精品解析：河北省衡水市联考2024-2025学年高二下学期质量检测四（5月）数学试题

高二年级质量检测四 数学学科 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. “杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图： 则第8行的第7个数是（ ） A. 8 B. 21 C. 28 D. 56 4. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是奇函数，则的极小值是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 24 B. C. D. 7. 已知随机变量，则（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 8. 设首项为1的数列．足，则的个位数字为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则满足不等式的的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 设随机变量的分布列为，（），则（ ） A. B. C. D. 11. 若无穷数列对于任意正整数均有，则称是形数列，则（ ） A. 数列是形数列 B. “数列是形数列”的充要条件是“” C. 若正项单调数列是形数列，则是形数列 D. 若两个正项递增数列均是形数列，则对于任意正整数m，n，均有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 13. 已知为首项和公差均为1的等差数列，则满足的的最小值为_____. 14. 某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用AI技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码，并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖．其它情况不获奖，已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列为等差数列，为等比数列，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，证明：． 16. 某地理考察团队在甲、乙、丙三个区域内各抽取了6条河流对其平均含沙量（单位：）进行测量，得到如下表格数据． 区域 含沙量 甲 2.5，3.2，1.8，2.8，3.0，2.2 乙 1.2，0.8，0.9，1.1，0.7，1.3 丙 0.3，0.5，0.2，0.3，0.6，0.7 （1）求甲区域河流平均含沙量数据的第40百分位数与乙区域河流平均含沙量数据的方差； （2）从丙区域所抽取的河流中再抽取2条，记其中平均含沙量大于0.5的条数为X，求X的分布列及数学期望． 17. 某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 研发投入（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益（亿元） 3 7 9 10 11 （1）计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高） （2）求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过20（亿元），则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数） 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，. 18. 某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 不满意 150 合计 200 （1）请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系； （2）若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，，，3道试题答对与否互不影响. （i）用X表示能进入总决赛的人数，求X的数学期望； （ii）记有n人进入总决赛的概率为，求取最大值时的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19. 已知函数. （1）若，判断的单调性； （2）已知有两个零点，. （i）证明：； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级质量检测四 数学学科 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式即得. 【详解】依题意，每个人的选购方式有3种，所以不同的选购方式有种. 故选：A 2. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可求切线的斜率，求出切点坐标，利用点斜式求直线方程即可. 【详解】由得 所以 又，∴切点为 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故选：D. 3. “杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图： 则第8行的第7个数是（ ） A. 8 B. 21 C. 28 D. 56 【答案】C 【解析】 【分析】根据“杨辉三角”的规律求解即可. 【详解】依题意，第8行的第7个数是28． 故选：C． 4. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式列出方程求解即可． 【详解】， 解得， 故选：B． 5. 已知函数是奇函数，则的极小值是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数可求得，可得，求导可求得极小值. 【详解】易得的定义域为，且为奇函数， 故， 对应相等可得，故，， 令，即，解得或；令，即，解得； 则在，上单调递增，在上单调递减，故的极小值是． 故选：D． 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 24 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出展开式的通项，即可求出的系数. 【详解】因为展开式的通项为， 所以的系数为． 故选：D. 7. 已知随机变量，则（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性得到，进而建立方程，求解出，再利用正态分布的性质求解即可. 【详解】因为正态分布曲线关于对称，所以， 因为，， 所以，即，解得或（舍去）， 由正态分布的性质得，故B正确. 故选：B. 8. 设首项为1的数列．足，则的个位数字为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】令得是公差为2的等差数列，赋值计算可得，得，运用累加法可得，计算求解即可. 【详解】令得，即， 所以数列是公差为2的等差数列， 所以， 取，，则，结合， 可得：，取，，同理可得：， 所以，解得：， 因此，，，…，， 累加得， 故，所以的个位数为5． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则满足不等式的的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】AB 【解析】 【分析】求出列出不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 即，又， 所以或4. 故选：AB. 10. 设随机变量的分布列为，（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由已知，选项A，可根据，分别列出时的概率，求和即可得到；选项B，根据，令带入中即可求解；选项C，根据，分别令，带入中即可求解；选项D，令带入中即可求解，即可做出判断. 【详解】选项A，由已知可得，，即，故该选项正确； 选项B，，故该选项正确； 选项C，，故该选项正确； 选项D，，故该选项错误. 故选：ABC. 11. 若无穷数列对于任意正整数均有，则称是形数列，则（ ） A. 数列是形数列 B. “数列是形数列”的充要条件是“” C. 若正项单调数列是形数列，则是形数列 D. 若两个正项递增数列均是形数列，则对于任意正整数m，n，均有 【答案】AD 【解析】 【分析】原题条件等价于时，是形数列，对于A，由形数列的定义即可判断；对于B，分充分性、必要性两方面讨论即可；对于C，D，根据所给数列的性质结合形数列的定义即可判断. 【详解】若，由，得，若，由， 得，故原题意可转化为当时，是形数列． 对于A，易知，而，故， 即，故是形数列，故A正确； 对于B，当是形数列时，，即，得，必要性成立， 下面考虑充分性，当时，，此时没有意义，充分性不成立，故B错误； 对于C，若是递减数列，则．故，于是， 而，故当时，．， 故不是形数列，故C错误； 对于D，显然，则，故， 于是， 同理． 故 ，即，故D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，令，即可求解. 【详解】由，得， 所以， 解得． 故答案为： 13. 已知为首项和公差均为1的等差数列，则满足的的最小值为_____. 【答案】11 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式求出的表达式，进而得到的表达式，再根据求出的取值范围，最后确定满足条件的的最小值. 【详解】由等差数列的定义可得，则， 所以令，解得，所以满足条件的的最小值为11. 故答案为：11. 14. 某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用AI技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码，并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖．其它情况不获奖，已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定一次抽奖产生的总情况数，然后列出奖券码的表达式，分情况讨论二等奖的取值情况数，最后除以总情况数即是答案. 【详解】设一次抽奖所生成的奖券码为，共有种情况， 生成的5个数字中有个0，个1，则，由题可知． 若获得二等奖，则为3的正整数倍，故可取的值为1，4，7． 当时，的取值为，共有种情况； 当时，的可能取值为，，，共有种情况； 当时，的取值为，共有种情况， 由分类加法计数原理得符合条件的有种情况，且设获得二等奖的概率为， 由古典概型概率公式得． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列为等差数列，为等比数列，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，证明：． 【答案】（1），. （2） ， 故 . 【解析】 【分析】（1）利用基本量法可求公差与公比，故可求两个数列的通项； （2）利用裂项相消法可求的前项和，从而可证题设中的不等式. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题设有，因，故解得， 故，. 【小问2详解】 略 16. 某地理考察团队在甲、乙、丙三个区域内各抽取了6条河流对其平均含沙量（单位：）进行测量，得到如下表格数据． 区域 含沙量 甲 2.5，3.2，1.8，2.8，3.0，2.2 乙 1.2，0.8，0.9，1.1，0.7，1.3 丙 0.3，0.5，0.2，0.3，0.6，0.7 （1）求甲区域河流平均含沙量数据的第40百分位数与乙区域河流平均含沙量数据的方差； （2）从丙区域所抽取的河流中再抽取2条，记其中平均含沙量大于0.5的条数为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1）第40百分位数为2.5， （2）分布列: X 0 1 2 数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据百分位数的定义求解，利用方差的计算公式求解； （2）根据题意，X的可能取值为0，1，2，求出相应的概率并列出分布列，求解期望. 【小问1详解】 将甲区域平均含沙量数据按照从小到大排序为：1.8，2.2，2.5，2.8，3.0，3.2， 由于， 故甲区域河流平均含沙量数据的第40百分位数为2.5， 乙区域河流平均含沙量数据的平均数， 方差. 【小问2详解】 丙区域含沙量大于0.5的数据有2个，不大于0.5的数据有4个，故X的可能取值为0，1，2． 且，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 所以数学期望. 17. 某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 研发投入（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益（亿元） 3 7 9 10 11 （1）计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高） （2）求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过20（亿元），则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数） 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，. 【答案】（1）0.95，相关程度较高 （2），9.4亿元. ， 【解析】 【分析】（1）由公式计算出相关系数后可得； （2）求出线性回归方程，通过线性回归方程估算即得． 【小问1详解】 由表中数据可知，，， ，，， 则， 因为，故相关程度较高； 【小问2详解】 ，，则， ， 故， 令，解得，故研发投入至少9.4亿元. 18. 某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 不满意 150 合计 200 （1）请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系； （2）若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，，，3道试题答对与否互不影响. （i）用X表示能进入总决赛的人数，求X的数学期望； （ii）记有n人进入总决赛的概率为，求取最大值时的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表如下：单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 30 150 不满意 80 70 150 合计 200 100 300 推断犯错误的概率不大于0.001 （2）（i）；（ii）12 【解析】 【分析】(1)完成列联表，并利用独立性检验的步骤完成计算即可； (2)（i）由题意可知能进入总决赛的人数服从二项分布，再计算出每个人进入决赛的概率，利用二项分布的数学期望公式进行计算即可；（ii）写出的表达式，列出不等式组进行求解即可. 【小问1详解】 列联表如下： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 30 150 不满意 80 70 150 合计 200 100 300 零假设为：满意程度与性别无关，， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001. 【小问2详解】 （i）依题意，设“答对第道题”；“某同学进入总决赛”， 则，，， 所以 ， 依题意，，所以； （ii）依题意，，， 若最大，则， 解得，因为，所以， 所以取最大值时的值为12. 19. 已知函数. （1）若，判断的单调性； （2）已知有两个零点，. （i）证明：； （ii）证明：. 【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增 （2）（i）由题设且，则， 当时，，时，， 在上单调递减，在上单调递增，则， 由趋向于或时，都趋向于，由有两个零点， 所以，即，命题得证； （ii）证明：由题意，即， 所以，记，则， 要证，即证，即证， 记，，则， 记，则， 同（1）分析得，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增； 下证，由，由于时，显然成立， 故只需考虑时，是否成立，要证，即证， 由在区间上单调递减，即证， 即证，即证， 记，，， 记，，，所以在上单调递减， 又，所以，所以在区间上单调递减， 又，所以，故. 【解析】 【分析】（1）应用导数研究函数的区间单调性； （2）（i）应用导数研究的区间单调性和对应值域，结合零点个数及其最小值即可证；（ii）由题设有，设，即有，记，，则，应用分析法将问题化为证明，构造函数并应用导数研究函数值符号，即可证. 【小问1详解】 当时，，易得的定义域为， 且，， 时，，时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增； 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $