值为7，故B正确； 对于C：由椭圆的光学性质，得点 P与l垂直的直线为角的角平分线， 则， 设，则， 可得， 则， 即, 整理可得，解得或， 当时，，M与O重合，不合题意， 所以，即，故C正确； 对于D：如图，延长交于点， 则在中，， 则且为中点，连， 在中，， 则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _____. 【答案】 【解析】 【分析】由模的计算公式即可求解. 【详解】由题意. 故答案为：. 13. 若函数，在上是增函数，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性列出不等式求解即得. 【详解】由函数在R上是增函数，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14. 如图，在中，是的中点，是上的点，，，，，则_____. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】作的四等分点，使得，然后在三角形与三角形中，使用余弦定理表示出，再结合，两次使用余弦定理，从而解得所需要的边长，解出. 【详解】设在三角形与三角形中， 解得： 作的四等分点，且,由题意知，， 又因为，所以,, 又，所以, 在三角形与三角形中， 化简得: ,代入解得：, 从而解得： 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 随着粤港澳大湾区建设、黄河流域生态保护和高质量发展等区域重大战略实施取得新成效，城乡融合和区域协调发展继续推进，2024年末全国常住人口城镇化率增长至67.00%.下图为2020-2024年年末常住人口城镇化率的折线图. （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合常住人口城镇化率与年份代码的关系.请建立关于的回归方程； （2）从这5年中任取2年，记常住人口城镇化率超过65.00%的年数为，求的分布列与数学期望.附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为：， 参考数据：， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出、的值，将样本数据代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出回归直线方程； （2）由题意可知，随机变量的取值可能为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 设年份代码的平均数为，则. 设常住人口城镇化率的平均数为，则. 因为，， 所以. 所以. 所以关于的回归方程为. 【小问2详解】 由图可知，第、、年常住人口城镇化率超过， 由题意可知，的取值可能为、、， 因为；；. 所以的分布列为： 所以的数学期望为. 16. 我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.例如：1，3，7，13，21，31…，后项与前项的差值：2，4，6，8，10，…，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列1，3，7，13，21，31….为“二阶等差数列”. （1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由； （2）若数列为“二阶等差数列”，且，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求； 【答案】（1）是，理由： 因，则， 故， 是公差为2的等差数列，则数列是“二阶等差数列”. （2） 【解析】 【分析】（1）结合已知定义及等差数列的定义即可判断； （2）由已知定义及等差数列的通项公式，求和公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意是“一阶等差数列”， 又首项为1，公差为3，故， 则 ， 又满足上式，故. 则 “二阶等差数列”的通项公式为. 17. 如图，在直角梯形ABCD中，，，，于E，沿DE将折起，使得点A到点P位置，，N是棱BC上的动点（与点B，C不重合）. （1）判断在棱PB上是否存在一点M，使平面平面，若存在，求；若不存在，说明理由； （2）当点F，N分别是PB，BC的中点时，求平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）存在， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，先证明平面，再证明平面，再利用面面垂直的性质定理作，得平面，再计算求解即可； （2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用夹角公式，得到结论． 【小问1详解】 存在，； 理由如下：由，，，平面， 所以平面，又平面， 故，又，平面，故平面， 又平面,故平面平面，又平面平面， 平面，作，则平面，又平面， 故平面平面，由题意，不妨设， 则中，由等面积得，所以， 则，所以. 【小问2详解】 以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由（1），， , ， ，, 设平面的法向量为， 由，取， 易知平面PDE的法向量为， 设平面和平面的夹角为,故. 18. 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. （1）求的标准方程. （2）若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线，（斜率都存在），与交于另一点，与交于另一点，证明： （i），的斜率之积为定值； （ii）存在定点，使得关于点对称. 【答案】（1）； （2）（i）设，如下图所示： 设过点的切线方程为，即， 所以圆心到切线的距离为，即， 因此的斜率是上式中方程的两根，即， 又因为，所以. 所以的斜率之积为定值，且定值为2. （ii）不妨设直线的斜率为，直线的斜率为， 联立，得. 因为， 所以， 则，同理可得， 所以， 因为，所以，所以，得， 又因为，，得或（舍去）， 所以存在定点，使得关于点对称. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，，即可求解； （2）（i）设切线方程为，利用直线和圆相切可得，再由韦达定理整理可得的斜率之积为定值，且定值为2； （ii）联立直线与双曲线方程，可得，同理可求出，化简得，所以，因此关于点对称. 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为，则由题意可知，， 结合得，，， 故的标准方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 19. 已知函数． （1）当时，判断的奇偶性； （2）当为偶数时，方程有解，求的最小值； （3）若存在，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）偶函数 （2）24 （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义即可求解， （2）根据函数的周期性以及对称性，将问题转化为的值域，求导，根据函数的单调性即可求解， （3）对分奇偶，结合是偶数时， 恒有，将问题转化为恒成立，分离参数即可求解，当是奇数时，根据，即可求解. 【小问1详解】 当时，， 则， 故为偶函数， 【小问2详解】 当n为偶数时， 由于， 则的周期为，且关于对称， 所以只需要讨论在上的值域， 由于，， 故恒成立，所以在单调递减， ， 所以， 其中时，， 时，， 故的最小值为24， 【小问3详解】 当是偶数时，由（2）知， 故恒有，当时恒为1， 要使存在，使得关于的不等式恒成立， 所以只需要恒成立， 由于， 当时，恒成立，只需要， 当时，恒成立，只需要， 因此是偶数时，， 当是奇数时，设，则恒成立， 而，从而， 令，， 取 反之当时， 令，等式左边， 所以等式左边的最小值为 ，综上可得 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西2025届高三5月仿真考试 数学 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1、答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2、考生请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则集合中的元素个数为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中方差最小的是（ ） A. 1，2，3，4，5 B. 2，2，2，4，5 C. 3，3，3，3，3 D. 2，3，2，3，2 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 15 D. 40 5. 已知事件与事件相互独立，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.12 C. 0.58 D. 0.7 6. 已知平面四边形，则“(为实数)，”是“四边形是平行四边形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（ ） A. 7 B. 6 C. 4 D. 3 8. 若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为：且，则下列正确的是（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为 D. 在上单调递增 11. 如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点M，，点，给出下列四个结论，正确的是（ ） A. 面积的最大值为 B. 的最大值为7 C. 若，则 D. 若，垂足为，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _____. 13. 若函数，在上是增函数，则实数的取值范围是_____. 14. 如图，在中，是的中点，是上的点，，，，，则_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 随着粤港澳大湾区建设、黄河流域生态保护和高质量发展等区域重大战略实施取得新成效，城乡融合和区域协调发展继续推进，2024年末全国常住人口城镇化率增长至67.00%.下图为2020-2024年年末常住人口城镇化率的折线图. （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合常住人口城镇化率与年份代码的关系.请建立关于的回归方程； （2）从这5年中任取2年，记常住人口城镇化率超过65.00%的年数为，求的分布列与数学期望.附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为：， 参考数据：， 16. 我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.例如：1，3，7，13，21，31…，后项与前项的差值：2，4，6，8，10，…，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列1，3，7，13，21，31….为“二阶等差数列”. （1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由； （2）若数列为“二阶等差数列”，且，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求； 17. 如图，在直角梯形ABCD中，，，，于E，沿DE将折起，使得点A到点P位置，，N是棱BC上的动点（与点B，C不重合）. （1）判断在棱PB上是否存在一点M，使平面平面，若存在，求；若不存在，说明理由； （2）当点F，N分别是PB，BC的中点时，求平面和平面的夹角的余弦值. 18. 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. （1）求的标准方程. （2）若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线，（斜率都存在），与交于另一点，与交于另一点，证明： （i），的斜率之积为定值； （ii）存在定点，使得关于点对称. 19. 已知函数． （1）当时，判断的奇偶性； （2）当为偶数时，方程有解，求的最小值； （3）若存在，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $