第03讲 认识有理数（知识清单+3易错+9必考题型）-2025-2026学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（北师大版2024）

第03讲 认识有理数 题型梳理 易错分析 易错点一 对0的认识不清楚致错 易错点二 对绝对值的性质理解不清致错 易错点三 考虑问题不全面致错 题型方法 题型一 具有相反意义的量的表示方法及应用 题型二 正数、负数的概念 题型三 有理数的概念及分类 题型四 相反数的概念及性质 题型五 绝对值的定义及性质 题型六 利用绝对值比较有理数的大小 题型七 数轴的概念与画法 题型八 用数轴上的点表示有理数 题型九 利用数轴比较有理数的大小 知识清单 知识点1：具有相反意义的量 1.定义：在生活中存在各种各样的量，其中有一类量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫做具有相反意义的量 . 2. 用正数、负数表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示 . 知识点2：正数、负数的定义 1.正数：像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 2.负数:像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 注意： 0 既不是正数，也不是负数 . 知识点3：有理数 整数和分数统称为有理数，有理数都可以写成分数的形式。 特别提醒 1. 非负整数是在整数范围内取非负数，包括正整数和 0. 2. 引入负数后，奇数和偶数的范围也相应地扩大了.奇数和偶数也可以是负数 . 3. 自然数包括 0 和正整数 . 知识点4：有理数的分类 1.有理数的分类： 2. 有理数分类的三原则 (1) 分类不重复： 所分的各类应当互不包含 . (2) 分类无遗漏： 所分各类之“和”必须是原来的全部 . (3) 标准要统一： 必须按同一分类标准进行分类 . 知识点5：相反数 1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 知识点6：绝对值的意义 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 知识点7：绝对值的性质 1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 2.求法 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 知识点8：比较有理数的大小 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 知识点9：数轴（重点） 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点归纳：原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. 知识点10：数轴上的点与有理数的关系（重点） 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如. 知识点11：数轴法比较有理数的大小 在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 易错分析 【易错点一】对0的认识不清楚致错 【例1】（24-25七年级上·福建南平·阶段练习）下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河北邢台·期中）下列关于0的说法中，正确的是（   ） A．0是最小的整数 B．0是最小的正数 C．0是最小的有理数 D．0是绝对值最小的有理数 【变式2】（24-25七年级上·江西上饶·期末）下列语句正确的是（     ） A．“”表示向东走 B．表示没有温度 C．可以表示正数 D．0既是正数也是负数 【变式3】（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）在下列说法中：如果，则有；既不是正数，也不是负数；一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；表示没有温度．正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【易错点二】对绝对值的性质理解不清致错 【例2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25七年级上·四川德阳·阶段练习）下列说法：①若，则x为负数；②若不是负数，则a为非正数；③；④若，，则．其中正确的结论有 ．（填序号） 【变式3】（22-23七年级下·安徽亳州·期末）已知，是有理数，且满足，求与的值． 【易错点三】考虑问题不全面致错 【例3】（24-25七年级上·山东济宁·期中）将数轴上表示数2的点，沿数轴移动3个单位，得到的点表示的数为（   ） A． B．5 C．或5 D．或1 【举一反三】【变式1】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【变式2】（24-25七年级上·新疆昌吉·期中）数轴上的点A到原点的距离是10，则点A表示的数为 ． 【变式3】（24-25七年级上·河南开封·期中）如图，点A表示的数是．（数轴上1小格表示1个单位长度） (1)在数轴上标出表示数0的点； (2)点B表示的数为_______________ (3)点C在数轴上，与点B的距离为1.5个单位长度，那么点C表示什么数？ 题型方法 【题型一】具有相反意义的量的表示方法及应用 【例1】（24-25七年级上·湖北随州·期末）我国是历史上最早认识和使用负数的国家．如果收入元记作元，则支出元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）如图所示，如果把张明前面第二个同学李利记作，那么表示张明周围的（    ）同学． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2】（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）中国最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作 ． 【变式3】（24-25七年级上·吉林·阶段练习）某蓄水池的标准水位记作，如果高于标准水位记作，那么低于标准水位记作 ． 【题型二】正数、负数的概念 【例2】（24-25七年级上·广西桂林·期中）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期．下列各数中，是负数的是（    ） A．3 B．0 C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河南新乡·期中）在有理数，8，2.5，，0，中，负数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）在这几个数中，正数有( )，负数有( )． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）如果向东走8千米记作千米，向西走5千米记作千米，那么下列各数分别表示什么？ (1)千米； (2)千米； (3)0千米． 【题型三】有理数的概念及分类 【例3】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）在数2，0，，，4.8中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·广东广州·期中）下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】（24-25七年级上·山东聊城·期中）在，5，，，，中，有理数有 个 【变式3】（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）将下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，， 整数集合：                   ； 负有理数集合：                ； 正分数集合：                  ； 非负整数集合：                ． 【题型四】相反数的概念及性质 【例4】（24-25七年级上·河南南阳·期末）的相反数是（   ） A． B． C．2024 D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）下列说法正确的是（   ） A．是相反数 B．是相反数 C．正数与负数互为相反数 D．的相反数是5 【变式2】（23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习）和互为相反数，那么 ． 【变式3】（21-22七年级上·湖南娄底·期中）已知a、b互为相反数，那么 ． 【题型五】绝对值的定义及性质 【例5】（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如果，那么是（    ） A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）的值是（   ） A．2 B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·四川德阳·期末）当的值最小时， ． 【变式3】（20-21七年级上·湖南永州·阶段练习）已知，求x，y的值分别是多少？ 【题型六】利用绝对值比较有理数的大小 【例6】（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）下列各组数中，大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·吉林长春·期中）在有理数2，，0，中，最小的数是（   ） A．2 B． C．0 D． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）用“”“”填空： ． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）比较大小：和． 【题型七】数轴的概念与画法 【例7】（2024七年级上·全国·专题练习）数轴是（    ） A．规定了原点和正方向的一条直线 B．规定了单位长度的一条直线 C．规定了原点、正方向和长度单位的一条直线 D．规定了原点、正方向和单位长度的一条直线 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）在数轴上，原点和原点右边的点表示的数是（    ） A．零 B．正数 C．非负数 D．非正数 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）下列各图中，数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）数轴是规定了 ， 和 的一条 ． 【题型八】用数轴上的点表示有理数 【例8】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，在数轴上每隔一个单位长度取一个点，若点A表示的数是，则点B表示的数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，数轴的单位长度为1，点、、表示的数都是整数，若点和点表示的两个数的绝对值相等，则点表示的数是（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（24-25七年级上·河北邯郸·期中）嘉淇在写作业的时候，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据如图所示的数据，则墨迹遮盖的整数中满足绝对值大于并且小于等于的整数有 个． 【变式3】（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）画一条数轴，在数轴上表示出下面的有理数． ，，0，， ， 【题型九】利用数轴比较有理数的大小 【例9】（24-25七年级上·福建厦门·期末）数m，n在数轴上如图示，则下列最可能表示数的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·山东滨州·期末）a，b是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列为 ． 【变式3】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）在数轴上表示下列各数，再用“”连接起来． ，，，， 好题必刷 一、单选题 1．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）在，，0，1.2，2，中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·湖南长沙·期末），则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 3．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）如果表示向右走，那么（   ）表示向左走． A．30 B． C． D． 4．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在，12，，0，，中，负数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24七年级上·四川乐山·期末）下列说法，不正确的是（    ） A．绝对值最小的有理数是0． B．离原点越远的点，表示的数的绝对值越大． C．数轴上的数，右边的数总比左边的数大 D．在数轴上右边的数的绝对值比左边的数的绝对值大． 二、填空题 6．（24-25七年级上·四川南充·期中）比较大小： （填“”，“”，“=”）． 7．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有 个． 8．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）已知数轴上两点对应的数分别为，若在数轴上找一点，使得点的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D的距离为1，则的距离为 ． 三、解答题 9．（24-25七年级上·广东·期中） 把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①，②，③ 10，④，⑤ 0，⑥，⑦ π，⑧，⑨． (1)正有理数集合：｛                               …｝ (2)负分数集合：｛                                 …｝ (3)非负整数集合：｛                               …｝ 10．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）已知下列各有理数：，，，． (1)请在数轴上标出这些数表示的点； (2)用“”号把这些数连接起来． 11．（24-25七年级上·陕西商洛·期中）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个实心球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如表： 做实心球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 (1)请你指出哪些同学做的实心球是合乎要求的？ (2)哪个同学做的质量最接近标准质量？ 12．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）一种实验器材的标准质量是15g，质检员抽查了7件样品的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果记录如下表． 序号 1 2 3 4 5 6 7 与标准质量的差/g (1)哪件实验器材的质量最接近标准质量？ (2)如果规定误差的绝对值在0.8g（含0.8g）之内是合格品；误差的绝对值在（含1.0g）之间的是次品；误差的绝对值超过1.0g的视为废品，那么在上述7件样品中，哪些是合格品？哪些是次品？哪些是废品？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 认识有理数 题型梳理 易错分析 易错点一 对0的认识不清楚致错 易错点二 对绝对值的性质理解不清致错 易错点三 考虑问题不全面致错 题型方法 题型一 具有相反意义的量的表示方法及应用 题型二 正数、负数的概念 题型三 有理数的概念及分类 题型四 相反数的概念及性质 题型五 绝对值的定义及性质 题型六 利用绝对值比较有理数的大小 题型七 数轴的概念与画法 题型八 用数轴上的点表示有理数 题型九 利用数轴比较有理数的大小 知识清单 知识点1：具有相反意义的量 1.定义：在生活中存在各种各样的量，其中有一类量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫做具有相反意义的量 . 2. 用正数、负数表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示 . 知识点2：正数、负数的定义 1.正数：像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 2.负数:像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 注意： 0 既不是正数，也不是负数 . 知识点3：有理数 整数和分数统称为有理数，有理数都可以写成分数的形式。 特别提醒 1. 非负整数是在整数范围内取非负数，包括正整数和 0. 2. 引入负数后，奇数和偶数的范围也相应地扩大了.奇数和偶数也可以是负数 . 3. 自然数包括 0 和正整数 . 知识点4：有理数的分类 1.有理数的分类： 2. 有理数分类的三原则 (1) 分类不重复： 所分的各类应当互不包含 . (2) 分类无遗漏： 所分各类之“和”必须是原来的全部 . (3) 标准要统一： 必须按同一分类标准进行分类 . 知识点5：相反数 1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 知识点6：绝对值的意义 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 知识点7：绝对值的性质 1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 2.求法 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 知识点8：比较有理数的大小 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 知识点9：数轴（重点） 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点归纳：原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. 知识点10：数轴上的点与有理数的关系（重点） 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如. 知识点11：数轴法比较有理数的大小 在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 易错分析 【易错点一】对0的认识不清楚致错 【例1】（24-25七年级上·福建南平·阶段练习）下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【答案】A 【分析】本题考查了的意义，有理数的分类，根据的意义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：0既不是正数也不是负数，是整数 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河北邢台·期中）下列关于0的说法中，正确的是（   ） A．0是最小的整数 B．0是最小的正数 C．0是最小的有理数 D．0是绝对值最小的有理数 【答案】D 【分析】本题考查0的意义，绝对值的意义，有理数的分类，掌握0的意义是解题关键．根据，0的意义，绝对值的意义，有理数的分类逐项判断即可． 【详解】解：没有最小的整数，故A选项错误，不符合题意； 1是最小的正数，故B选项错误，不符合题意； 没有最小的有理数，故C选项错误，不符合题意； 0是绝对值最小的有理数，故D选项正确，符合题意． 故选D． 【变式2】（24-25七年级上·江西上饶·期末）下列语句正确的是（     ） A．“”表示向东走 B．表示没有温度 C．可以表示正数 D．0既是正数也是负数 【答案】C 【分析】本题主要考查了0的意义，正负数的定义，相反意义的量，相反数的定义，根据知识点逐一可判断即可． 【详解】解：A、“”表示向规定的正方向走，原说法错误，不符合题意； B、表示有温度，原说法错误，不符合题意； C、若是正数，则是负数，若是负数，则是正数，若是0，则是0，原说法正确，符合题意； D、0既不是正数也不是负数，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3】（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）在下列说法中：如果，则有；既不是正数，也不是负数；一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；表示没有温度．正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的定义，的意义，解题的关键是熟练掌握有关概念和性质． 根据绝对值的定义，的意义逐一判断即可． 【详解】解：如果，则有，故原说法错误； 既不是正数，也不是负数，故原说法正确； 一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数或，故原说法错误； 有温度，温度为度，温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上），故原说法错误； 综上可得：正确，共个， 故选：． 【易错点二】对绝对值的性质理解不清致错 【例2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值性质．根据题意分三种情况，当时，当时，当时，结合绝对值性质讨论求解，即可解题． 【详解】解：当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 所以当，则a的值是任意一个非正数； 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的非负性，熟练掌握该知识点是解题关键，直接利用绝对值的非负性，分别分析即可得出答案． 【详解】解：①若，则，故①错误； ②， 总是正数，故②正确； ③， ，则的最小值为9，故③正确； ④， ，则的最小值是1，故④错误； 错误的是①④，共2个 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·四川德阳·阶段练习）下列说法：①若，则x为负数；②若不是负数，则a为非正数；③；④若，，则．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查绝对值的性质；理解绝对值的性质是解题的关键． 依据题意，根据绝对值的性质逐个分析判断可以得解． 【详解】解：若， ∴， ∴， ∴①的说法错误； 若不是负数， ∴． ∴，即a为非正数； ∴②的说法正确； ∵，， ∴， ∴③的说法正确； 若，， ∴． ∴． ∴④的说法正确． 综上所述：正确的结论有②③④． 【变式3】（22-23七年级下·安徽亳州·期末）已知，是有理数，且满足，求与的值． 【答案】， 【分析】本题考查了绝对值非负的性质．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值． 【详解】解：， ，， ，， 故答案为：，． 【易错点三】考虑问题不全面致错 【例3】（24-25七年级上·山东济宁·期中）将数轴上表示数2的点，沿数轴移动3个单位，得到的点表示的数为（   ） A． B．5 C．或5 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的表示数，解题的关键是熟练掌握数轴上的点表示数的意义和方法．由于是在2的基础上移动，但是没有说向左还是右，所以分情况讨论即可． 【详解】解：把数轴上表示数2的点移动3个单位后，表示的数为5或． 故选C． 【举一反三】【变式1】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分两种情况或，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点表示的数是， ∴到点距离4个单位的点表示的数是：或， ∴到点距离4个单位的点表示的数是或， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·新疆昌吉·期中）数轴上的点A到原点的距离是10，则点A表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． 数轴上与原点距离是10的点有2个，左边的为，右边的为． 【详解】解：当点A在原点的左边时，则点A表示的数为， 当点A在原点的右边时，则点A表示的数为． 故答案为：或． 【变式3】（24-25七年级上·河南开封·期中）如图，点A表示的数是．（数轴上1小格表示1个单位长度） (1)在数轴上标出表示数0的点； (2)点B表示的数为_______________ (3)点C在数轴上，与点B的距离为1.5个单位长度，那么点C表示什么数？ 【答案】(1)详见解析 (2)2 (3)0.5或3.5 【分析】本题主要考查了数轴表示数，两点间的距离，绝对值等知识点， （1）根据数轴上的点位置和绝对值，确定原点的位置； （2）原点确定后，即可确定点B所表示的数； （3）分两种情况分别求出点C所表示的数，一种是点C在点B的左侧，另一种是点C在点B的右侧，根据距离即可求出所表示的数； 确定点在数轴上的位置，要先确定符号，再确定绝对值是解题的关键． 【详解】（1）∵点A表示的数是， ∴原点在点A的右侧距离点为5个单位长度，如图， （2）如图，点B在原点的右侧距离原点2个单位，因此点B所表示的数为2， 故答案为：2； （3）如图， ①当点C在点B的左侧时，， ②当点C在点B的右侧时，， ∴点C表示的数为或． 题型方法 【题型一】具有相反意义的量的表示方法及应用 【例1】（24-25七年级上·湖北随州·期末）我国是历史上最早认识和使用负数的国家．如果收入元记作元，则支出元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】此题考查了相反意义的量和正负数的意义，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据相反意义的量和正负数的意义进行解答即可． 【详解】解：如果收入元记作元，则支出元记作元； 故选：C； 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）如图所示，如果把张明前面第二个同学李利记作，那么表示张明周围的（    ）同学． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．根据在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示来判断． 【详解】解：张明前面的第2个同学李利记作， 表示张明后面的第一个同学丙， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）中国最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作 ． 【答案】 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，零上为正，则零下为负，进行作答即可． 【详解】解：零上记作，则零下可记作． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·吉林·阶段练习）某蓄水池的标准水位记作，如果高于标准水位记作，那么低于标准水位记作 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相反意义的量，熟练掌握正负数的意义是解题的关键；因此此题可根据正负数的意义进行求解即可． 【详解】解：由题意得低于标准水位记作； 故答案为． 【题型二】正数、负数的概念 【例2】（24-25七年级上·广西桂林·期中）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期．下列各数中，是负数的是（    ） A．3 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查负数的定义，熟练掌握负数的定义是解题的关键．根据负数的定义即可得到答案． 【详解】解：负数即带有负号的数，故是负数的是， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河南新乡·期中）在有理数，8，2.5，，0，中，负数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了正数和负数，根据小于0的数是负数即可求解． 【详解】解：在，8，，，0，，这8个有理数中，负数有，，，一共3个． 故选：C． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）在这几个数中，正数有( )，负数有( )． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数的判断．根据正数大于0，负数小于0判断即可． 【详解】解：这几个数中， 正数有， 负数有， 故答案为：；． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）如果向东走8千米记作千米，向西走5千米记作千米，那么下列各数分别表示什么？ (1)千米； (2)千米； (3)0千米． 【答案】(1)千米表示向东走4千米 (2)千米表示向西走3.5千米 (3)0千米表示原地未动 【分析】本题考查正数和负数，解答本题的关键是明确正负数在题目中表示的实际含义． （1）根据题意，可以写出千米表示的含义； （2）根据题意，可以写出千米表示的含义； （3）根据题意，可以写出0千米表示的含义． 【详解】（1）解：由题意可得，千米表示向东走4千米； （2）解：由题意可得，千米表示向西走3.5千米； （3）解：由题意可得，0千米表示原地未动． 【题型三】有理数的概念及分类 【例3】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）在数2，0，，，4.8中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的定义．根据有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：在数2，0，，，4.8中，有理数有2，0，，4.8，共4个． 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·广东广州·期中）下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的两种分类方法判断即可． 【详解】解：① 是负分数，故①正确； ②是分数，不是整数，故②正确； ③非负有理数是大于或等于零的有理数，故③错误； ④是有理数，故④错误； ⑤没有最小的有理数，故⑤错误； ⑥有理数包括整数和分数，故⑥错误； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·山东聊城·期中）在，5，，，，中，有理数有 个 【答案】4/四 【分析】本题考查有理数，包括有限小数与无限循环小数，熟知有理数的分类是解答的关键． 根据有理数是整数和分数的统称求解即可． 【详解】解：在中，有理数是，，共4个， 故答案为：4． 【变式3】（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）将下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，， 整数集合：                   ； 负有理数集合：                ； 正分数集合：                  ； 非负整数集合：                ． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查有理数的分类，掌握有理数的分类方法是关键． 整数包括正整数、0、负整数；负有理数包括：负分数，负整数；正分数就是大于0的分数；非负整数包括正整数和0，由此即可求解． 【详解】解：，，，，，，，，，， 整数集合：，，，； 负有理数集合：，， ； 正分数集合： ， ； 非负整数集合：，， ． 【题型四】相反数的概念及性质 【例4】（24-25七年级上·河南南阳·期末）的相反数是（   ） A． B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可． 【详解】解：的相反数是2024， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）下列说法正确的是（   ） A．是相反数 B．是相反数 C．正数与负数互为相反数 D．的相反数是5 【答案】D 【分析】本题主要考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：A、是5的相反数，原说法错误，不符合题意； B、是的相反数，原说法错误，不符合题意； C、正数与负数不一定互为相反数，原说法错误，不符合题意； D、的相反数是5，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习）和互为相反数，那么 ． 【答案】1 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 【变式3】（21-22七年级上·湖南娄底·期中）已知a、b互为相反数，那么 ． 【答案】 【分析】直接利用互为相反数的和为0计算得出答案． 【详解】解：、互为相反数， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了相反数，正确掌握相关性质是解题关键． 【题型五】绝对值的定义及性质 【例5】（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如果，那么是（    ） A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数 【答案】B 【分析】此题考查绝对值，解题关键在于掌握若，则；若，则；若，则．直接根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：， 是非负数， 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值的化简，根据绝对值的性质求解即可． 【详解】解：的值是． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·四川德阳·期末）当的值最小时， ． 【答案】 【分析】此题主要考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性可知即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 此时时，的值最小，则； 故答案为：． 【变式3】（20-21七年级上·湖南永州·阶段练习）已知，求x，y的值分别是多少？ 【答案】 【分析】根据绝对值的非负数的性质即可求出x、y的值． 【详解】解：∵，而， ∴ ， 解得． 【点睛】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个非负数也必为零． 【题型六】利用绝对值比较有理数的大小 【例6】（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）下列各组数中，大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负数的大小比较方法，根据负数比较大小时绝对值大的数反而小的方法即可求解，解题的关键是正确理解负数相比较，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·吉林长春·期中）在有理数2，，0，中，最小的数是（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小，据此比较出四个数的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个数中最小的数为， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）用“”“”填空： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键．两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可解答． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）比较大小：和． 【答案】 【分析】本题主要考查负数的大小比较．熟练掌握两个负数比较大小的法则，是解题的关键．先求出两个负数的绝对值，根据绝对值大的反而小，比较即可． 【详解】解：∵，，且， ∴． 【题型七】数轴的概念与画法 【例7】（2024七年级上·全国·专题练习）数轴是（    ） A．规定了原点和正方向的一条直线 B．规定了单位长度的一条直线 C．规定了原点、正方向和长度单位的一条直线 D．规定了原点、正方向和单位长度的一条直线 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴的定义，掌握数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线成为解题的关键．根据数轴的定义进行判断即可． 【详解】解：∵数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线， ∴D选项符合题意． 故选：D． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）在数轴上，原点和原点右边的点表示的数是（    ） A．零 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，根据数轴上表示数的特点即可求解，熟练掌握数轴上表示数的特点是解题的关键． 【详解】解：原点和原点右边的点表示的数是非负数， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）下列各图中，数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素，原点，单位长度，正方向即可得到答案． 【详解】 解：是一条射线，不是数轴，故选项A不符合题意； 单位长度不一致，不是数轴，故选项B不符合题意； 没有正方向且位置错误，不是数轴，故选项C不符合题意； 是数轴，故选项D符合题意； 故选D． 【变式3】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）数轴是规定了 ， 和 的一条 ． 【答案】 原点 单位长度 正方向 直线 【分析】本题主要考查数轴，牢记数轴的定义（规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴）是解题的关键． 根据数轴的定义即可求得答案． 【详解】解：根据数轴的定义可知，数轴规定了原点、单位长度和正方向的一条直线． 故答案为：原点，单位长度 ，正方向，直线． 【题型八】用数轴上的点表示有理数 【例8】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，在数轴上每隔一个单位长度取一个点，若点A表示的数是，则点B表示的数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点所表示的数，解题的关键是根据数轴上点的位置关系和单位长度来确定点所表示的数值． 确定点到点的单位长度个数，根据点表示的数以及单位长度个数计算点表示的数． 【详解】从数轴上观察可知，点到点间隔了4个单位长度，已知点表示的数是，因为是向右移动（数轴向右为正方向），所以点表示的数比点表示的数大．根据数轴上数的变化规律＂右加左减＂，可得点表示的数为． 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，数轴的单位长度为1，点、、表示的数都是整数，若点和点表示的两个数的绝对值相等，则点表示的数是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、绝对值，根据数轴找到原点的位置是解题的关键．根据题意可知点和点的中点为原点，再结合数轴得到点和点的距离为8，得到点和点分别表示的数，即可求出点表示的数． 【详解】解：点和点表示的两个数的绝对值相等， 点和点的中点为原点，原点表示的数为0， 由数轴可知，点和点的距离为8， 点表示的数是，点表示的数是4， 由数轴可知，点在点右边，且与点距离1个单位长度， 点表示的数是． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·河北邯郸·期中）嘉淇在写作业的时候，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据如图所示的数据，则墨迹遮盖的整数中满足绝对值大于并且小于等于的整数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与绝对值的意义，根据题意先求得出和之间的整数，再求绝对值大于并且小于等于的整数即可求解． 【详解】解：根据图中数据，可得墨迹盖住的整数是：，，，，． 其中满足绝对值大于并且小于等于的整数有，，共2个， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）画一条数轴，在数轴上表示出下面的有理数． ，，0，， ， 【答案】见解析 【分析】本题考查用数轴表示有理数，根据数轴的三要素画出数轴，然后在数轴上表示出各数即可． 【详解】解：； 在数轴上表示各数，如图： 【题型九】利用数轴比较有理数的大小 【例9】（24-25七年级上·福建厦门·期末）数m，n在数轴上如图示，则下列最可能表示数的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴上点表示的数，绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键；先根据数轴，且，即可得出答案． 【详解】解：观察数轴可知，，且， ∴， ∴可能表示数的点是C． 故选∶C． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数，熟练掌握利用数轴比较有理数的大小的方法是解题的关键． 比较有理数的大小的法则：数轴上右边点表示的数大于左边点表示的数．观察数轴得出，即可逐一判断． 【详解】解：由数轴可知，， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·山东滨州·期末）a，b是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小，由数轴可得，，，即可求解． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）在数轴上表示下列各数，再用“”连接起来． ，，，， 【答案】作图见解析， 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，有理数的大小比较，首先将各个数化简，然后在数轴上确定各数的位置，再根据“在数轴上表示的数，左边的总比右边的小”，最后用“＜”号把它们连接起来．解题的关键是正确确定各数位置． 【详解】解：∵，， 则在数轴上表示各数如图所示： 用“”连接起来如下： ． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）在，，0，1.2，2，中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查有理数，理解有理数、非负整数的定义是正确解答的关键． 根据有理数，非负整数的定义进行判断即可． 【详解】解：在，，0，1.2，2，中，非负整数有0，2，共2个， 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖南长沙·期末），则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，先根据，得，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）如果表示向右走，那么（   ）表示向左走． A．30 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相反意义的量，熟练掌握正负数的意义是解题的关键；因此此题可根据正负数的意义进行求解． 【详解】解：如果表示向右走，那么表示向左走； 故选D． 4．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在，12，，0，，中，负数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的定义，小于0的数为负数，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意， ∴负数的个数3个， 故选：C． 5．（23-24七年级上·四川乐山·期末）下列说法，不正确的是（    ） A．绝对值最小的有理数是0． B．离原点越远的点，表示的数的绝对值越大． C．数轴上的数，右边的数总比左边的数大 D．在数轴上右边的数的绝对值比左边的数的绝对值大． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，绝对值等知识点，能准确理解数轴以及绝对值的意义是解本题的关键． 【详解】解：A. 绝对值最小的有理数是0，故该选项正确，不符合题意； B. 离原点越远的点，表示的数的绝对值越大，故该选项正确，不符合题意； C. 数轴上的数，右边的数总比左边的数大，故该选项正确，不符合题意； D. 在数轴上右边的数比左边的数大，故该选项不正确，符合题意． 故选：D． 二、填空题 6．（24-25七年级上·四川南充·期中）比较大小： （填“”，“”，“=”）． 【答案】 【分析】先计算绝对值，比较绝对值的大小，后解答即可． 本题考查了负数的大小比较，熟练掌握比较原则是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴的特点，理解并掌握数轴上点与数的一一对应关系是解题的关键． 根据数轴的特点，数形结合分析即可求解． 【详解】解：根据数轴的特点，墨迹盖住的整数有，，共2个， 故答案为：2 ． 8．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）已知数轴上两点对应的数分别为，若在数轴上找一点，使得点的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D的距离为1，则的距离为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，根据题意可分别确定点C与点D表示的数，进而可确定这两个点间的距离，即可解答． 【详解】解：数轴上对应的数为，点的距离为4， 对应的数为或， 数轴上对应的数为，点B,D的距离为1， 对应的数为或， 的距离为或或或， 故答案为：或或或． 三、解答题 9．（24-25七年级上·广东·期中） 把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①，②，③ 10，④，⑤ 0，⑥，⑦ π，⑧，⑨． (1)正有理数集合：｛                               …｝ (2)负分数集合：｛                                 …｝ (3)非负整数集合：｛                               …｝ 【答案】(1)①，③，④，⑨ (2)②，⑥，⑧ (3)③，⑤，⑨ 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握相关定义是解此题的关键． （1）根据正有理数的定义即可得解； （2）根据负分数的定义即可得解； （3）根据非负整数的定义即可得解． 【详解】（1）解：， 正有理数集合{①，③，④，⑨…} （2）解：负分数集合{②，⑥，⑧…} （3）解：非负整数集合{③，⑤，⑨…}． 10．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）已知下列各有理数：，，，． (1)请在数轴上标出这些数表示的点； (2)用“”号把这些数连接起来． 【答案】(1)在数轴上标出见解析； (2)． 【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴的应用，解题的关键是求出各个数的大小和在数轴上把各个数表示出来，注意：在数轴上右边的数总比左边的数大． （）先化简，再在数轴上确定表示各数的点的位置，然后在数轴上表示即可； （）右边的数总比左边的数大用“”连接起来即可． 【详解】（1）解：，， 在数轴上标出这些数如图， （2）解：由右边的数总比左边的数大， ∴． 11．（24-25七年级上·陕西商洛·期中）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个实心球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如表： 做实心球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 (1)请你指出哪些同学做的实心球是合乎要求的？ (2)哪个同学做的质量最接近标准质量？ 【答案】(1)张兵和蔡伟同学做的实心球是合乎要求的 (2)蔡伟同学做的质量最接近标准质量 【分析】本题主要考查了绝对值的意义、正负数的意义等知识点，正确掌握正负数的实际意义是解题的关键． （1）比较各个数据的绝对值，绝对值小于0.02是实心球是合乎要求，据此即可解答； （2）比较各个数据的绝对值，绝对值最小的实心球的质量最接近标准质量，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵，． ∴张兵和蔡伟同学做的实心球是合乎要求的． （2）解：，， ∵， ∴蔡伟同学做的质量最接近标准质量． 12．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）一种实验器材的标准质量是15g，质检员抽查了7件样品的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果记录如下表． 序号 1 2 3 4 5 6 7 与标准质量的差/g (1)哪件实验器材的质量最接近标准质量？ (2)如果规定误差的绝对值在0.8g（含0.8g）之内是合格品；误差的绝对值在（含1.0g）之间的是次品；误差的绝对值超过1.0g的视为废品，那么在上述7件样品中，哪些是合格品？哪些是次品？哪些是废品？ 【答案】(1)6号实验器材的质量最接近标准质量； (2)2号，4号，6号，7号是合格品；3号是次品；1号，5号是废品． 【分析】本题考查比较有理数大小的实际应用，求一个数的绝对值： （1）找到与标准质量的差的绝对值最小的序号即可； （2）根据规定，进行判断即可． 【详解】（1）解：， ∴6号实验器材的质量最接近标准质量； （2）∵ ∴2号，4号，6号，7号是合格品； ∵， ∴3号是次品； ∵，， ∴1号，5号是废品． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$