精品解析：广东省中山市永安中学2024-2025学年高二下学期第一次段考数学试题

2024－2025学年中山市永安中学高二第二学期第一次段考 一、单选题 1. 已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 2. 高二年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有（ ） A. 6种 B. 7种 C. 8种 D. 9种 3. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 设是可导函数，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 5. 若在上可导且，其导函数满足，则的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 某台晚会有ABCDEF这6个节目，其中A与C相邻且A排在C的前面，B与D不相邻且均不排在最后，则6个节目的不同排法有（ ） A. 72 B. 48 C. 36 D. 24 7. 若函数恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列求导正确的是（    ） A. B. C. D. 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ） A. 某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B. 课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法 C. 课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法 D. 课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法 11. 已知函数的导函数的两个零点为1，2，则下列结论正确的有（ ） A. abc＜0 B. 在区间[0，3]的最大值为0 C. 只有一个零点 D. 的极大值是正数 三、填空题 12. 曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 13. 如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同排法有_________种.（用数字作答） 14. 已知函数，若关于的不等式有且仅有1个整数解，则的取值范围为___________. 四、解答题 15. 已知函数，当时，有极值. （1）求的解析式； （2）求在上的最大值和最小值. 16. （1）求值: （2）已知，计算：（用数字作答） （3）求不等式：的解集． 17. 突破技术封锁、打破国外技术垄断，实现高水平科技自立自强，正是企业坚持独立自主的一种重要体现.我国某企业为突破技术难题，组织多个科研团队，加大对某项电子产品的研发投入.已知该项电子产品年产量不低于1万件且不高于8万件，根据以往数据显示，每年研发投入固定费用为万元，每生产万件增加投入万元，且生产的都能销售完，预计2024年销售收入（单位：万元）与销量（单位：万件）之间满足关系式. （1）写出该企业2024年的利润（单位：万元）关于该产品的销量的函数解析式； （2）该产品2024年的销量目标定为多少万件时，该企业能从中获利最大?最大利润为多少? 18. 已知函数 （1）讨论的单调区间； （2）设，若对任意的，存在，使成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围； （2）设是函数的两个极值点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年中山市永安中学高二第二学期第一次段考 一、单选题 1. 已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导，进而求出，利用切线与直线平行即可求出. 【详解】由题意可得， ∴所求曲线在点处的切线的斜率为，又切线与直线平行， ∴. 故选：D. 2. 高二年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有（ ） A. 6种 B. 7种 C. 8种 D. 9种 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分三人中有一名女生和两名女生讨论即可得答案. 【详解】解：因为选派的3人中至少有1名女生，且总共有2名女生， 所以当选派的3人中有1名女生时，有种方案， 当选派的3人中有2名女生时，有种方案， 所以根据分类加法计数原理得共有：种不同的选派方案. 故选：D. 【点睛】本题考查分类加法计数原理和组合问题，是基础题. 3. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】已知，求导得， 则， ． 4. 设是可导函数，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义计算即可得出答案. 【详解】解：∵， ∴. 故选：B. 5. 若在上可导且，其导函数满足，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先构造函数，由确定单调递减， 从而得到的解集，即为的解集. 【详解】设，则， 因为，所以在上恒成立，所以单调递减， 又得，由等价于， 所以，即的解集是. 故选：C. 6. 某台晚会有ABCDEF这6个节目，其中A与C相邻且A排在C的前面，B与D不相邻且均不排在最后，则6个节目的不同排法有（ ） A. 72 B. 48 C. 36 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】先将与捆绑和排列，再将插空排列，即得解. 【详解】解：先将与捆绑在一起和另外两个确定的节目进行全排列，有种排法， 再将与插排在3个空里（最后1个空不排），有种排法， 由乘法分步原理得6个节目的不同排法有. 故选：C. 7. 若函数恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分析可得：原题意等价于与有两个交点，求导，利用导数判断的单调性，结合图象分析求解. 【详解】当时，则无零点，不符合题意； 当时，令，则， 故原题意等价于与有两个交点， 构建，则， 令，解得；令，解得； 则在上单调递增，在上单调递减， 可得，且当x趋近于时，趋近于， 所以的图象如图所示，由图象可得： 若与有两个交点，则，解得， 故的取值范围是. 故选：D. 8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造，比较a，c，构造，比较b，c即可. 【详解】设，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值0， 则即， 则，即， 设，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最大值0， 则，即， 则，即， 所以. 故选：C 二、多选题 9. 下列求导正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由基本初等函数的求导公式以及导数的四则远算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对A，，故A正确； 对B，，故B正确. 对C，，故C错误； 对D，，故D错误； 故选：AB 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ） A. 某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B. 课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法 C. 课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法 D. 课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件利用组合知识可以判断A正确；不相邻问题利用插空法可以判断B错误；相邻问题利用捆绑法可以判断C正确；利用特殊位置法可以判断D正确. 【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A正确； 对于B，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有种，B错误； 对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有种，C正确； 对于D，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有种，D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数的导函数的两个零点为1，2，则下列结论正确的有（ ） A. abc＜0 B. 在区间[0，3]的最大值为0 C. 只有一个零点 D. 的极大值是正数 【答案】BC 【解析】 【分析】 求导，根据的两个零点为1，2，由，，求得，，再逐项验证. 【详解】因为，且，，所以，化简得，解得，，因为，所以，所以abc>0，故A错误； 由，可知为开口向下的二次函数，且零点为1，2，则当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以x=1为极小值点，x=2为极大值点，则的极大值为，故D错误； 由函数的单调性可知，函数在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，，所以在区间[0，3]的最大值为0，故选项B正确； 函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，，，所以只有一个零点0，故C正确； 故选：BC. 三、填空题 12. 曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】 【解析】 【分析】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】设切线的切点坐标为， ，所以切点坐标为， 所求的切线方程为，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题. 13. 如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同排法有_________种.（用数字作答） 【答案】64 【解析】 【分析】利用捆绑法结合分步计数原理可得答案. 【详解】把2,3和1,4分别看作一个组合，从这两个组合中选出一个，排在中间一列有种方法， 再把另一个组合排好，有种方法， 最后安排5和6，有种方法，共有64种方法. 故答案为：64 14. 已知函数，若关于的不等式有且仅有1个整数解，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数，求出的单调性，通过讨论的符号；结合图象解关于的不等式，结合不等式解的个数求出的范围． 【详解】由，， 令，解得：， 令，解得：， 的递增区间为，递减区间为，故的最大值是； 时，，时，，，故在时，，在时，， 函数的图象如下： ①时，由不等式得或， 而时无整数解，的解集为，整数解有无数多个，不合题意； ②时，由不等式，得，解集为，，， 整数解有无数多个，不合题意； ③时，由不等式，得或， 的解集为无整数解， 因为在递增，在递减，且， 而的解集整数解只有一个，故这一个正整数解只能为1， ，； 综上，的取值范围是, 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数，当时，有极值. （1）求的解析式； （2）求在上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）的最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用函数的极值的定义即可求解； （2）利用导数法求函数最值的步骤即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 又因为当时，有极值， 所以，即，解得， 所以的解析式为. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 令则，解得或， 当变化时，变化情况如下 单调递增 单调递减 单调递增 由此表可知，当时，取的最大值为，当时，取的最小值为. 16. （1）求值: （2）已知，计算：（用数字作答） （3）求不等式：的解集． 【答案】（1）；（2）986；（3） 【解析】 【分析】（1）根据排列数的计算公式即可求解， （2）根据组合数的性质即可求解， （3）根据排列的计算公式，代入化简，结合一元二次不等式即可求解. 【详解】（1）； （2）因为，则，解得，经验证符合， 所以． （3）因为，所以， 化简可得， 解得，所以不等式解集为． 17. 突破技术封锁、打破国外技术垄断，实现高水平科技自立自强，正是企业坚持独立自主的一种重要体现.我国某企业为突破技术难题，组织多个科研团队，加大对某项电子产品的研发投入.已知该项电子产品年产量不低于1万件且不高于8万件，根据以往数据显示，每年研发投入固定费用为万元，每生产万件增加投入万元，且生产的都能销售完，预计2024年销售收入（单位：万元）与销量（单位：万件）之间满足关系式. （1）写出该企业2024年的利润（单位：万元）关于该产品的销量的函数解析式； （2）该产品2024年的销量目标定为多少万件时，该企业能从中获利最大?最大利润为多少? 【答案】（1）， （2）2024年的销量目标定为3万件时，该企业能从中获利最大，最大利润为17万元 【解析】 【分析】（1）根据利润的含义即可由销售额减去投入求解， （2）求导，由单调性即可求解最值. 【小问1详解】 由题意得，生产该产品的投入为万元， 所以， 其中. 【小问2详解】 ， 令，得或3， 当时，，在单调递增； 当时，在单调递减， 当时，取得最大值. 该产品2024年的销量目标定为3万件时，该企业能从中获利最大，最大利润为17万元. 18. 已知函数 （1）讨论的单调区间； （2）设，若对任意的，存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） ①当时，的单调递增区间为； ②当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）由，按，进行分类讨论求解； （2）由已知，转化为，由已知得，由此能求出实数a的取值范围． 【小问1详解】 ， ①当时，由于，故，， 所以的单调递增区间为； ②当时，由，得， 在区间上，在区间上， 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 由题目知，只需要即可 又因为，所以只需要即可 即等价于恒成立， 由变量分离可知，， 令，下面求的最小值， 令，所以得， 所以在为减函数，为增函数， 所以，所以. 19. 已知函数． （1）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围； （2）设是函数的两个极值点，证明：． 【答案】（1）； （2） 由题意可知，， ∵有两个极值点， ∴是的两个根，则， ∴ ， ∴要证，即证， 即证，即证，即证， 令，则证明， 令，则， ∴在上单调递增， 则，即， 所以原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）利用导数对在定义域上的零点分布进行分类讨论即可求解； （2）将转化为，再根据，即证，构造函数，证明其小于0即可. 【小问1详解】 ， ∵函数存在单调递减区间，∴在上有解， ∵，设，则， 当时，显然在上有解； 当时，，， 由韦达定理知，， 所以必有一个正根，满足条件. 当时，有，解得， 综上： 故实数的取值范围为． 【小问2详解】 略 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $