21.2.1解一元二次方程——配方法（第2课时）（教学课件）数学人教版九年级上册

第二十一章 一元二次方程 第二课时 21.2.1 配 方 法 学 习 目 标 1 2 理解配方法，能用配方法去解数字系数的一元二次方程 使学生认识到本节课学习的配方法解一元二次方程是后续学习（求根公式、二次函数）的重要基础，激发进一步学习的兴趣，在学习过程中体会数学的严谨性与逻辑性。 知识回顾 当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根：x1=x2=. 当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根 x1=x2=0. 当p<0时，方程x2=p无实数根. 一元二次方程x2=p的解法 做一做：填上适当的数，使下列等式成立 1.x2+12x + =(x+6)2； 2.x2-6x + =(x-3)2； 3.x2-4x + =(x - )2； 4.x2+8x + =(x + )2. 问题：上面等式的左边的常数项和一次项系数有什么关系？ 62 32 22 2 42 4 二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方. 上一节课学习了解方程（x+3）²=5，我们如何来解方程x²+6x+4=0呢？ （x+3）²=5 新知导入 x²+6x+4=0 转 化 配完全平方式 x²+6x+4=x²+6x+（ ）-（ ）+4=（ ）²-（ ） 根据完全平方公式：9是一次项系数6一半的平方，加9正好将x²+6x配成一个完全平方式 试一试： 9 9 x+3 5 新知探究 探究点1 配 方 法 移项 两边加上32,使左边配成完全平方式 左边写成完全平方的形式 开平方 变成了(x+h)2=k的形式 x²+6x+4=0 x²+6x=-4 x²+6x +32 =-4+ 32 （x+3）2 = 5 x+3=或x+3 = 求解 配方法： 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法。 配方目的是降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解． 基本步骤 新知探究 探究点1 配 方 法 概念： 将方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 目的： 关键： 配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解. 将方程配成完全平方形式. (若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”) 配方法概念 典例分析 探究点1 配 方 法 （1）x2-8x+1 ＝ 0 ； 例1．解下列方程 （2）2 x2＝3x ； (3)3x2－6x+4=0, ∴ x1＝ 4+，x2＝4- . (1)解：移项，得x2-8x ＝ -1 配方，得x2-8x+42＝ -1+42， 即（x-4）2＝15， x-4=± 二次项系数为1 典例分析 探究点1 配 方 法 （1）x2-8x+1 ＝ 0 ； 例1．解下列方程 （2）2 x2＝3x ； (3)3x2－6x+4=0, (2) 解：移项，得：2x2-3x=-1 二次项系数化为1： 配方，得： 二次项系数不为1 二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2。 典例分析 探究点1 配 方 法 （1）x2-8x+1 ＝ 0 ； 例1．解下列方程 （2）2 x2＝3x ； (3)3x2－6x+4=0, 二次项系数不为1，方程的两边都除以3后再配方 (3) 解：移项，得：3x2-6x=-4 二次项系数化为1： 配方，得： ∵(x-1)2≥0，- ＜0 ∴原方程无实数根. 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p. 规律总结 ①当p>0时，则 ，方程的两个根为 ②当p=0时,则(x+n)2=0，x+n=0,开平方得方程的两个根为 x1=x2=-n. ③当p<0时，则方程(x+n)2=p 无实数根. 新知探究 探究点2 方程(x+n)2=p 的解的情况 典例分析 探究点2 方程(x+n)2=p 的解的情况 例2．用配方法求当m取何值时，关于x的方程 x²-2x+m²-1 ＝ 0有两个相等的实数根． 解：移项，得： x²-2x＝- m²+1 配方，得： x²-2x+1＝- m²+1+1 （x-1）²＝- m²+2 当 时- m²+2 =0时，此方程有两个相等的实数根． 解 得： m=± ． 用配方法解一元二次方程x2+2bx+c=0的一般步骤： 一般步骤 方法 一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 二化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方将方程化为(x+n)2=p 形式 四化 开平方求根 将一元二次方程降次转化为一元一次方程 五解 解一元一次方程 写出方程的解或说明无实数解 新知探究 探究点3 配方法的基本步骤 配方法解方程的基本思路 把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程求解． 在二次项系数为1的前提下进行的.在方程两边都加上一次项系数一半的平方. 方程配方的方法 典例分析 探究点3 配方法的基本步骤 例3．配方法解一元二次方程2．下面是某同学的解题过程，请认真阅读并完成任务： 解：2， 第一步: ， 第二步 ， 第三步 ， 第四步 +1， 第五步 ，．第六步 任务一：该同学解答第________步出现了错，错误的原因是________________． 做这一步的依据是________________________ 任务二：写出用配方法解方程 解：2 2， ， ， ， +1， ，． 三 配方错误 等式的基本性质 正确过程如下： 任务二 13 拓展提升 用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2025 C． D．1 探究点3 配方法的基本步骤 解： ∴ =—1 C 巩固练习 1. 填空： 教材P9练习 2. 解下列方程： （5）无实数解； 你做对了吗？ 真题感知 1．（2020•泰安）将一元二次方程 化成 （a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　） A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69 ∵ ∴ 【解析】 A 真题感知 2.(2024·江苏连云港·中考真题)关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为____. ． 解: 配方 ∵关于 x的一元二次方程有两个相等的实数根， 真题感知 3.（2022•徐州）解方程： 解：移项， 系数化为1 配方 由此，得 方程解为 + 1=，2=1 课堂小结 1.移项:将未知数和常数项分别移到等号的左右两边； 2.系数化为1：将二次项系数化为1； 3.配方：方程两边同加上一次项系数一半的平方，将方程化为 (x+n)2=p的形式； 4.转化：将一元二次方程降次转化为一元一次方程（当(x+n)2=p中p＜0 时，方程无实数解）； 5.写解：写出一元一次方程的解或说明无实数解。 （一）配方法的基本步骤： 课堂小结 （二）配方法的基本步骤流程图 二次项系数 =1 ≠1 二次项的系数化成1 移项 配方 化为一次方程 （两边同除以二次项的系数） （移常数项到等号右边） (等式两边同加一次项系数一半的平方） （两边直接开平方） 1.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数根的方程为( ) A． x2+9=0 B．-2x2=0 C． x2-3=0 D．(x-2)2=0 A 课后练习 2.若将一元二次方程 x2－8x－9＝0 化成 (x+n)2=d 的形式，则n= ，d= ． -4 25 3.若x取全体实数，则代数式3x2-6x+4的值（ ） A．一定为正 B．一定为负 C．可能为0 D．正数、负数、0都有可能 【解析】 3x2-6x+4 =3（x2-2x+1）-3+4 =3（x-1）2+1. 故代数式恒大于0，所以一定为正. A 课后练习 　 4.你知道周瑜的年龄吗？ 大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ x2−11x+30=0 x=5 或 x=6 解：设个位数字为x，十位数字为x−3． x2 =10(x−3)+x 当x=5时 10(x−3)+x=25 当x=6时 10(x−3)+x=36 30岁 ∵周瑜去世年龄大于30岁，∴25不合题意舍去 ∴周瑜的年龄是36岁 （x-）2= $$