精品解析：2025年河南省信阳市八县三区中考三模数学试题

2025年河南省中招模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列与米最接近的是（ ） A. 人的皮肤的厚度 B. 楼房的高度 C. 凳子的高度 D. 月球的半径 2. 由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由7个相同的小正方体组成的几何体，将小正方体①去掉后，关于新几何体的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图保持不变 B. 俯视图保持不变 C. 左视图保持不变 D. 三种视图都变化 5. 一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 8. 每周五下午的社团课是学校的特色课程，同学们可以选择自己喜欢的课程．小明和小丽从“篮球课”“思辨课”“机器人课”三种课程中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，某温室屋顶结构外框为，立柱垂直平分横梁，，，为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点在的延长线上），立柱，如图所示，若，则斜梁从变为时，增加部分的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形边长为6，点是边的中点，点在上，且，动点从点沿、运动到点，过点作于点，作于点，记点运动的路程为，四边形的面积为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知 且m是整数，请写出一个符合要求的m的值__________． 12. 某招聘考试分笔试和面试两种，小明笔试成绩90分，面试成绩85分，如果笔试成绩、面试成绩按3：2计算，那么小明的平均成绩是__________分 13. 假设飞机着陆后滑行的距离y（单位：米）关于滑行时间t（单位：秒）满足函数关系式y＝60t﹣t2，则经过 _____秒后，飞机停止滑行． 14. 如图，在菱形中，，，把菱形绕着顶点A逆时针旋转得到菱形，点C的运动轨迹为弧，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 15. 如图，在中，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，连接．若为直角三角形，则的长为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程组： 17. 某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下： 30 ，16， 14， 15， 26 ，15 ，32， 23， 17 ，15， 15 ，28 ，28 ，16， 19 ，17 ，18 ，16， 13 ，24， 15 ，28， 26， 18 ，19 ，22 ，17 ，16， 19，32 整理上面的数据，得到下面两个不完整的统计表： 频数分布表： 组别 一 二 三 四 五 六 七 销售额 13≤x＜16 16≤x＜19 19≤x＜22 22≤x＜25 25≤x＜28 85≤x＜31 31≤x＜34 频数 7 9 a 3 2 4 b 数据分析表： 平均数 众数 中位数 20.3 c d 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：a＝　　 ，b＝　　 ，c＝　　 ；d＝　　 ； （2）若将月销售额不低于22万元确定为销售目标，则有　　 位营业员可以获得奖励； （3）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由． 18. 如图，在单位长度为1的网格坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于两点，反比例函数的图象经过一次函数图象上一点． （1）求反比例函数的解析式； （2）依据图象直接写出当时不等式的解集___________； （3）若反比例函数与一次函数的图象交于两点，在图中用直尺与铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件： ①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点、点； ②矩形的面积等于10． 19. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是对角线BD上一点（BE＞DE）． （1）利用直尺和圆规，在图中过点E作AE的垂线，交BC边于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）中，求证：AE＝EF； （3）若（1）中四边形ABFE的面积为4，求AE的长． 20. 如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心，   （1）如图1，，的延长线交于圆心O，若甲组测得，，，求的长； （2）如图2，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为弧的中点，若丙组测得，，求：该混凝土管片的外圆弧半径． 21. 高空走钢丝在中国有着悠久的历史，汉代称“走索”“铜绳伎”，三国、魏晋称“高縆”“踏索”，东汉张衡在《西京赋》中就有“跳丸剑之挥霍，走索上而相逢”的描写．古代的走索用的不是钢丝而是绳子，绳子由于柔软，更加容易晃动，难度不小．十一假期，阳光马戏团正在表演高空走钢丝（图1），杂技演员所在位置点到所在直线的距离，此时（图2），当杂技演员走至钢丝中点时，恰好（图3），运动过程中绳子总长不变．（参考数据：） （1）求的长； （2）求杂技演员从点走到点，下降的高度． 22. 露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式． 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量． 【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子．设其拋物线型支架的形状值为，请写出的最小值． 23. 【材料背景】 如图1，在中，以边为底边向外作等腰，其中，且，那么点D就被称为边的“外展等直点”． 【建构与探究】 如图2，正方形网格是由边长为“1”的正方形组成，点O、A、B、C都在格点上，，点C为的中点． （1）连接、、，请分别作边、的“外展等直点”P和Q，连接、和，则的形状为 ； （2）如图3，点E、F在格点上，请在线段上的格点中任取一点D（不与点A重合），连接、，分别作的边和边的“外展等直点”G、H，连接、和，请判断的形状，并说明理由． 【应用与拓展】 （3）如图4，点M、N为平面内某三角形两条边的“外展等直点”，已知，请直接写出该三角形第三条边的中点K的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省中招模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列与米最接近的是（ ） A. 人的皮肤的厚度 B. 楼房的高度 C. 凳子的高度 D. 月球的半径 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了近似数的应用，根据生活常识对选项进行估测，即可求解；理解近似数，能进行合理估测是解题的关键． 【详解】解：选项中凳子的高度米最接近， 故选：C． 2. 由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，将数据22150000用科学记数法表示为， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法运算，幂的、积的乘方运算，掌握计算公式是解题的关键． 分别利用同底数幂的乘除法运算，幂的、积的乘方计算公式进行判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，故不符合题意； B、，原写法错误，故不符合题意； C、，原写法错误，故不符合题意； D、，原写法正确，故符合题意； 故选：D． 4. 如图是由7个相同的小正方体组成的几何体，将小正方体①去掉后，关于新几何体的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图保持不变 B. 俯视图保持不变 C. 左视图保持不变 D. 三种视图都变化 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图． 根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：若小正方体①去掉后，其左视图不变，即左视图依然还是两层，底层有3个正方形，上层有1个正方形． 故选：C． 5. 一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先由数轴得出不等式的解集，然后分别求解不等式和进而判断即可． 【详解】由数轴上不等式组的解集可得，， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴则这个不等式组可能是， 故选：D． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上的表示，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法． 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数，由平行线的性质求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵一束平行于主光轴的光线， ∴． 故选：D． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴原方程没有实数根， 故选：B． 8. 每周五下午的社团课是学校的特色课程，同学们可以选择自己喜欢的课程．小明和小丽从“篮球课”“思辨课”“机器人课”三种课程中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出树状图，先确定所有等可能的选择结果数，再找出两人恰好选择同一种课程的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】记三种课程分别为篮球课，思辨课，机器人课， 画树状图为： ∵共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一课程的结果数为3， ∴两人恰好选择同一课程的概率． 9. 如图，某温室屋顶结构外框为，立柱垂直平分横梁，，，为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点在的延长线上），立柱，如图所示，若，则斜梁从变为时，增加部分的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用∠B=30°，可得2EF=BE=6m，再利用垂直平分线的性质进而得出AB的长，即可得出答案． 【详解】∵，，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故选. 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，直角三角形的性质，关键是得出AB，BE的长． 10. 如图，正方形边长为6，点是边的中点，点在上，且，动点从点沿、运动到点，过点作于点，作于点，记点运动的路程为，四边形的面积为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的变化列出函数解析式. 结合原图形上动点在不同的线段上运动得到不同的关系式，再根据不同的关系式得到不同的图象，最后结合所给选项进行分析即可. 【详解】解： 如图，延长线段交于点，则 ,，由勾股定理得， ， ， ∴，，该区间解析式为二次函数，图象为抛物线，开口向下； 当时，，该区间解析式为一次函数，随的增大而减小； 故选：A. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知 且m是整数，请写出一个符合要求的m的值__________． 【答案】3（或4） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算．熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 根据无理数的估算求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴符合要求的m的值为或4， 故答案为：3（或4）． 12. 某招聘考试分笔试和面试两种，小明笔试成绩90分，面试成绩85分，如果笔试成绩、面试成绩按3：2计算，那么小明的平均成绩是__________分 【答案】88 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义计算可得． 【详解】解：根据题意，小明的平均成绩是（分）， 故答案为88． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是熟练掌握加权平均数的定义和计算公式． 13. 假设飞机着陆后滑行的距离y（单位：米）关于滑行时间t（单位：秒）满足函数关系式y＝60t﹣t2，则经过 _____秒后，飞机停止滑行． 【答案】30 【解析】 【分析】飞机停止滑行意味着飞机滑行的最大距离，即求二次函数的最大值，将二次函数配方即可求解． 【详解】解：由题意可知：滑行距离达到最大值时，飞机停止滑行， y＝60t﹣t2＝-(t﹣30)2+900， 当t＝30时，y可取得最大值， 即经过30s后，飞机停止滑行． 故答案为：30． 【点睛】本题考查了二次函数最值求法及实际应用，读懂题意，飞机停止滑行意味着飞机滑行的最大距离，由此即可求解． 14. 如图，在菱形中，，，把菱形绕着顶点A逆时针旋转得到菱形，点C的运动轨迹为弧，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】连接交于点由菱形的性质求出，，以及，由旋转的性质求出，再根据可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， 是菱形的对角线， 连接交于点，则 由勾股定理得， 由旋转得， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，扇形的面积公式，勾股定理，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键． 15. 如图，在中，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，连接．若为直角三角形，则的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，由为直角三角形，分两种情形画出图形，构造直角三角形用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：由为直角三角形，分两种情况： ①，如图所示： 在中，，，， 设，， 在中，，，，则， 解得，即； ②，过点作交的延长线与点，如图所示： 由折叠的性质可知，， ， ， ， 设， ∴在中，，， 在和中， ， ， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 解得，即； 综上所述，的长是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理解直角三角形、含的直角三角形、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是由为直角三角形，分类讨论解决问题． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二元一次方程组的求解，涉及零指数幂，二次根式的性质化简，特殊角三角函数值，化简绝对值，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）根据零指数幂，二次根式的性质，特殊角三角函数值，绝对值的意义化简各项，再合并同类项即可； （2）根据加减消元法求解方程组即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 解：得：， 解得：， 将代入①得：， 故方程组的解为． 17. 某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下： 30 ，16， 14， 15， 26 ，15 ，32， 23， 17 ，15， 15 ，28 ，28 ，16， 19 ，17 ，18 ，16， 13 ，24， 15 ，28， 26， 18 ，19 ，22 ，17 ，16， 19，32 整理上面的数据，得到下面两个不完整的统计表： 频数分布表： 组别 一 二 三 四 五 六 七 销售额 13≤x＜16 16≤x＜19 19≤x＜22 22≤x＜25 25≤x＜28 85≤x＜31 31≤x＜34 频数 7 9 a 3 2 4 b 数据分析表： 平均数 众数 中位数 20.3 c d 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：a＝　　 ，b＝　　 ，c＝　　 ；d＝　　 ； （2）若将月销售额不低于22万元确定为销售目标，则有　　 位营业员可以获得奖励； （3）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由． 【答案】（1）3，2，15，18； （2）11； （3）想让一半左右的营业员都能达到销售目标，我认为月销售额定为18万合适．理由： 因为中位数为18，即大于18与小于18的人数一样多， 所以月销售额定为18万，有一半左右的营业员能达到销售目标． 【解析】 【分析】（1）从数据中数出落在19≤x＜22和31≤x＜34范围内的数据个数得到a、b的值，利用众数和中位数的定义确定c、d的值； （2）利用频数分布表，后面三组的频数和为获得奖励的营业员的数量； （3）利用中位数的意义进行回答． 【详解】解：（1）在19≤x＜22范围内的数据有3个，在31≤x＜34范围内的数据有2个， 15出现的次数最多，则众数为15；中位数为18； 故答案为：3，2，15，18； （2）月销售额不低于22万元为后面三组数据，即有3+2+4+2=11位营业员获得奖励； 故答案为：11； （3）略 【点睛】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了样本估计整体、平均数和中位数． 18. 如图，在单位长度为1的网格坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于两点，反比例函数的图象经过一次函数图象上一点． （1）求反比例函数的解析式； （2）依据图象直接写出当时不等式的解集___________； （3）若反比例函数与一次函数的图象交于两点，在图中用直尺与铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件： ①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点、点； ②矩形的面积等于10． 【答案】（1） （2） （3） 画出两个以为顶点的矩形，如图所示： 【解析】 【分析】（1）用待定系数法直接求出函数表达式即可； （2）观察函数图象解不等式即可求解； （3）分以为边构造矩形、以为对角线构造矩形两种情况，分别画出图形即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示： 观察函数图象可知，，， 不等式的解集指直线在曲线上方部分图象对应的的范围，由图可得：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由图象可知点，， 依据两点之间距离公式可得， 已知矩形面积为10的情况下，分类讨论： 若以为边构造矩形，则矩形的另一边为； 若以为对角线的情况下构造矩形，此时矩形为正方形，得其边长为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，涉及反比例函数与一次函数的交点、待定系数法确定函数表达式、由函数图象解不等式、两点之间距离公式、矩形性质、正方形性质等知识，熟练掌握函数及相关几何性质是解决问题的关键，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． 19. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是对角线BD上一点（BE＞DE）． （1）利用直尺和圆规，在图中过点E作AE的垂线，交BC边于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）中，求证：AE＝EF； （3）若（1）中四边形ABFE的面积为4，求AE的长． 【答案】(1)如图，即为所求： （2）证明；如图，过点E作EM⊥AB、EN⊥BC， ∴∠EMB＝∠MBN＝∠ENB＝90°， ∴四边形MBNE是矩形， 又∵四边形ABCD为正方形， ∴BD平分∠ABC，∴EM＝EN， ∴矩形MBNE是正方形， ∵∠AEM+∠MEF＝∠MEF+∠FEN＝90°， ∴∠AEM＝∠FEN， 又∵∠AME＝∠FNE＝90°，EM＝EN， ∴△AEM≌△FEN（ASA）， ∴AE＝EF； （3） 【解析】 【分析】（1）过点E作AE的垂线即可； （2）如图，过点E作EM⊥AB、EN⊥BC，先证明矩形MBNE是正方形，则∠AEM＝∠FEN，再证明△AEM≌△FEN，从而得到AE＝EF； （3）利用△AEM≌△FEN得到S△AEM＝S△FEN，则S四边形ABFE＝S正方形MBNE，利用正方形面积公式得到BM＝2，则AM＝AB﹣BM＝1，然后利用勾股定理计算AE的长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵△AEM≌△FEN， ∴S△AEM＝S△FEN， ∴S四边形ABFE＝S正方形MBNE， ∵四边形ABFE的面积为4， ∴BM2＝4， ∴BM＝2（取正舍负）， ∴AM＝AB﹣BM＝1， ∴AE＝ 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了正方形的性质．掌握各种基本作图的方法及正方形的性质是关键. 20. 如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心，   （1）如图1，，的延长线交于圆心O，若甲组测得，，，求的长； （2）如图2，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为弧的中点，若丙组测得，，求：该混凝土管片的外圆弧半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键， （1）由，，推出，即可证得，再根据相似三角形对应边成比例解答即可； （2）连接、、、、与相交于点，由垂径定理可得，再结合勾股定理得到，据此解答即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的根，即． 答：的长为； 【小问2详解】 解：如图，设圆心为点，连接、、、、与相交于点， 则，， 设外半径为，则， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， 答：该混凝土管片的外圆弧半径为． 21. 高空走钢丝在中国有着悠久的历史，汉代称“走索”“铜绳伎”，三国、魏晋称“高縆”“踏索”，东汉张衡在《西京赋》中就有“跳丸剑之挥霍，走索上而相逢”的描写．古代的走索用的不是钢丝而是绳子，绳子由于柔软，更加容易晃动，难度不小．十一假期，阳光马戏团正在表演高空走钢丝（图1），杂技演员所在位置点到所在直线的距离，此时（图2），当杂技演员走至钢丝中点时，恰好（图3），运动过程中绳子总长不变．（参考数据：） （1）求的长； （2）求杂技演员从点走到点，下降的高度． 【答案】（1）的长约为 （2）下降的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； （2）过点F作，垂足为I，先利用（1）的结论和线段中点的定义可得 ，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：在中，， ， 的长约为； 【小问2详解】 过点F作，垂足为I， ∵点F为钢丝中点，， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ∴下降的高度约为 22. 露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式． 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量． 【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子．设其拋物线型支架的形状值为，请写出的最小值． 【答案】[建立模型]；[运用模型]张；[分析计算] 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，平面直角坐标系，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． [建立模型]以的中点为平面直角坐标系的原点，此时，且经过，代入抛物线函数关系式，即可作答． [运用模型]在[建立模型]的基础上，令，解出的值，根据宽度建立不等式，即可作答． [分析计算]设抛物线函数关系式为，根据“且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子”，建立不等式，即可作答． 【详解】解：[建立模型] 以的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示： ∵款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度 ∴ 设抛物线函数关系式为 ∵抛物线经过点 ∴ 解得 即； [运用模型]∵，且椅子高度，宽度 ∴ 解得 则的距离为2； ∵椅子数量为正整数 ∴最多可摆放的椅子数量为张； [分析计算]依题意，设抛物线函数关系式为， ∵且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子 ∴即刚好经过点点， ∴ ∴经过点 即当时，即 解得． ∴的最小值为． 23. 【材料背景】 如图1，在中，以边为底边向外作等腰，其中，且，那么点D就被称为边的“外展等直点”． 【建构与探究】 如图2，正方形网格是由边长为“1”的正方形组成，点O、A、B、C都在格点上，，点C为的中点． （1）连接、、，请分别作边、的“外展等直点”P和Q，连接、和，则的形状为 ； （2）如图3，点E、F在格点上，请在线段上的格点中任取一点D（不与点A重合），连接、，分别作的边和边的“外展等直点”G、H，连接、和，请判断的形状，并说明理由． 【应用与拓展】 （3）如图4，点M、N为平面内某三角形两条边的“外展等直点”，已知，请直接写出该三角形第三条边的中点K的坐标． 【答案】（1）等腰直角三角形，如图，、即为所求： （2）选取点如图所示，、即为所求，形状为等腰直角三角形， 理由如下： 如图，，， ∴， ∴，且， ∴为等腰直角三角形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据“外展等直点”的定义作图即可； （2）根据“外展等直点”的定义作出、即为所求，证明，即可证明为等腰直角三角形． （3）假设点为平面内的两条边的“外展等直点”，分为两种情况①当点是边的“外展等直点”，当点是边的“外展等直点”时，和②当点是边的“外展等直点”，当点是边的“外展等直点”时， 根据全等三角形的性质和判定求解即可； 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）解：假设点为平面内的两条边的“外展等直点”， ①当点是边的“外展等直点”，当点是边的“外展等直点”时， 如图：分别取边中点，连接，延长交于，延长交于， 则， ∴， 根据“外展等直点”的定义可得：， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则，解得， 则； ②当点是边的“外展等直点”，当点是边的“外展等直点”时， 如图：根据“外展等直点”的定义可得： 分别取边中点，连接，过点K作x轴垂线，过点M，N作y轴垂线交于， ， 则， ∴，， 根据“外展等直点”的定义可得：， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则，解得， 则； 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $