精品解析：浙江省柯桥中学2026-2027学年高二第一学期回头考数学试题

2026学年柯桥中学高二开学回头考数学测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 若，，，则实数（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示求解. 【详解】，，，则有， 所以. 2. 在三棱锥中，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法的三角形法则和相反向量的性质，逐步化简向量表达式即可得到结果. 【详解】由于，故C正确. 3. 过点和点的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 直接根据斜率公式计算可得； 【详解】解：过点和点的斜率 故选：A 【点睛】本题考查两点的斜率公式的应用，属于基础题. 4. 已知，则下列向量是平面法向量的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面法向量的求法求解即可. 【详解】因为，所以， 设平面的一个单位法向量为， 则，可得， 经检验，仅符合题意． 故选：C． 5. 方程表示一个圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可. 【详解】由，得， 解得. 故选：B 6. 已知圆和交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两圆方程相减求得直线方程，然后求得一个圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长． 【详解】由已知，两圆方程相减得，这是两圆公共弦所在直线方程， 圆的圆心为，半径为， 到直线的距离为， 所以， 故选：B． 7. 已知直线与直线互相垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线垂直的充要条件，代入对应直线系数计算即可得到的值. 【详解】由于直线与垂直， 得 ，解得. 8. 已知椭圆分别是的左，右焦点，为上一点，若线段的中点在轴上，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中点关系可得轴，进而根据直角三角形中的边角关系，结合椭圆定义即可求解. 【详解】由于线段的中点在轴上,是的中点，所以轴， ，，所以， 由椭圆定义可得， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义、复数的模的定义、复数的运算法则判断各选项. 【详解】对A，，A错； 对B，，，因此，B正确； 对C，，，C正确； 对D，，所以，D正确. 10. 已知正方形ABCD的边长为1，向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题可得，进而可知，然后逐项分析即得. 【详解】∵，， ∴，又正方形ABCD的边长为1， ∴，故A错误； ∴，，即，故BC正确； ∴，即，故D正确. 故选：BCD. 11. 在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，则下列选项正确的有（ ） A. 直线与直线所成的角是 B. 二面角的平面角是 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 三棱锥外接球半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.易知直线与直线所成的角为判断；B.由面，得到二面角的平面角是判断；C.易知平面截正方体所得的截面图形为梯形判断；D.确定的外接圆半径为，易知外心为的中点，且到面距离为，再由三棱锥外接球半径为判断. 【详解】A.如图所示： 易知，所以直线与直线所成的角为，易知， 所以直线与直线所成的角是，故正确； B.如图所示： 面，平面，所以， 则二面角的平面角是，易知， 所以二面角的平面角是，故错误； C.如图所示： 易知平面截正方体所得的截面图形为梯形，作， 易知 ，则， 所以梯形的面积为，故正确； D.如图所示： 易知，的外接圆半径为，则 ， 所以 ，外心为的中点，且到面距离为， 所以 三棱锥外接球半径为，故正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最小正周期为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据正弦型三角函数的周期计算． 【详解】最小正周期为． 故答案为：． 13. 甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9.现两人各射击一次，恰好有一人中靶的概率为__________． 【答案】0.26 【解析】 【分析】根据独立事件公式求解即可. 【详解】由题意可得，“恰有一人中靶”事件可分为“甲中靶，乙不中靶”和“乙中靶，甲不中靶”， ∴两个人射击一次恰有一人中靶的概率为 ； 故答案为：0.26. 14. 已知向量，， 满足，且=2，=，则当时，的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将平方，得出关于的一元二次函数求最值. 【详解】因为=2，=，所以， 因为，所以， 则 ， 令，则， 当时，有最小值， 故的最小值为. 四、解答题：本题共4小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，发现得分均在区间内现将个样本数据按，，，，，分成组，得到如下频率分布直方图． （1）求出频率分布直方图中的值； （2）请估计样本数据的众数和平均数； （3）学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由． 【答案】（1）； （2）众数、平均数依次为62分、65分； （3）学生甲能得到奖励，理由：成绩低于分的频率为，成绩低于分的频率为，则得到奖励的最低成绩为，所以学生甲能得到奖励． 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1列方程求参数值； （2）根据直方图求样本数据的众数和平均数即可； （3）根据已知求出对应分位数，判断甲的分数所在的位置，即可得结论. 【小问1详解】 由直方图知，所以； 【小问2详解】 平均值为：分，众数为：分； 【小问3详解】 略 16. 在三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求角A； （2）若，求三角形面积的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，将已知条件中的边化角，求得，即可求得； （2）利用余弦定理，结合基本不等式，求得的最大值，即可求得面积的最大值. 【小问1详解】 由，结合正弦定理，得， 所以，又因为，所以 【小问2详解】 由余弦定理，得 即（当且仅当等号成立） 所以， 即当时，三角形面积的最大值为. 17. 如图，在直三棱柱中，，． （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求直线和平面所成角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）、根据题意可证得两两垂直，以为坐标原点建立空间直角坐标系，然后根据即可求出异面直线和所成角的大小； （2）、先求出平面的一个法向量，然后根据即可求出直线和平面所成角的正弦值，进而求出直线和平面所成角的大小. 【小问1详解】 为直三棱柱，⊥平面，, 又，两两垂直， 以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则 设直线和所成角的大小为，则， 又，，直线和所成角的大小为． 【小问2详解】 由（1）可知： 设平面的一个法向量， 则，取，得， 设直线和平面所成角的大小为，则，． 直线和平面所成角的大小为． 18. 椭圆的左焦点和上顶点 （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于，两点，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，代入可得答案； （2）根据题意，联立方程，设，进而结合韦达定理与弦长公式计算即可求解. 【小问1详解】 因为椭圆的左焦点和上顶点 所以，， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 因为直线与椭圆交于两点， 所以联立方程得， 所以，解得， 设，则， 因为， 所以， 整理得，解得，满足， 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年柯桥中学高二开学回头考数学测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 若，，，则实数（ ） A. 1 B. C. 4 D. 2. 在三棱锥中，（ ） A. B. C. D. 3. 过点和点的斜率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列向量是平面法向量的是（　　） A. B. C. D. 5. 方程表示一个圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆和交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与直线互相垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆分别是的左，右焦点，为上一点，若线段的中点在轴上，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 10. 已知正方形ABCD的边长为1，向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 11. 在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，则下列选项正确的有（ ） A. 直线与直线所成的角是 B. 二面角的平面角是 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 三棱锥外接球半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最小正周期为___________. 13. 甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9.现两人各射击一次，恰好有一人中靶的概率为__________． 14. 已知向量，， 满足，且=2，=，则当时，的最小值为__________. 四、解答题：本题共4小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，发现得分均在区间内现将个样本数据按，，，，，分成组，得到如下频率分布直方图． （1）求出频率分布直方图中的值； （2）请估计样本数据的众数和平均数； （3）学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由． 16. 在三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求角A； （2）若，求三角形面积的最大值. 17. 如图，在直三棱柱中，，． （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求直线和平面所成角的大小． 18. 椭圆的左焦点和上顶点 （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于，两点，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $