第04讲 有理数的加法与减法（知识清单+易错+8必考题型）-2025-2026学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（苏科版2024）

第04讲 有理数的加法与减法 题型梳理 易错分析 易错点一 运用加法交换律时符号没有一起移动致错 题型方法 题型一 有理数的加法法则 题型二 有理数的加法运算的应用 题型三 加法运算律 题型四 利用加法运算律计算 题型五 有理数的减法 题型六 有理数的减法的应用 题型七 加减法统一成加法 题型八 有理数的加减混合运算 知识清单 知识点1：有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. (2)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得0 . 同号两数相加： 绝对不相等的异号两数相加： (3)一个数与0 相加，仍得这个数. 2. 有理数加法运算的各种情况如下表 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取相同的符号 取相同的符号 若a ﹥ 0，b ﹥ 0，则a＋b=＋(|a|＋|b|) 若a ﹤ 0，b ﹤ 0，则a＋b=－(|a|＋|b|) 异号两数相加 绝对值不相等 取绝对值较大的加数的符号 相减(大减小) 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=＋(|a|－|b|) 若a ﹤ 0，b ﹥ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=－(|a|－|b|) 互为相反数 0 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a|=|b|，则a＋b=0 一个数与0 相加 仍得这个数 a＋0=a 3. 有理数加法运算的步骤 特别提醒 1.若a＋b=0，则a=－b. 2.若a＋b=0，且a ≥ 0，b ≥ 0，则a=b=0. 例：若|m－1|＋|n＋2|=0，则有m－1=0，n＋2=0. 3. 两个有理数相加，和是一个有理数. 4.任何数加上一个正数，和都比原数大. 特别解读 1. 若两个数的和为正数，则这两个加数有三种可能： (1)两个都是正数； (2) 一个是正数、一个是负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值； (3)一个是正数，一个是0. 2.若两个数的和为负数，则这两个加数有三种可能： (1)两个都是负数； (2)一个是正数、一个 知识点2：有理数加法的运算律 1. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b=b＋a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 2. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 特别提醒 1.有理数的加法运算律不但适用于两个数或三个数相加，而且适用于三个以上有理数相加. 2.利用有理数的加法交换律交换加数位置时，各加数要连同其性质符号一起交换. 3.根据需要灵活利用加法运算律，可以达到简化计算的目的. 知识点3：有理数的减法 1. 有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数. 用字母表示：a－b=a＋(－b)，其中a，b 表示任意有理数. 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－ 较小的数= 正数，即若a>b，则a－b>0 . (2)较小的数－ 较大的数= 负数，即若a<b，则a－b<0 . (3)相等的两个数的差为0，即若a=b，则a－b=0 . 特别解读 减法转化为加法过程中，应注意“两变一不变”.“两变”是指运算符号“－”号变成“＋”号，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数和减数的位置不变. 知识点4：有理数的加减混合运算 1. 有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. (2)运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简便. 如：(＋7)－(＋1 0)＋(－3)－(－8) =(＋7)＋(－1 0)＋(－3)＋8 =(7 ＋8)＋[(－1 0)＋(－3)]=15 ＋(－13)=2 . 2. 省略和式中的括号和加号 将有理数的加减混合运算统一成加法运算时，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如(－20)＋(－3)＋(＋2)＋(－5)可以写成－20 －3 ＋2 －5 . 这个式子有两种读法： (1)按加法的结果来读：负2 0 、负3、正2、负5 的和； (2)按运算来读：负20 减3 加2 减5. 特别解读 1.有理数加减混合运算关键有两步： 第一步统一为加法； 第二步运用加法运算律. 2.改写算式时，运算符号中的加号可以省略，但必须保留性质符号. 易错分析 【易错点一】运用加法交换律时符号没有一起移动致错 【例1】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了有理数加减法的运算，熟练掌握有理数加减法法则是解题的关键． 结合有理数的加减法以及运算律变形进行计算即可． 【详解】解：原式 【举一反三】【变式1】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加法运算，利用加法交换律与结合律进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式2】（2023七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)65 (2) 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】此题考查了有理数的加法计算，正确掌握有理数加法计算法则是解题的关键． 【变式3】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加法的运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键．利用有理数的加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型方法 【题型一】有理数的加法法则 【例1】（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）如果两个有理数的和是负数那么这两个数（   ） A．一定都是负数 B．一定是0与一个负数 C．一定是一个正数与一个负数 D．可能是一个正数与一个负数，可能都是负数，也可能是0和一个负数 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则．根据有理数加法运算法则进行判断即可． 【详解】解：如果两个有理数的和是负数那么这两个数可能是一个正数与一个负数，例如，可能都是负数，例如，也可能是0和一个负数，例如，故D正确． 故选：D 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·新疆伊犁·期中）如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，根据理数的加法的法则判断即可． 【详解】解：的值是负数， a与b的值中至少有一个是负数． 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）若两个数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相加所得的和（    ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是0 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加法法则，数轴的定义，根据两个有理数在数轴上的对应点分别在原点的两侧，可知这两个数一正一负，则这两个数相加有可能是正数， 也有可能是负数，也有可能是0． 【详解】解：∵两个有理数在数轴上的对应点分别在原点的两侧， ∴这两个数一正一负， ∴这两个数相加有可能是正数， 也有可能是负数，也有可能是0． 故选：D． 【变式3】（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）比大的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是掌握有理数的加法法则．根据题意可得：，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 比大的数是， 故答案为：． 【题型二】有理数的加法运算的应用 【例2】（24-25七年级上·江苏徐州·期中）甲地的平均海拔为，乙地平均海拔比甲地高，则乙地的平均海拔为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数加法的计算，根据有理数的加法计算得出结论即可． 【详解】解：根据题意得，乙地的平均海拔为． 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏镇江·期中）我国是最早认识负数并进行相关计算的国家，在古代数学名著《九章算术》里就记载了利用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）实施“正负术”的方法，如图1表示的是计算的运算过程．按照这种方法，图2中表示的计算过程，其结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，由图1可以看出白色表示负数，黑色表示正数，观察图2即可列式求解，掌握有理数加法的运算法则是关键． 【详解】解：根据图1可知：白色表示负数，黑色表示正数， 图2表示的计算过程为：． 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级上·江苏南通·期末）一天，王女士到某办公楼办事，假定乘电梯向上一层记为，向下一层记为，电楼上下层数依次录如下（单位层）：． (1)请问王女士最后在几层？ (2)该大楼，每层高．电梯每上（或下）零耗电千瓦时，请你计算，她乘电梯办事，电梯需要耗电多少千瓦时？ 【答案】(1)王女士最后停在1楼 (2)她办事时电梯需要耗电千瓦时 【分析】本题考查了有理数的加减法运算的应用和绝对值的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． （1）根据题意将数据相加起来即可求解； （2）将所有数据加绝对值进行相加即可求解，再结合题意进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 答：王女士最后回到了原出发点，即1楼位置． （2）解：由题意可得， （层）， （千瓦时） 答：耗电千瓦时． 【变式3】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）某检修小组从地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下：（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求收工时距地多远？在点的什么方向？ (2)在第______次纪录时距地最远； (3)若每千米耗油升，问共耗油多少升？ 【答案】(1)收工时距点的东边； (2)五； (3)共耗油升． 【分析】本题考查正负数的实际应用； （）收工时距地的距离等于所有记录数字的和； （）分别计算每次距地的距离，进行比较即可； （）所有记录数的绝对值的和升，就是共耗油数．     此题考查了有理数的加法、正数和负数的意义及绝对值的定义，解题的关键是熟练掌握有理数的加法法则及正负数的意义． 【详解】（1）， ∴收工时距点的东边； （2）由题意得，第一次距地千米； 第二次距地千米； 第三次距地千米； 第四次距地千米； 第五次距地千米； 而第六次距地千米； 第七次距地千米； 所以在第五次纪录时距地最远， 故答案为：五； （3）（升）．     答：共耗油升． 【题型三】加法运算律 【例3】小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】本题考查了加法的交换律和结合律，熟练掌握相关定义是关键．根据加法的结合律和交换律的定义解答即可．加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 【详解】解：根据小明的解题过程，应用了加法交换律和结合律． 故选：． 【举一反三】【变式1】以下是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确是（   ） ① ② A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 【答案】A 【分析】本题主要考查了加法运算律，掌握加法交换律、结合律成为解题的关键． 根据加法运算律的定义即可解答． 【详解】解：由题意可得：①加法交换律②加法结合律． 故选A． 【变式2】在括号里填上合适的运算律． ( ) ( ) ． 【答案】 加法交换律 加法结合律 【分析】此题考查有理数的加法．加法交换律：在两个数的加法运算中，在从左往右计算的顺序，两个加数相加，交换加数的位置，和不变；先把前两个数相加，或者把后两个数相加，和不变，这叫做加法结合律． 【详解】解： （加法交换律） （加法结合律） ． 故答案为：加法交换律；加法结合律． 【变式3】（22-23七年级上·江苏南京·期中）如图，步骤①的运算依据是 ． 【答案】加法交换律 【分析】利用有理数的加法交换律来分析即可． 【详解】解∶ ， 此运算交换了13与的位置，依据了加法的交换律． 故答案为∶加法交换律． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算中的加法交换律，解题的关键是掌握加法交换律． 【题型四】利用加法运算律计算 【例4】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算．熟练掌握加法运算律是解题的关键． 先用加法交换律将分母相同的分数移到一起，再用加法结合律将同分母分数相加，最后再将所得的结果相加即可． 【详解】解： ． 【举一反三】【变式1】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加法以及其运算律，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则及其运算律． 根据有理数加法结合律和加法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查有理数的加法以及其运算律，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则及其运算律． 【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了有理数的加法．熟练掌握有理数的加法运算律是解题的关键． 将分母相同的分数进行加减即可． 【详解】解： ． 【变式3】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)100 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法，绝对值的意义，灵活运用加法运算律是解答本题的关键． （1）利用加法的交换律和结合率求解即可； （2）利用加法的交换律和结合率求解即可； （3）先化简绝对值，再利用加法的交换律和结合率求解即可； 【详解】（1） （2） ； （3） ． 【题型五】有理数的减法 【例5】（24-25七年级上·江苏南京·期中）比0小3的数是（   ） A． B．3 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数减法，解题关键熟练掌握有理数减法法则，准确进行计算； 列出算式计算即可． 【详解】解：因为， 所以比0小3的数是， 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）比小3的数是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的减法．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，据此解答即可． 【详解】解：． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·江苏徐州·期中）有理数的减法法则：“减去一个数，等于加上这个数的相反数”，用字母表示这一法则，可写成 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的减法法则，同时也考查了利用字母表示数或公式．根据有理数的减法法则即可解决问题． 【详解】解：依题意得：减去一个数，等于加上这个数的相反数， 用字母表示这一法则，可写成：， 故答案为∶ ． 【变式3】（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据有理数的减法法则计算即可，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【题型六】有理数的减法的应用 【例6】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，根据机器零件的设计图纸（单位：），按设计要求生产出的该机器零件尺寸最大相差（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正负数的意义，有理数减法，解题的关键是正确理解的意义． 根据的意义分析得出然后进行减法运算即可． 【详解】解：由得： 该机器零件尺寸最大相差， 故选：． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图是某市一月份某天的天气预报，则该市这一天的温差是 ． 晴 气温 【答案】7 【分析】本题主要考查了有理数减法运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键．根据题意列出算式，进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：7． 【变式2】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图是沈阳市2024年春节前一周的天气预报，请根据图中信息回答 (1)该市周三的最高气温比最低气温高 度． (2)该市本周五天中，周几的温差最大？最大是多少？ 【答案】(1)11 (2)周一温差最大，最大是． 【分析】本题考查了有理数减法的实际应用，准确理解题意并熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）用这天的最高气温减去最低气温即可求解； （2）分别求得本周中每天最高气温与最低气温的差，比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意得（度）， 故答案为：11； （2）解：周一：； 周二：； 周三：； 周四：； 周五：； ， 答：周一温差最大，最大是． 【变式3】（21-22七年级上·江苏扬州·阶段练习）纽约、悉尼与上海的时差如下表（正数表示同一时刻比上海时间早的时数，负数表示同一时刻比上海晚的时数）： 城市 悉尼 纽约 时差/时 +2 -12 （1）当上海是10月1日上午10时，悉尼时间是 ． （2）上海、纽约与悉尼的时差分别为 （正数表示同一时刻比悉尼时间早的时数，负数表示同一时刻比悉尼晚的时数） （3）王老师2021年9月1日，从纽约Newwark机场，搭乘当地时间上午10：45的班机，前往上海浦东国际机场，飞机飞行的时间为15小时，问飞机降落上海浦东国际机场的时间． 【答案】（1）10月1日上午12时；（2）-2，-14；（3）9月2日13：45 【分析】（1）由统计表得出：悉尼时间比上海时间早2小时，也就是10月1日上午12时． （2）由统计表得出：上海比悉尼晚2个小时，所以时差为−2，纽约比悉尼晚14个小时，所以时差为−14； （3）先计算飞机到达上海浦东国际机场时纽约的时间，即：（10＋15）时（45）分，2021年9月2日1时45分，再根据时差计算结果即可． 【详解】解：（1）由题意得：当上海是10月1日上午10时，悉尼时间是10月1日上午12时， 故答案为：10月1日上午12时； （2）上海与悉尼的时差是：−2； 纽约与悉尼的时差是：−2−12＝−14； 故答案为：−2，−14； （3）由题意得：飞机到达上海浦东国际机场时纽约的时间（10＋15）时（45）分，即2021年9月2日1时45分， 又知上海比纽约早12小时，所以飞机到达上海浦东国际机场时上海时间是：9月2日13时45分； 答：飞机降落上海浦东国际机场的时间为2021年9月2日13：45． 【点睛】本题考查了正数和负数．解决本题的关键是根据图表得出正确信息，再结合题意计算． 【题型七】加减法统一成加法 【例7】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）为计算简便，把写成省略加号和括号的和的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，省略加号代数和是常见的形式，也比较简单明了． 根据有理数加减法的关系可以将加减混合运算写出省略加号代数和的形式． 【详解】解： ． 故选：A． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·江苏苏州·期中）将写成省略加号和括号的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式是解题的关键． 【详解】解：把写成省略括号的和的形式为． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）写成省略加号和的形式后为的式子是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法，主要是省略加号和的形式的练习，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．根据有理数的减法运算，减去一个数等于加上这个数的相反数对各选项进行省略整理即可得解． 【详解】解：A．，故本选项错误； B．，故本选项错误； C．，故本选项错误； D．，故本选项正确． 故选：D． 【变式3】（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）把写成省略括号的和的形式是 ． ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，将算式写成省略括号的形式必须统一成加法后，才能省略括号和加号． 先把加减法统一成加法，再省略括号和加号． 【详解】解：把写成省略加号和括号的形式是， 故答案为：． 【题型八】有理数的加减混合运算 【例8】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图，将，，，，，，，，分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在，，分别表示其中的一个数，则的值为(   ) A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据题意可知，每行、每列、每条对角线上的三个数的和相等，观察九宫格，中间一行数是，，，则和为，由此可求，，的值，把，，的值分别代入计算即可． 【详解】解：， ，，， 解得：，，， ． 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）用“”与“”表示一种法则：，， 如：，则 【答案】2024 【分析】此题考查了有理数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义化简原式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中新定义得：， 故答案为：2024 【变式2】（24-25七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是加减混合运算； （1）先把互为相反数的两数相加，再计算即可； （2）先计算括号内的运算，再进一步计算加减运算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【变式3】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）为纪念红军长征胜利88周年，特技飞行队在名胜风景旅游区特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 记作 上升 下降 上升 下降 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ (3)如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 【答案】(1) (2)升 (3)下降 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算的实际应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）求得三个数的和，根据结果的符号和绝对值即可判断位置； （2）求得三个数的绝对值的和，乘以2即可求解； （3）计算，根据计算结果即可确定上升或下降，以及上升与下降的距离． 【详解】（1）解：； 答：此时这架飞机比起飞点高了1km； （2）解： （升） 答：一共消耗了升燃油； （3）解： ∵要使飞机最终比起飞点高出1千米， ∴第四个动作是下降，下降的距离为 好题必刷 一、单选题 1．（22-23七年级上·江苏扬州·期末）在数轴上距离原点5个单位长度的点所表示的数是（   ） A．5 B． C．5或 D．10或 【答案】C 【分析】本题考查数轴与有理数，两点间的距离，根据两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：在数轴上距离原点5个单位长度的点所表示的数是； 故选C． 2．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）计算：（    ） A． B． C． D．50 【答案】C 【分析】根据每两项的和为进行简便运算即可． 【详解】解：； 故选C． 【点睛】本题考查有理数的加减运算．解题技巧是：通过观察找到每两项的和相同，利用每两项的和×项数进行简便计算． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下列算式中，运算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数、有理数的加法，首先根据在一个数的前面加一个负号表示求这个数的相反数，可得：，可得：原式，然后再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 4．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）若，且，则的值是（　　） A．10或 B．3或4 C．4或10 D．3或 【答案】C 【分析】本题考查绝对值，有理数的加法，解题的关键是确定m和n的值．根据可得，由此确定m和n的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为4或10． 故选：C． 5．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）某地连续四天的最高、最低气温如表所示，则气温日较差（当日最高气温减去当日最低气温）最大的是（   ） 日期 周一 周二 周三 周四 最高气温 最低气温 A．周一 B．周二 C．周三 D．周四 【答案】C 【分析】本题主要考查的是有理数的减法，依据题意准确列出算式是解题的关键．求出每天的温差，然后比较即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵， ∴温差最大的是周三． 故选C． 6．（24-25九年级下·江苏南通·期中）若南通某日最高气温为，最低气温为，则当日温差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的减法的应用，求该日的温差就是作减法，用最高气温减去最低气温，列式即可计算，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当日温差为， 故选：． 二、填空题 7．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）在某次跳远比赛中，若小东跳出了米，可记做米，那么小东跳出了米，记作 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，根据题意可知超过4米的部分用正数表示，那么不足4米的部分用负数表示，据此求解即可． 【详解】解：小东跳出了米，可记做米，那么小东跳出了米，记作米， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏南通·期中）海安冬季一天的温差是，这天最高气温是，最低气温是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，用最高气温减去温差即可得到答案． 【详解】解：， ∴这天的最低气温为， 故答案为；． 9．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）数轴上，如果点A对应的数是，且A、B两点的距离是4，那么点B对应的数是 ． 【答案】3或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，分点在点的左侧和右侧，两种情况，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：点B对应的数是或； 故答案为：3或 10．（24-25七年级上·江苏·期末）符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （），，，，； （），，，，． 利用以上规律计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据“”的运算法则计算即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）计算 . 【答案】1 【分析】此题主要考查了加法中的巧算问题，注意加法结合律的应用，根据加法结合律，通过观察题目可以发现，1后面每相邻的四项的和为0，从而可以解答本题． 【详解】解： ． 故答案为：1． 三、解答题 12．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减运算； （1）根据有理数的加减进行计算即可求解； （2）根据有理数的加减进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 13．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示． (1)判断：a____0， ____0， ____0；（填“＞”，“＜”或“＝”） (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减法以及绝对值的化简等知识点，解题的关键是根据数轴判断出有理数的正负以及绝对值的大小关系，进而进行有理数运算和绝对值化简． （1）根据数轴上a，b的位置判断a，b的正负及绝对值大小，再判断的正负； （2）根据（1）中得到的正负情况，结合绝对值的性质去掉绝对值符号，然后进行整式的化简． 【详解】（1）由数轴可知，且， 对于，异号两数相加，取绝对值较大的符号，，为负，所以， 对于，两个正数相加结果为正，所以， 故答案为：，，． （2）因为，所以， 由（1）知，所以， 由（1）知，所以， 以 ． 故答案为：． 14．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）连云港市在创建全国文明过程中，建设中建造了一批道路，建设完工之后，将极大的方便当地群众出行．某公路养护小组，乘车从出发点沿南北向公路巡视维护，如果约定向北为正，向南为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，，，． (1)养护小组到达最北面的地方记为点，到达最南面的地方记为点，、两地的距离多远？ (2)若汽车耗油量为每千米升，则这次养护共耗油多少升？ 【答案】(1)千米 (2)这次养护共耗油升 【分析】本题考查了有理数加减法的应用，正负数的应用．根据题意列出算式是解题的关键． （1）先求出点、表示的数，再算两者的距离； （2）求各数据的绝对值的和，乘以每千米的耗油量计算即可． 【详解】（1）解：第一次到达巡视点：， 第二次到达巡视点：， 第三次到达巡视点：， 第四次到达巡视点：， 第五次到达巡视点：， 第六次到达巡视点：， 第七次到达巡视点：， 第八次到达巡视点：， 第九次到达巡视点：， 第十次到达巡视点：． 最北面点表示的数为，最南面点表示的数为， 千米． （2）千米， （升）， 答：这次养护共耗油升． 15．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续七天记录了新车每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)已知小明家原来的汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请计算小明家换成新能源汽车后这七天的行驶费用比使用原来汽油车节省多少钱？ 【答案】(1)； (2)元． 【分析】本题主要考查正负数的实际应用及有理数的混合运算． 首先计算出表格中的和为，再用每天行驶的标准乘以天得到七天的行驶标准为，两数相加求出总路程即可． 利用中的总路程计算出用汽油的总费用和用电的总费用，两数相减即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， ， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了； （2）解： (元)， 答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 有理数的加法与减法 题型梳理 易错分析 易错点一 运用加法交换律时符号没有一起移动致错 题型方法 题型一 有理数的加法法则 题型二 有理数的加法运算的应用 题型三 加法运算律 题型四 利用加法运算律计算 题型五 有理数的减法 题型六 有理数的减法的应用 题型七 加减法统一成加法 题型八 有理数的加减混合运算 知识清单 知识点1：有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. (2)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得0 . 同号两数相加： 绝对不相等的异号两数相加： (3)一个数与0 相加，仍得这个数. 2. 有理数加法运算的各种情况如下表 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取相同的符号 取相同的符号 若a ﹥ 0，b ﹥ 0，则a＋b=＋(|a|＋|b|) 若a ﹤ 0，b ﹤ 0，则a＋b=－(|a|＋|b|) 异号两数相加 绝对值不相等 取绝对值较大的加数的符号 相减(大减小) 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=＋(|a|－|b|) 若a ﹤ 0，b ﹥ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=－(|a|－|b|) 互为相反数 0 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a|=|b|，则a＋b=0 一个数与0 相加 仍得这个数 a＋0=a 3. 有理数加法运算的步骤 特别提醒 1.若a＋b=0，则a=－b. 2.若a＋b=0，且a ≥ 0，b ≥ 0，则a=b=0. 例：若|m－1|＋|n＋2|=0，则有m－1=0，n＋2=0. 3. 两个有理数相加，和是一个有理数. 4.任何数加上一个正数，和都比原数大. 特别解读 1. 若两个数的和为正数，则这两个加数有三种可能： (1)两个都是正数； (2) 一个是正数、一个是负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值； (3)一个是正数，一个是0. 2.若两个数的和为负数，则这两个加数有三种可能： (1)两个都是负数； (2)一个是正数、一个 知识点2：有理数加法的运算律 1. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b=b＋a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 2. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 特别提醒 1.有理数的加法运算律不但适用于两个数或三个数相加，而且适用于三个以上有理数相加. 2.利用有理数的加法交换律交换加数位置时，各加数要连同其性质符号一起交换. 3.根据需要灵活利用加法运算律，可以达到简化计算的目的. 知识点3：有理数的减法 1. 有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数. 用字母表示：a－b=a＋(－b)，其中a，b 表示任意有理数. 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－ 较小的数= 正数，即若a>b，则a－b>0 . (2)较小的数－ 较大的数= 负数，即若a<b，则a－b<0 . (3)相等的两个数的差为0，即若a=b，则a－b=0 . 特别解读 减法转化为加法过程中，应注意“两变一不变”.“两变”是指运算符号“－”号变成“＋”号，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数和减数的位置不变. 知识点4：有理数的加减混合运算 1. 有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. (2)运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简便. 如：(＋7)－(＋1 0)＋(－3)－(－8) =(＋7)＋(－1 0)＋(－3)＋8 =(7 ＋8)＋[(－1 0)＋(－3)]=15 ＋(－13)=2 . 2. 省略和式中的括号和加号 将有理数的加减混合运算统一成加法运算时，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如(－20)＋(－3)＋(＋2)＋(－5)可以写成－20 －3 ＋2 －5 . 这个式子有两种读法： (1)按加法的结果来读：负2 0 、负3、正2、负5 的和； (2)按运算来读：负20 减3 加2 减5. 特别解读 1.有理数加减混合运算关键有两步： 第一步统一为加法； 第二步运用加法运算律. 2.改写算式时，运算符号中的加号可以省略，但必须保留性质符号. 易错分析 【易错点一】运用加法交换律时符号没有一起移动致错 【例1】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：； 【举一反三】【变式1】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 【变式2】（2023七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式3】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 题型方法 【题型一】有理数的加法法则 【例1】（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）如果两个有理数的和是负数那么这两个数（   ） A．一定都是负数 B．一定是0与一个负数 C．一定是一个正数与一个负数 D．可能是一个正数与一个负数，可能都是负数，也可能是0和一个负数 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·新疆伊犁·期中）如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 【变式2】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）若两个数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相加所得的和（    ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是0 D．以上都不对 【变式3】（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）比大的数是 ． 【题型二】有理数的加法运算的应用 【例2】（24-25七年级上·江苏徐州·期中）甲地的平均海拔为，乙地平均海拔比甲地高，则乙地的平均海拔为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏镇江·期中）我国是最早认识负数并进行相关计算的国家，在古代数学名著《九章算术》里就记载了利用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）实施“正负术”的方法，如图1表示的是计算的运算过程．按照这种方法，图2中表示的计算过程，其结果是 ． 【变式2】（23-24七年级上·江苏南通·期末）一天，王女士到某办公楼办事，假定乘电梯向上一层记为，向下一层记为，电楼上下层数依次录如下（单位层）：． (1)请问王女士最后在几层？ (2)该大楼，每层高．电梯每上（或下）零耗电千瓦时，请你计算，她乘电梯办事，电梯需要耗电多少千瓦时？ 【变式3】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）某检修小组从地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下：（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求收工时距地多远？在点的什么方向？ (2)在第______次纪录时距地最远； (3)若每千米耗油升，问共耗油多少升？ 【题型三】加法运算律 【例3】小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【举一反三】【变式1】以下是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确是（   ） ① ② A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 【变式2】在括号里填上合适的运算律． ( ) ( ) ． 【变式3】（22-23七年级上·江苏南京·期中）如图，步骤①的运算依据是 ． 【题型四】利用加法运算律计算 【例4】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 【举一反三】【变式1】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： 【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 【变式3】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型五】有理数的减法 【例5】（24-25七年级上·江苏南京·期中）比0小3的数是（   ） A． B．3 C．0 D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）比小3的数是（    ） A． B． C．2 D．3 【变式2】（24-25七年级上·江苏徐州·期中）有理数的减法法则：“减去一个数，等于加上这个数的相反数”，用字母表示这一法则，可写成 ． 【变式3】（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）计算： ． 【题型六】有理数的减法的应用 【例6】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，根据机器零件的设计图纸（单位：），按设计要求生产出的该机器零件尺寸最大相差（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图是某市一月份某天的天气预报，则该市这一天的温差是 ． 