21.2.2解一元二次方程——公式法（第1课时）（教学课件）数学人教版九年级上册

第二十一章 一元二次方程 第一课时 21.2.2 公 式 法 学 习 目 标 1 2 3 理解通过配方得出的结论，认识只有当b²-4ac≥0时方程才有解，并且方程解的情况与= b²-4ac有关，理解根的判别式 =b²-4ac含义及其与方程根的情况之间的对应关系。 根据 = b²-4ac的值可以判定一元二次方程解的情况，并能应用根的判别式解决相关问题。 在运用根的判别式解题的过程中，培养严谨、规范、细致的运算习惯和书写习惯。 知识回顾 一、用配方法解一元二次方程的步骤 1、 移到方程右边. 2、二次项系数化为１； 3、将方程左边配成一个 式。 (两边都加上 ) 4、用 写出原方程的解。 常数项 完全平方 一次项系数一半的平方 平方根的意义 二、一元二次方程的一般形式是什么？ ax2+bx+c=0(a≠0) 解: 用配方法解方程： 2.化 把二次项系数化为1; 3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 1.移项:把常数项移到方程的右边; 过程详解 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 知识回顾 导入新课 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式： （≠ ） 用配方法解方程： （≠ ） 将下列一元二次方程写成一般形式 练一练 (1)3x(x－3)＝2(x－1)(x＋1) (2) (x＋2)2＝2x＋12 解：(1) 原方程可化为: x2－9x＋2＝0. (2) 原方程可化为: x2+2x-8＝0. 试一试 新知探究 探究点1 根的判别式 （2）方程两边同除以a，得　　　　　　　　　　　. （1）将常数项移到方程的左边，得　　　　　　　. （3）方程两边同时加上_______，得 左边写成完全平方式，右边通分，得 用配方法解方程： （≠ ） 试一试 ① 新知探究 探究点1 根的判别式 ∵a≠0, 4a2>0, ∴这个方程的解的情况由b²－4ac值的正负性决定的 讨论： 配方： 能直接开平方吗？ （1）当b²－4ac＞0 则 ① 由①开平方得 ∴方程有两个不等的实数根， 新知探究 探究点1 根的判别式 配方 ① （2）当b²－4ac=0 则 由①得 ∴方程有两个相等的实数根： （3）当b²－4ac＜0 则 由①得 开平方得 ∴方程无实数根. 负数没有平方根 b²－4ac 决定了一元二次方程根的情况 新知探究 探究点1 根的判别式 注意 一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac． 应用根的判别式时要先将一元二次方程整理为一般形式 典例分析 探究点1 根的判别式 例1．方程 根的判别式 b2-4ac的值为（ ） A．2 B． -3 C．17 D．-1 解： 原方程可变形为 a= ∴ b2-4ac= (-3)2-4×2×（-1）=17 C 新知探究 探究点2 根的判别式的应用 一元二次方程有根与判别式的关系 一元二次方程有两个不相等的实数根 当Δ=＞0时 当Δ==0时 一元二次方程有两个相等的实数根 当＜0时 一元二次方程没有实数根 已知方程根的情况如何判断方程根的判别式的符号？ 议一议 反之成立 典例分析 探究点2 根的判别式的应用 例2.若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围 解： ∵关于 的方程 有两个不相等的实数根 ∴ Δ= 解得： 例3．对于实数定义新运算“*”如下： ， 例如判断方的根的情况. 解： 将方程 化为 ， 即 0， ∵ Δ= ， ∴方程有两个相等的实数根． 拓展提升 探究点2 根的判别式的应用 1．己知关于的两个一元二次方程： 方程①： ； 方程②： (1)证明方程①总有实数根， (2)若方程②有两个相等的实数根，求k的值． (3)若方程①和②有一个公共根a，求代数式的值． 解：（1） ∴无论为何值时，方程总①有实数根 拓展提升 探究点2 根的判别式的应用 1．己知关于的两个一元二次方程： 方程①： ； 方程②： (1)证明方程①总有实数根， (2)若方程②有两个相等的实数根，求k的值． (3)若方程①和②有一个公共根a，求代数式 的值． （2）∵方程②有两个相等的实数根， 且0 14 拓展提升 探究点2 根的判别式的应用 1．己知关于的两个一元二次方程： 方程①： ； 方程②： (1)证明方程①总有实数根， (2)若方程②有两个相等的实数根，求k的值． (3)若方程①和②有一个公共根a，求代数式 的值． （3）根据 a是方程①和②的公共根， ④ ④×2+ ∴代数式的值为5 巩固练习 1．如果一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数m的取值情况是（    ） B． C． D． A． 解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根， ∴ C 2．若关于的一元二次方程 有实数根，求的取值范围. 巩固练习 解：关于的一元二次方程 有实数根 由①得： 由②得 且 ． 17 1．（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．（2023·四川广安·中考真题）已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判定 A △ 解：∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴方程的判别式 ， ∴方程有两个不相等的实数根 真题感知 B 真题感知 3.（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． （1）解： ∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ， 解得：； 真题感知 3.（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 当时， 方程为， （ -2）²， 解得：， （都是整数，此情况符合题意）； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时， 方程为， （ -3）² 解得： （不是整数，此情况不符合题意）； 当时， 方程为， （ -4）² 解得： （不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 课堂小结 （1）一元二次方程的根与判别式的关系 当 ＞0时，方程 有两个不相等的实数根； 当 =0时，方程 有两个相等的实数根； 当 ＜0时，方程 无实数根． 课堂小结 （2）根据的根的判别式来判别一元二次方程根的情况；反过来，根据一元二次方程根的情况可以得到根的判别式值的符号。 根的判别式Δ=的前提是方程为一般形式（≠0），特别注意二次项系数a不能为0. 课后作业 探究性作业 1．已知：关于的一元二次方程 ， (1)把这个方程化成一元二次方程的一般形式； (2)求证：无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根． 0 解：(1) 一般形式为: ∵无论m取何值 ∴无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根。 （2）对于方程0来说 $$