精品解析：四川省巴中市2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

巴中市高级中学2025年春季学期第三次月考 高二年级数学试题卷 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在等差数列中，，，则（ ） A 4 B. 5 C. 6 D. 8 4. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知某圆台的上、下底面半径分别为1和3，高为3，则该圆台的体积为（ ） A B. C. D. 6. 从20张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花4个花色，每个花色均有数字从2~6的5张牌）中抽取4张牌，若抽出的4张牌有且仅有2张数字相同，则不同的抽取方法有（ ） A. 960种 B. 1440种 C. 1920种 D. 2880种 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若为锐角三角形，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的图象的对称轴方程为 D. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 10. 已知，为随机事件，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，互斥，则 B. 若，相互独立，则 C. 若，相互独立，则 D 若，则 11. 在棱长为2的正方体中，是棱的中点，动点在正方形内（包括边界），若平面，则（ ） A. 点的轨迹长度为 B. 的最小值为 C. 存在点，使得 D. 与平面所成角的正切值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的二项展开式中，常数项为__________. 13. 曲线在点处的切线方程为______. 14. 已知圆过椭圆左、右焦点，曲线与曲线在第一象限的交点为，若的面积为，则椭圆的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是首项为1的等比数列，且是和的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答．记 ，求数列的前项和． 16. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）. （1）求选取市民年龄在内的人数； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 17. 在四棱锥中，平面，底面是正方形，是棱的中点，． （1）证明：． （2）求平面与平面夹角的大小． 18. 已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且，离心率为. （1）求椭圆E的标准方程； （2）设直线与x轴交于点Q，点P是直线上不同于点Q的一点，直线BP与椭圆E交于点M，直线AM与直线交于点N，判断是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 19. 定义：如果函数在定义域内存在两个零点；且存在实数，使成立，那么称函数为函数． （1）已知函数为函数，求的取值范围． （2）已知函数恰有两个零点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：函数为函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 巴中市高级中学2025年春季学期第三次月考 高二年级数学试题卷 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出． 【详解】根据题意,即,则复数在复平面内对应的点为位于第四象限， 故选：D 3. 在等差数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求得公差，进而求得. 【详解】设等差数列的公差为， ， 所以. 故选：C 4. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由数量积的性质等价转化关系，结合充分条件必要条件的定义确定结论. 【详解】由，， 若，则， 解得或， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 5. 已知某圆台的上、下底面半径分别为1和3，高为3，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆台的体积公式计算即得. 【详解】依题意，该圆台的体积为. 故选：C 6. 从20张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花4个花色，每个花色均有数字从2~6的5张牌）中抽取4张牌，若抽出的4张牌有且仅有2张数字相同，则不同的抽取方法有（ ） A. 960种 B. 1440种 C. 1920种 D. 2880种 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合组合计数问题列式计算得解. 【详解】先从5个数字中任选1个数字，有种选法，再从4种花色中选取2种有种； 从余下4个数字中选取2个数字，每个数字选取1种花色有， 所以不同的抽取方法有（种）. 故选：D 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若为锐角三角形，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中条件及正弦定理可得，结合为锐角三角形，解得角的范围即可求解. 【详解】在中，，， 由正弦定理可知. ∵为锐角三角形， ∴，解得， ∴，. 故选：D. 8. 定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性在对称区间上单调性相反即可得在上单调递减，再由可得，分类讨论即可解不等式. 【详解】∵定义在上的偶函数在上单调递增，且， ∴在上单调递减，且， ∴当或时，；当时，， 易知不等式等价于或; 可得或或； 解得或，即， 则不等式的解集是． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的图象的对称轴方程为 D. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 【答案】AC 【解析】 【分析】求出函数的周期可判断A；求出的单调增区间可判断B；求出函数的图象的对称轴方程可判断C；根据图象平移规律可判断D． 【详解】对于A，函数的周期为，故A正确； 对于B，由，得， 所以的单调增区间为，故B错误； 对于C，令，则， 所以函数的图象的对称轴方程，故C正确； 对于D，函数向右平移个单位长度得到 ，故D错误． 故选：AC． 10. 已知，为随机事件，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，互斥，则 B. 若，相互独立，则 C. 若，相互独立，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式以及条件概率公式逐个计算，分别对每个选项进行分析判断. 【详解】对于选项，若，互斥，根据互斥事件的概率加法公式. 已知，，则，所以选项正确. 对于选项，若，相互独立，则与也相互独立. 因为，所以，所以选项错误. 对于选项，若，相互独立，则. 根据概率的加法公式，将，，代入可得： ，所以选项正确. 对于选项，已知，，则. ，. 根据条件概率公式，所以选项正确. 故选：ACD. 11. 在棱长为2的正方体中，是棱的中点，动点在正方形内（包括边界），若平面，则（ ） A. 点的轨迹长度为 B. 的最小值为 C. 存在点，使得 D. 与平面所成角的正切值的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用线面平行的判定性质、面面平行的判定推理确定点的轨迹，再逐项判断即可. 【详解】在棱长为2的正方体中，取的中点， 连接，，点平面， ，平面，平面，则平面， ，则四边形是平行四边形，， 平面，平面，则平面，而， 平面，因此平面平面，而平面， 则平面，又点在正方形内（包括边界），于是点， 即点的轨迹为线段，其长度为，A正确； 点到距离为，则点到的距离为，即的最小值为，B错误； ，平面，平面，则，而， 平面，于是平面，若，则平面， 点，而线段与无公共点，因此与不垂直，C错误； 平面，与平面所成的角，， 又，因此，D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的二项展开式中，常数项为__________. 【答案】20 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】的二项展开式中，常数项为， 故答案为： 13. 曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】 求出曲线在处的导数值即切线斜率，即可得出方程. 【详解】，， 在点处的切线的斜率， 则切线方程为，即. 故答案为：. 14. 已知圆过椭圆的左、右焦点，曲线与曲线在第一象限的交点为，若的面积为，则椭圆的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，借助三角形面积及圆的方程求出点的坐标，进而求出即可求出离心率. 【详解】圆中，令，得，解得，即， 设，，， 点在椭圆上，则，又，解得， 所以椭圆的离心率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是首项为1的等比数列，且是和的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答．记 ，求数列的前项和． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由条件可知，，再代入等比数列通项公式，即可求解； （2）若选①，利用裂项相消法求和；若选②，结合绝对值里面的正负，分情况求和；若选③，利用等差和等比数列求和公式，即可求解. 【小问1详解】 设数列的公比为， 由条件可知，， 即，得或（舍）， 所以； 【小问2详解】 若选①，，， 所以， 则； 若选②，， 数列是前项和是， 当时，数列的每一项都是非正数，所以， 当时，数列的每一项都是正数， 所以， 所以； 如选择③，则， 数列的前项和为，数列的前项和为， 则. 16. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）. （1）求选取的市民年龄在内的人数； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 【答案】（1）20 （2）平均数32.25; 第80百分位数37.5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，先求出年龄在内的频率，再求出频数； （2）根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左侧面积为0.8的线所对应的值； （3）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【小问1详解】 （1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. 【小问2详解】 (2) 平均数为 32.25; 前三组的频率和为， 第四组频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. 【小问3详解】 （3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题. 17. 在四棱锥中，平面，底面是正方形，是棱的中点，． （1）证明：． （2）求平面与平面夹角的大小． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量求法求解. 【小问1详解】 在四棱锥中，连接，由正方形，得， 由平面，平面，得，而， 平面，因此平面，而平面， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，平面，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角为. 18. 已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且，离心率为. （1）求椭圆E的标准方程； （2）设直线与x轴交于点Q，点P是直线上不同于点Q的一点，直线BP与椭圆E交于点M，直线AM与直线交于点N，判断是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由题意得，再结合求出，从而可求出椭圆E的标准方程； （2）假设存在点P，使得，则‖，设，由结合点在直线上，可求得，再由在椭圆上可求出，从而可求出，进而可求出点的坐标. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以， 所以椭圆E的标准方程为； 【小问2详解】 假设存在点P，使得，则‖， 所以， 设，则， 所以，直线的方程为， 因为点在直线上，所以， 所以， 因为点P是直线上不同于点Q一点，所以， 所以，解得， 因为点在椭圆上，所以，解得或， 当时，，得， 当时，，得， 所以存在点P，使得，点的坐标为或 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定点问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为，再结合直线的方程和椭圆方程可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题. 19. 定义：如果函数在定义域内存在两个零点；且存在实数，使成立，那么称函数为函数． （1）已知函数为函数，求的取值范围． （2）已知函数恰有两个零点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：函数为函数． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理求出的两根和与积，再利用函数为函数的定义列式求出范围. （2）（ⅰ）利用导数求出函数的最小值，再分类讨论求出的范围；（ⅱ）利用导数证明不等式恒成立，再借助的零点与及的零点关系推理证得结论. 【小问1详解】 依题意，是方程的两个根，则，， 于，， 由是函数，得，解得， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 （ⅰ）函数的定义域为， 求导得，令， 求导得，函数在上单调递增，而， 当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增，， 当时，，， ，令，求导得， 当时，，当时，，函数在上递增，在上递减， ，于是， 因此函数在和上各有一个零点， 当时，，则函数在上至多一个零点，不符合题意， 所以的取值范围是. （ⅱ）设， ， 则，当时，， 而，即， 由，得，由，得，函数在上单调递减， 在上单调递增，，即， 设的零点为，则， 设，易得，， 设， 设，则， 由，得，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，，即恒成立， 因此，设的零点为， 易知，则，即． 所以，即函数为函数． 【点睛】关键点点睛：利用导数证明不等式恒成立，将的零点问题转化为的零点、的零点处理是求解为函数的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$