晴 气温 【变式2】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图是沈阳市2024年春节前一周的天气预报，请根据图中信息回答 (1)该市周三的最高气温比最低气温高 度． (2)该市本周五天中，周几的温差最大？最大是多少？ 【变式3】（21-22七年级上·江苏扬州·阶段练习）纽约、悉尼与上海的时差如下表（正数表示同一时刻比上海时间早的时数，负数表示同一时刻比上海晚的时数）： 城市 悉尼 纽约 时差/时 +2 -12 （1）当上海是10月1日上午10时，悉尼时间是 ． （2）上海、纽约与悉尼的时差分别为 （正数表示同一时刻比悉尼时间早的时数，负数表示同一时刻比悉尼晚的时数） （3）王老师2021年9月1日，从纽约Newwark机场，搭乘当地时间上午10：45的班机，前往上海浦东国际机场，飞机飞行的时间为15小时，问飞机降落上海浦东国际机场的时间． 【题型七】加减法统一成加法 【例7】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）为计算简便，把写成省略加号和括号的和的形式是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·江苏苏州·期中）将写成省略加号和括号的形式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）写成省略加号和的形式后为的式子是（      ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）把写成省略括号的和的形式是 ． ． 【题型八】有理数的加减混合运算 【例8】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图，将，，，，，，，，分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在，，分别表示其中的一个数，则的值为(   ) A．1 B． C．0 D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）用“”与“”表示一种法则：，， 如：，则 【变式2】（24-25七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2) 【变式3】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）为纪念红军长征胜利88周年，特技飞行队在名胜风景旅游区特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 记作 上升 下降 上升 下降 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ (3)如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 好题必刷 一、单选题 1．（22-23七年级上·江苏扬州·期末）在数轴上距离原点5个单位长度的点所表示的数是（   ） A．5 B． C．5或 D．10或 2．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）计算：（    ） A． B． C． D．50 3．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下列算式中，运算结果是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）若，且，则的值是（　　） A．10或 B．3或4 C．4或10 D．3或 5．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）某地连续四天的最高、最低气温如表所示，则气温日较差（当日最高气温减去当日最低气温）最大的是（   ） 日期 周一 周二 周三 周四 最高气温 最低气温 A．周一 B．周二 C．周三 D．周四 6．（24-25九年级下·江苏南通·期中）若南通某日最高气温为，最低气温为，则当日温差为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）在某次跳远比赛中，若小东跳出了米，可记做米，那么小东跳出了米，记作 米． 8．（24-25九年级上·江苏南通·期中）海安冬季一天的温差是，这天最高气温是，最低气温是 ． 9．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）数轴上，如果点A对应的数是，且A、B两点的距离是4，那么点B对应的数是 ． 10．（24-25七年级上·江苏·期末）符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （），，，，； （），，，，． 利用以上规律计算： ． 11．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）计算 . 三、解答题 12．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 13．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示． (1)判断：a____0， ____0， ____0；（填“＞”，“＜”或“＝”） (2)化简：． 14．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）连云港市在创建全国文明过程中，建设中建造了一批道路，建设完工之后，将极大的方便当地群众出行．某公路养护小组，乘车从出发点沿南北向公路巡视维护，如果约定向北为正，向南为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，，，． (1)养护小组到达最北面的地方记为点，到达最南面的地方记为点，、两地的距离多远？ (2)若汽车耗油量为每千米升，则这次养护共耗油多少升？ 15．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续七天记录了新车每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)已知小明家原来的汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请计算小明家换成新能源汽车后这七天的行驶费用比使用原来汽油车节省多少钱？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$