精品解析：安徽省安庆市怀宁县怀宁石牌片区学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-----2025学年度第二学期8年级数学期中测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：可知：， 所以， 解得， 故选：B． 2. 若实数a，b在数轴上的对应点如图，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，整式的加减，化简绝对值；根据数轴可得，则进而根据二次根式以及绝对值的性质化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：D． 3. 下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的意义，二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案. 【详解】解：A：原式＝，∴不符合题意； B：原式＝，∴不符合题意； C：原式＝，∴符合题意； D：原式＝，∴不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的意义，二次根式的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断． 4. 已知是实数，且满足则值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求整式的值，解一元二次方程；设，由配方得，解一元二次方程，即可求解；能熟练解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设，则有 ， ， 解得：，（舍去）， ， 故选：A． 5. 方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义即可得． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 且， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程． 6. 解下列方程：① ② ③ ④．较简便的方法依次是（ ） A 直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法 B. 因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法 C. 直接开平方法，公式法，公式法，因式分解法 D 直接开平方法，公式法，因式分解法，因式分解法 【答案】D 【解析】 【分析】根据各方程的特点逐一判别即可． 【详解】解：①适合直接开平方法； ②适合公式法； ③适合因式分解法； ④适合因式分解法； 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 7. 若关于x的一元二次方程无实数根，则实数c的值可能为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求出实数c的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， ∴， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选：C． 8. 已知关于的一元二次方程的两根分别为、，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根与系数的关系得，，再利用通分得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得：，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 9. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：B． 10. 公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解的方法：先构造边长为x正方形，再分别以，为边坐另一边长为5的长方形，最后得到四边形是面积为64的正方形，如图所示，花拉子米寻找的是下列哪个一元二次方程　　的解 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知正方形ABCD面积为，长方形BCEI，DCGH的面积均为5x，正方形面积为25，列出方程即可解答. 【详解】正方形面积为，长方形BCEI，的面积均为，正方形面积为25，四者面积之和为与四边形AIFH面积相等， 所以，整理得 故选C． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于理解题意列出方程. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若，则__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性．根据非负数的性质进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：5． 12. 已知 ，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则m的值为 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系．熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解决问题的关键． 先由，是关于x的一元二次方程的两个实数根得出，； 接下来只需将代入即可求解． 【详解】∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：4． 13. 小莹计划购买一台圆形自动扫地机，有以下6种不同的尺寸可供选择，直径（单位：cm）分别是：34，，37，，40，42．如图是小莹家衣帽间的平面示意图，扫地机放置在该房间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面，小莹可选择的扫地机尺寸最多有______种． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．先建立直角三角形，利用勾股定理解决实际问题． 【详解】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C， 则，， 在中，，即 ∵扫地机能从角落自由进出， ∴扫地机的直径不小于长，即最小时为， 小莹可选择的扫地机尺寸最多有：34，，共2种， 故答案为：2． 14. 勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦．”即（为勾，为股，为弦），若“勾”为2，“股”为3，则“弦”最接近的整数是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据无理数的估算求解即可． 【详解】解：∵“勾”为2，“股”为3， ∴“弦”， ∵， ∴， ∴“弦”最接近的整数是4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查无理数的估算、勾股定理，熟练掌握无理数的估算方法，得到是解答的过程． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 计算： 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂运算法则和二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 16. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】分别将每项计算出来，再化简． 【详解】解：原式 ． 【点睛】此题考查学生的计算能力，此题属于低档试题，计算要小心． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 根据下列条件，求代数式的值． （1），，； （2），，． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． （1）把，，代入，再化简即可； （2）把，，代入，再化简即可． 【小问1详解】 解：当，，， 原式； 【小问2详解】 解：当，，， 原式． 18. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，化简：． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式得出，然后求解即可； 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴解得， ∴ ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，化解绝对值，算术平方根，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根． 19. 阅读理解 “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 设， 易知 故，由 解得，即． 根据以上方法，化简 【答案】 【解析】 【分析】由常见的分母有理化利用平方差公式化解，由题提供的方式化解，之后再整理即可得． 【详解】解：设，易知 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴原式 【点睛】本题考查了分母有理化以及提取题干信息的能力；关键在于要会用平方差公式进行分母有理化，读懂题干，能用完全平方差公式进行有理化． 20. 如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端B离墙7米． （1）此时梯子顶端离地面多少米？ （2）若梯子顶端A下滑4米到C，那么梯子底端将向左滑动多少米？ 【答案】（1）此时梯子顶端离地面24米； （2）梯子底端将向左滑动了8米． 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键． （1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离； （2）构建直角三角形，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，∵米，米， 梯子距离地面的高度米． 答：此时梯子顶端离地面24米； 【小问2详解】 解：∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度米， ∴， ∴（米），即下端滑行了8米． 答：梯子底端将向左滑动了8米． 21. 某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润为10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元． (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属于第几档次产品？ (2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？ 【答案】(1) 第3档次；(2) 第5档次 【解析】 【分析】（1）根据生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出每件利润为14元的蛋糕属第几档次产品； （2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润×销售数量=总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）（14﹣10）÷2+1=3（档次）． 答：此批次蛋糕属第3档次产品． （2）设烘焙店生产是第x档次的产品，则第x档次每件利润为：10+2（x-1）=（2x+8）元，生产的件数为：76-4（x-1）=（80-4x） 总利润为：（2x+8）×（80﹣4x）=1080， 整理得：x2﹣16x+55=0， 解得：x1=5，x2=11（舍去）． 答：该烘焙店生产的是第5档次的产品． 【点睛】考点：一元二次方程的应用． 22. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； （2）的算术平方根为_________________； （3）若，且、、均为正整数，求的值； （4）化简：． 【答案】（1）； （2） （3）的值为或 （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）利用完全平方公式展开得到，从而可用、表示、； （2）直接利用完全平方公式，变形得出答案； （3）直接利用完全平方公式，变形化简即可； （4）先计算，再利用完全平方公式，变形化简即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴，，即， ∵、、均为正整数， ∴，或，， ∴当，时，； 当，时，； ∴的值为或； 【小问4详解】 解：∵ ， ∴． 23. 现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个相同的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）； 图1表示：_____； 图2表示：_____． （2）根据上面解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，求的值； ②如果，，求的值； ③请直接写出下列问题答案： 如果，_____． 【答案】（1）； （2）①；②5或；③7； 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用． （1）图1中由两个长与宽分别为、的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为，的正方形的面积可得；图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （2）①将根据完全平方公式用含有，的式子表示出来，然后代入求值即可．②利用，代入求值即可，③利用代入求值即可；． 【小问1详解】 解：（1）图1中，由图可知， ， 由题意得，， 即， 故答案为：． 图2中，由图可知，，， 由题图可知，， 即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ，， ； 解：①由图2可得， ，， ， ． ∴当时 ， 当时 ②由图1可得， ， ， 原式． 故答案为：7． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-----2025学年度第二学期8年级数学期中测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若实数a，b在数轴上的对应点如图，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 3. 下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知是实数，且满足则的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 5. 方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A B. C. D. 6. 解下列方程：① ② ③ ④．较简便的方法依次是（ ） A. 直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法 B. 因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法 C. 直接开平方法，公式法，公式法，因式分解法 D. 直接开平方法，公式法，因式分解法，因式分解法 7. 若关于x的一元二次方程无实数根，则实数c的值可能为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 8. 已知关于的一元二次方程的两根分别为、，则的值为（　　） A. B. C. D. 9. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( ) A. B. C D. 10. 公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解的方法：先构造边长为x正方形，再分别以，为边坐另一边长为5的长方形，最后得到四边形是面积为64的正方形，如图所示，花拉子米寻找的是下列哪个一元二次方程　　的解 A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若，则__________． 12. 已知 ，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则m的值为 _____． 13. 小莹计划购买一台圆形自动扫地机，有以下6种不同的尺寸可供选择，直径（单位：cm）分别是：34，，37，，40，42．如图是小莹家衣帽间的平面示意图，扫地机放置在该房间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面，小莹可选择的扫地机尺寸最多有______种． 14. 勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦．”即（为勾，为股，为弦），若“勾”为2，“股”为3，则“弦”最接近的整数是___________． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 计算： 16. 化简： 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 根据下列条件，求代数式的值． （1），，； （2），，． 18. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，化简：． 19. 阅读理解 “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 设， 易知 故，由 解得，即． 根据以上方法，化简 20. 如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端B离墙7米． （1）此时梯子顶端离地面多少米？ （2）若梯子顶端A下滑4米到C，那么梯子底端将向左滑动多少米？ 21. 某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润为10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元． (1)若生产某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属于第几档次产品？ (2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？ 22. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； （2）的算术平方根为_________________； （3）若，且、、均为正整数，求值； （4）化简：． 23. 现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个相同的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）； 图1表示：_____； 图2表示：_____． （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，求值； ②如果，，求的值； ③请直接写出下列问题答案： 如果，_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$