河北省衡水市联考2024-2025学年高二下学期质量检测四（5月）数学试题

高二年级质量检测四 数学学科 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. “杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图： 则第8行的第7个数是（ ） A. 8 B. 21 C. 28 D. 56 4. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是奇函数，则的极小值是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 24 B. C. D. 7. 已知随机变量，则（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 8. 设首项为1的数列．足，则的个位数字为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则满足不等式的的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 设随机变量的分布列为，（），则（ ） A. B. C. D. 11. 若无穷数列对于任意正整数均有，则称是形数列，则（ ） A. 数列是形数列 B. “数列是形数列”的充要条件是“” C. 若正项单调数列是形数列，则是形数列 D. 若两个正项递增数列均是形数列，则对于任意正整数m，n，均有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 13. 已知为首项和公差均为1的等差数列，则满足的的最小值为_____. 14. 某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用AI技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码，并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖．其它情况不获奖，已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列为等差数列，为等比数列，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，证明：． 16. 某地理考察团队在甲、乙、丙三个区域内各抽取了6条河流对其平均含沙量（单位：）进行测量，得到如下表格数据． 区域 含沙量 甲 2.5，3.2，1.8，2.8，3.0，2.2 乙 1.2，0.8，0.9，1.1，0.7，1.3 丙 0.3，0.5，0.2，0.3，0.6，0.7 （1）求甲区域河流平均含沙量数据的第40百分位数与乙区域河流平均含沙量数据的方差； （2）从丙区域所抽取的河流中再抽取2条，记其中平均含沙量大于0.5的条数为X，求X的分布列及数学期望． 17. 某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 研发投入（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益（亿元） 3 7 9 10 11 （1）计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高） （2）求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过20（亿元），则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数） 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，. 18. 某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 不满意 150 合计 200 （1）请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系； （2）若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，，，3道试题答对与否互不影响. （i）用X表示能进入总决赛的人数，求X的数学期望； （ii）记有n人进入总决赛的概率为，求取最大值时的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19. 已知函数. （1）若，判断的单调性； （2）已知有两个零点，. （i）证明：； （ii）证明：. 高二年级质量检测四 数学学科 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】11 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1），. （2） ， 故 . 【16题答案】 【答案】（1）第40百分位数为2.5， （2）分布列: X 0 1 2 数学期望为 【17题答案】 【答案】（1）0.95，相关程度较高 （2），9.4亿元. ， 【18题答案】 【答案】（1）列联表如下：单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 30 150 不满意 80 70 150 合计 200 100 300 推断犯错误的概率不大于0.001 （2）（i）；（ii）12 【19题答案】 【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增 （2）（i）由题设且，则， 当时，，时，， 在上单调递减，在上单调递增，则， 由趋向于或时，都趋向于，由有两个零点， 所以，即，命题得证； （ii）证明：由题意，即， 所以，记，则， 要证，即证，即证， 记，，则， 记，则， 同（1）分析得，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增； 下证，由，由于时，显然成立， 故只需考虑时，是否成立，要证，即证， 由在区间上单调递减，即证， 即证，即证， 记，，， 记，，，所以在上单调递减， 又，所以，所以在区间上单调递减， 又，所以，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $