培优点05　活用抽象函数模型妙解压轴题 （9大题型）（讲义+精练）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

培优点05　活用抽象函数模型妙解压轴题 目录 01 重点解读 2 02 思维升华 3 03 典型例题 5 题型一：一次模型 5 题型二：正弦模型 7 题型三：余弦模型 9 题型四：指数模型 12 题型五：对数模型 13 题型六：二次模型 16 题型七：幂模型 18 题型八：正切模型 20 题型九：其他模型 22 04 课时精练 26 活用抽象函数模型解高考压轴题，是高考数学中极具挑战性与区分度的考查方向。此类题目常位于试卷末尾，定位为高难度综合题。抽象函数模型不给出具体解析式，仅通过函数性质（如单调性、奇偶性、周期性等）或特定运算关系描述，着重考查学生抽象思维、逻辑推理与知识迁移能力。考生需精准把握函数性质，灵活运用赋值法、特殊值法、数形结合等策略，将抽象问题具象化，突破思维瓶颈，从而在高考中脱颖而出，展现扎实的数学功底与卓越的解题能力。 抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等,一般通过代入特殊值求值、通过的变换判定单调性、出现及判定抽象函数的奇偶性、换x为确定周期性. 1、判断抽象函数单调性的方法 ①若给出的是“和型”抽象函数f(x+y)=…,判断符号时要变形为或； ②若给出的是“积型”抽象函数,判断符号时要变形为或. 2、常见的抽象函数模型 （1）一次函数模型 （2）二次函数模型 （3）幂函数模型 或 （4）指数函数模型 或 且 ) （5）对数函数模型 或 或 且 ) （6）正切函数模型 （7）正弦函数模型 （8）余弦函数模型 或 （9）双曲函数模型 或 题型一：一次模型 【例1】已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【变式1-1】已知函数的定义域为，对任意的，若对任意的，有，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高三·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【变式1-3】（2025·甘肃庆阳·一模）已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（    ） A． B．是奇函数 C． D．的图象关于点对称 【变式1-4】已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 题型二：正弦模型 【例2】（2025·辽宁·一模）对任意，都有，且不恒为0，函数，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【变式2-1】已知函数的定义域为，且满足，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．是奇函数 D． 【变式2-2】已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列正确的是（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．当时， D．当时， 【变式2-3】（2025·河北保定·一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 题型三：余弦模型 【例3】已知函数满足：，对任意实数都有，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知函数的定义域为R且则（    ） A． B． C．1 D． 【变式3-2】若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 【变式3-3】已知函数的定义域为，，且，则（   ） A．1 B． C．2024 D． 题型四：指数模型 【例4】已知函数满足：，，则的值（　　  ） A． B． C． D． 【变式4-1】如果函数对任意满足,且,则 A．505 B．1010 C．2020 D．4040 【变式4-2】如果函数对任意，满足，且，则 A．504 B．1009 C．2018 D．4036 题型五：对数模型 【例5】已知集合，定义在上的函数满足：，，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知定义在上的函数，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（多选题）（2025·福建福州·模拟预测）已知定义在上的函数满足,且当x>1时，， 则（     ） A． B． C． D． 题型六：二次模型 【例6】（2025·高三·河北保定·期末）已知函数满足：，，成立，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·山东济南·三模）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．为偶函数 C．有最小值 D．在上单调递增 【变式6-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．是偶函数 D．是偶函数 题型七：幂模型 【例7】（多选题）已知函数的定义域为，若，则以下一定成立的是（   ） A． B． C．为奇函数 D．在上是增函数 【变式7-1】（多选题）已知函数的定义域为，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 【变式7-2】（多选题）已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为上的减函数 D．为奇函数 【变式7-3】（多选题）已知函数的定义域是，对任意的实数、满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．函数为上的增函数 D．函数为奇函数 【变式7-4】（多选题）（2025·高三·山西运城·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B．是奇函数 C．函数是上的增函数 D． 题型八：正切模型 【例8】定义在的函数，当时，若，，，则P，Q，R的大小为　　 A． B． C． D． 【变式8-1】已知函数定义在区间上，，且当x，时，恒有，又数列满足，，设，对于任意的，的最小自然数m的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型九：其他模型 【例9】（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数满足：，且，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【变式9-1】（多选题）（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数对任意实数a，b都有，且，则（    ） A． B． C． D．若x为正整数，则 【变式9-2】（2025·高三·河北承德·期中）设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数x，y均有，则（   ） A．0 B．1012 C．2024 D．4048 【变式9-3】已知函数满足：对，都有，且，则以下选项错误的是（    ） A． B． C． D． 1．已知函数满足，，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（    ） A． B．0 C． D．1 3．已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 4．已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 5．已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有.若，则（    ） A． B．-1 C． D．0 6．已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 7．已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是减函数 8．已知函数的定义域为，若，则下列选项不正确的有（    ） A． B． C．函数是增函数 D．函数是奇函数 9．（2025·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 10．（多选题）（2025·四川成都·三模）已知函数，对任意，均有，且为的导函数，则（    ） A． B．为奇函数 C． D． 11．（多选题）若定义在R上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．若，则不等式的解集为 12．（多选题）已知函数的定义域为，对任意实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为减函数 D．为奇函数 13．（多选题）已知函数的定义域为，对任意，总有，且当时，，则（   ） A． B． C．为奇函数 D．函数在上单调递增 14．（多选题）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．方程有唯一的实数解 D．函数有最小值 15．（多选题）已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（    ） A．函数为偶函数 B．8是的一个周期 C．的图象关于点对称 D． 16．（多选题）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．方程有唯一的实数解 D．函数有极大值 17．（多选题）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则或 18．（多选题）（2025·高三·江苏南京·开学考试）已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 19．（多选题）（2025·山西阳泉·三模）已知定义在上的函数满足，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递减 C．是偶函数 D．在在上单调递增 20．（多选题）设函数的定义域为，且满足，当时，，则下列说法一定正确的是（    ） A．是偶函数 B．不是奇函数 C．函数有10个不同的零点 D． 21．（多选题）（多选）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．为奇函数 D．为增函数 22．（多选题）（2025·甘肃白银·三模）已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D．函数的值域为 23．（多选题）（2025·海南·三模）已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（   ） A． B．是奇函数 C． D．若，则 24．（多选题）（2025·高三·江苏南通·期末）若函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的，均满足：，，记，则（    ） A． B． C． D． 25．（多选题）（2025·江西鹰潭·二模）若函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的均满足：，，记，则（    ） A． B．是偶函数 C． D． 26．（多选题）（2025·重庆·三模）函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的x，均满足：，，则（    ） A． B． C． D． 27．（多选题）（2025·高三·江苏苏州·开学考试）已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．若，则 28．（多选题）已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则 D．若当时，，则在单调递减 29．（多选题）（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，，则下列说法中正确的是（　　） A．为偶函数 B． C． D． 30．（多选题）（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的定义域为R，且，则下列说法中正确的是（   ） A．为偶函数 B． C． D． 31．（多选题）定义在上的函数满足，且当时，则（   ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 32．（多选题）定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论中正确的有（    ） A．是奇函数 B．是增函数 C． D． 33．（多选题）（2025·浙江·模拟预测）若定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ）． A．若，，，则 B．若，则 C．若，则的图像关于点对称 D．若，则 34．定义在上的函数满足当时，，且对任意的、，有，，则不等式的解集为   . 35．已知定义在上且不恒为0的函数满足如下条件：（1），（2）当时，；则下列结论中正确的是 ． ①； ②函数是奇函数； ③函数在上是减函数； ④不等式的解集为 36．若定义在的函数满足，且有对恒成立，则的最小值为 ． 37．已知函数满足：对任意实数、，都有成立，且，则 ． 38．已知函数满足，，则的值为 . 39．如果且，则 ． https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优点05　活用抽象函数模型妙解压轴题 目录 01 重点解读 2 02 思维升华 3 03 典型例题 5 题型一：一次模型 5 题型二：正弦模型 7 题型三：余弦模型 9 题型四：指数模型 12 题型五：对数模型 13 题型六：二次模型 16 题型七：幂模型 18 题型八：正切模型 20 题型九：其他模型 22 04 课时精练 26 活用抽象函数模型解高考压轴题，是高考数学中极具挑战性与区分度的考查方向。此类题目常位于试卷末尾，定位为高难度综合题。抽象函数模型不给出具体解析式，仅通过函数性质（如单调性、奇偶性、周期性等）或特定运算关系描述，着重考查学生抽象思维、逻辑推理与知识迁移能力。考生需精准把握函数性质，灵活运用赋值法、特殊值法、数形结合等策略，将抽象问题具象化，突破思维瓶颈，从而在高考中脱颖而出，展现扎实的数学功底与卓越的解题能力。 抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等,一般通过代入特殊值求值、通过的变换判定单调性、出现及判定抽象函数的奇偶性、换x为确定周期性. 1、判断抽象函数单调性的方法 ①若给出的是“和型”抽象函数f(x+y)=…,判断符号时要变形为或； ②若给出的是“积型”抽象函数,判断符号时要变形为或. 2、常见的抽象函数模型 （1）一次函数模型 （2）二次函数模型 （3）幂函数模型 或 （4）指数函数模型 或 且 ) （5）对数函数模型 或 或 且 ) （6）正切函数模型 （7）正弦函数模型 （8）余弦函数模型 或 （9）双曲函数模型 或 题型一：一次模型 【例1】已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】B 【解析】函数的定义域为R，对任意实数满足， 令，可得，即有，故A正确；由，可得，，即，可得，故B错误；令，则，即，则函数为奇函数，故D正确； 令，可得即，当时，，即， 设，即，即有， 则在上递增，故C正确． 故选：B． 【变式1-1】已知函数的定义域为，对任意的，若对任意的，有，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，有，得 令，，所以函数是奇函数， 由可知，当，，即，所以单调递减， 不等式， 所以，解得：. 故选：A 【变式1-2】（2025·高三·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【解析】因为， 所以令，可得， 令，则， 所以， 则既不是奇函数又不是偶函数， 且， 所以是奇函数. 故选：C 【变式1-3】（2025·甘肃庆阳·一模）已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（    ） A． B．是奇函数 C． D．的图象关于点对称 【答案】D 【解析】取，则，即，得，故A正确； 取，则，得，故是奇函数，B正确； 对任意的都有，可得， 因此的图象关于点对称，故D错误； 由于且是奇函数，得，即， 因此，C正确. 故选：D 【变式1-4】已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【解析】对于A， 令，则，得， 所以或， 当时，不恒成立，所以，所以A错误， 对于B，令，则，得， 所以，或， 由选项A可知，所以，所以B错误， 对于CD，令，则，由选项A可知， 所以，所以， 令，则， 所以为奇函数，即为奇函数，所以C错误，D正确， 故选：D 题型二：正弦模型 【例2】（2025·辽宁·一模）对任意，都有，且不恒为0，函数，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解析】令，可得，所以， 令，可得， 因为不恒为0，所以，所以是奇函数， 因为， 所以. 故选：B. 【变式2-1】已知函数的定义域为，且满足，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】B 【解析】令，则，解得，故A正确； 令，则，即， 因为不恒为0，所以，且定义域为，故函数为奇函数，故C正确； 令，则，因为不恒为0，且， 所以只能，从而，周期为4， 显然，故B错误D正确. 故选：B 【变式2-2】已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列正确的是（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．当时， D．当时， 【答案】D 【解析】对于A， 令，则，得， 令，得， 由整理可得， 由题干可知不恒为0，故， 即，故是奇函数，不是偶函数，A错误； 对于B，设，则， 则， 且， 故，则， 又，是奇函数，故是增函数， 由是增函数可得不是周期函数，故B错误； 对于C，时，，， ，，C错误； 对于D，时，， ，，D正确. 故选：D. 【变式2-3】（2025·河北保定·一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】函数的定义域为，且有， 令，得，解得； 令，得，则， 而，即不恒为0，因此，函数为奇函数， 由为偶函数，得，则， 于是，，8为的一个周期， 由，得，即 ，因此，所以. 故选：B 题型三：余弦模型 【例3】已知函数满足：，对任意实数都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，得，即， 所以，两式相加可得， 所以，则，可得， 所以的周期为6， 由，得， 令，则，即恒成立，则， 由，得， 所以，且， 由，得，则， 从而， ∴ . 故选：B 【变式3-1】已知函数的定义域为R且则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】令得， ， 又 ，所以 ①， ①中将替换为 ，得 ②， 由①+②，得 ③， ③中将替换为 ，得 ， ③中将替换为 ，得 ， 所以 的周期为6， 令，得 . 由①，易得 ， 同理 ， 所以 ， . 故选：A 【变式3-2】若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 【答案】A 【解析】令，，得，得， 令，， 又，故，即， 故得到周期， 令，，即，故是偶函数， 又，，所以得到图象关于对称， 所以，，，， 所以. 故选：A 【变式3-3】已知函数的定义域为，，且，则（   ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】B 【解析】令，，则，因为，所以， 令，则， 则， 则，所以以6为周期， 令，得，所以， 则． 故选：B． 题型四：指数模型 【例4】已知函数满足：，，则的值（　　  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由,, 令,得,所以, 令可得 所以 . 故选:C. 【变式4-1】如果函数对任意满足,且,则 A．505 B．1010 C．2020 D．4040 【答案】C 【解析】函数对任意，满足，且， ， ． 故选． 【变式4-2】如果函数对任意，满足，且，则 A．504 B．1009 C．2018 D．4036 【答案】C 【解析】根据以及，找到规律，由此求得所求表达式的值.由于函数对任意，满足，且， 令，则； 令，则，； 以此类推，可知， 所以. 故选：C 题型五：对数模型 【例5】已知集合，定义在上的函数满足：，，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，得，故， 令，得，故， 令，得，即， 令，则定义域为，且，故为偶函数. ，且， 则， ∵，∴， ∵时，，∴，故， ∴，即， ∴在上为增函数，在上为减函数， 由得，，即， ∴，解得且，故不等式的解集为. 故选：D. 【变式5-1】已知定义在上的函数，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， ， 依次类推可得。 故选：C 【变式5-2】（多选题）（2025·福建福州·模拟预测）已知定义在上的函数满足,且当x>1时，， 则（     ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由题意，，. 赋值，得； 赋值，得，即， 当时，， 当时，则，所以，即； 所以，A正确， 取，则，，显然不成立，B错， 赋值，得，解得， 即； 由，， 得， 其中由，可知， 当时，，即； 当时，，即；故C错误； ，得； 又，所以， 则， 故，且不恒为，故D正确. 故选：AD. 题型六：二次模型 【例6】（2025·高三·河北保定·期末）已知函数满足：，，成立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，所以， 令，则， 所以， 令，则，所以， 令，则， 所以， 则当时，， 则 ， 当时，上式也成立， 所以， 所以. 故选：C. 【变式6-1】（2025·山东济南·三模）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．为偶函数 C．有最小值 D．在上单调递增 【答案】C 【解析】由于函数的定义域为R，且， 令，则，得， 时，恒成立，无法确定，A不一定成立； 由于不一定成立，故不一定为偶函数，B不确定； 由于的对称轴为与的位置关系不确定， 故在上不一定单调递增，D也不确定， 由于表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确， 故选：C 【变式6-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．是偶函数 D．是偶函数 【答案】C 【解析】对于A，因为函数的定义域为，且满足， 取，得，则， 取，得，则，故错误； 对于B，取，得，则， 所以， 以上各式相加得， 所以， 令，得，此方程无解，故B错误. 对于CD，由知， 所以是偶函数， 不是偶函数，故C正确，错误. 故选：C. 题型七：幂模型 【例7】（多选题）已知函数的定义域为，若，则以下一定成立的是（   ） A． B． C．为奇函数 D．在上是增函数 【答案】AC 【解析】对于A，令，可得，所以，故A正确； 对于B，当时，显然符合题设条件，此时，不一定有， 故B错误. 对于C，令，，所以， 令，时可得，所以为奇函数， 故C正确； 对于D，当时，显然符合题设条件，此时在上不具备单调性，故D错误. 故选：AC. 【变式7-1】（多选题）已知函数的定义域为，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】ABC 【解析】对于A选项，令，则，即，A正确； 对于B选项，令，则，令，则，则，故.B正确； 对于C选项，是奇函数，C正确； 对于D选项，是非奇非偶函数，D不正确. 故选：ABC. 【变式7-2】（多选题）已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为上的减函数 D．为奇函数 【答案】AD 【解析】依题意，且， 令，得，故A选项正确. 令，则， 即，故B选项错误 由于，故C选项错误. 令，得， 即， 即， 所以为奇函数，故D选项正确. 故选：AD 【变式7-3】（多选题）已知函数的定义域是，对任意的实数、满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．函数为上的增函数 D．函数为奇函数 【答案】ACD 【解析】对于A选项，对任意的实数、满足， 令可得，解得，A对； 对于B选项，令，可得， 即，解得， 再令可得，B错； 对于D选项，令， 由可得， 即，且， 令，则，即， 所以，函数为奇函数，D对； 对于C选项，由题意可知，当时，， 当时，，即时，， 故当时，， 任取、且， 则， 即函数在上为增函数，C对. 故选：ACD. 【变式7-4】（多选题）（2025·高三·山西运城·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B．是奇函数 C．函数是上的增函数 D． 【答案】ABD 【解析】对于A，令，则，所以，即A正确； 对于B，由得， 令，则有， 令，则有即， 所以是奇函数，即B正确； 对于C，根据选项B可知，令为一次函数， 可得，函数不一定是R上的增函数，即C错误； 对于D，由， 令，则有， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，即D正确. 故选：ABD 题型八：正切模型 【例8】定义在的函数，当时，若，，，则P，Q，R的大小为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取，则， 所以，，令x=0,则-f(y)=f(-y),故函数在(-1,1)上是奇函数， 当-1<x<0时，f(x)<0,则当0<x<1时，f(x)>0,所以P>R,Q>R, 由，得：= 所以 所以 所以． 故选D． 【变式8-1】已知函数定义在区间上，，且当x，时，恒有，又数列满足，，设，对于任意的，的最小自然数m的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】令时，则由已知有， 可得再令，， 则有，即， 是上的奇函数. 令，，于是， 由已知得， ，数列是以为首项， 2为公比的等比数列. ，， ， 又任意的，，，即， 故自然数m的最小值为5. 故选：C. 题型九：其他模型 【例9】（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数满足：，且，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由，用代换，可得， 联立方程组，可得，即， 又由函数为偶函数，且，可得与同号， 所以，可得函数是周期为的函数， 因为，与同号，则， 令，可得，所以， 则. 故选：C. 【变式9-1】（多选题）（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数对任意实数a，b都有，且，则（    ） A． B． C． D．若x为正整数，则 【答案】ABD 【解析】令，得， 因为，所以，故A对； 令得， 令得，故B对； 由得， 所以函数是周期为8的函数， 又， 所以， 所以， 所以， 又，函数是周期为8的函数， 如，则，故C错； 若x为正整数，则， 所以，故D对； 故选：ABD 【变式9-2】（2025·高三·河北承德·期中）设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数x，y均有，则（   ） A．0 B．1012 C．2024 D．4048 【答案】B 【解析】令，则，∴． 令，则， 又，． 令，则， ∴函数的图象关于直线对称． 令，则， ∴ ∴的图象关于点对称． ∴， ∴是周期的函数． 又，，，， ∴当为偶数时，． 当为偶数时，也为偶数，此时； 当为奇数时，令，，则． ． 故选：B． 【变式9-3】已知函数满足：对，都有，且，则以下选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，令，则， 令，则，所以， 因为，所以， 令，则，故A正确； 对于B，结合选项A可得，所以或， 若，则， 所以，此时与矛盾，舍去； 若，则，解得， 因为，所以，故B错误； 对于C，令则， 因为，，所以，所以为偶函数， 令，则， 所以，令，则， 即，故C正确； 对于D，由为偶函数，得， 则，则， 所以，故D正确. 故选：B. 1．已知函数满足，，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】由题，，， 令，可得， 则， 即，即， 所以，函数是周期为12的周期函数， 则. 故选：C. 2．（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【解析】令，则，所以； 令，则， 所以的图象关于直线对称； 令，则， 因为不恒成立，所以恒成立，所以为奇函数， 所以，所以， 所以是周期为8的周期函数，令，则， 解得，又为奇函数，所以， 所以. 故选：A. 3．已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 【答案】D 【解析】对A，令，则， 由，则，即，所以，故A错误； 对B，令，则，因为， 所以，解得，故B错误； 对于C，令，则， 又，所以，则， 当时，，不满足奇函数的定义， 所以不是奇函数，故C错误； 对D，由C选项知，，即， 所以，，故D正确. 故选：D 4．已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 【答案】C 【解析】令，则， 则，故A错误； 令，则， 则，故B错误； 令， 则， 所以为偶函数，故C正确； 由，，可知不是增函数，D错误. 故选：C 5．已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有.若，则（    ） A． B．-1 C． D．0 【答案】D 【解析】对任意实数x，y，都有，， 取，得，即，解得， 取，得，即，解得， 任意，则，因此， 取，得，则，， 所以. 故选：D 6．已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 【答案】B 【解析】对于A，令，可得，解得，故A错误； 对于B，令，可得，又， 则，所以函数是奇函数，故B正确； 对于C，令，得，则是周期函数，周期为2，所以，故C错误； 对于D，令，，且，则， 即，而时，与2大小不定，故D错误. 故选：B. 7．已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是减函数 【答案】C 【解析】对于A，令、，则有， 又，故，即， 令、，则有， 即，由，可得， 又，故，故A正确； 对于C，令，则有， 则，故函数是奇函数，故C错误； 对于D，有，即， 则函数是减函数，故D正确； 对于B，由，令，有，故B正确． 故选：C. 8．已知函数的定义域为，若，则下列选项不正确的有（    ） A． B． C．函数是增函数 D．函数是奇函数 【答案】C 【解析】在中， 令，则， 因为，所以． 令，则， 所以，故A对． 令，则， 则，所以，故B对． 是减函数，故C错． ，所以是奇函数，故D对． 故选：C． 9．（2025·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】C 【解析】令，则，故，A选项错误； 令，则，故，B选项错误； 令，则，故为偶函数，C选项正确； 因为为偶函数，又函数是定义在上不恒为零的函数，D选项错误. 故选：C 10．（多选题）（2025·四川成都·三模）已知函数，对任意，均有，且为的导函数，则（    ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】ABD 【解析】令，得，解得，故A正确； 令，得，所以，即为奇函数，故B正确； 令，得. 因为，所以， 所以， 所以的周期是4，所以， 所以，故C错误； 对两边求导，得，所以的周期为4. 对两边求导，，所以.对于中关于求导， 可得， 令，可得， 令，可得.又因为， 所以，所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11．（多选题）若定义在R上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．若，则不等式的解集为 【答案】AB 【解析】对A，令，得，A正确； 对B，，所以函数为奇函数，B正确； 对C，在R上任取，则，所以, 又， 所以函数在R上是增函数，C错误； 由， 得． 由得． 因为函数在R上是增函数，所以，解得或． 故原不等式的解集为或，D错误． 故选:AB． 12．（多选题）已知函数的定义域为，对任意实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为减函数 D．为奇函数 【答案】AD 【解析】对A，令可得，，解得，A正确； 对B，令可得，， 再令可得，，解得，B错误； 对C，因为，，所以,C错误； 对D，令，则， 所以，即， 所以函数为奇函数，D正确； 故选:AD. 13．（多选题）已知函数的定义域为，对任意，总有，且当时，，则（   ） A． B． C．为奇函数 D．函数在上单调递增 【答案】ACD 【解析】对任意，总有， 对于A，令，得，解得，A正确； 对于B，令，得，解得，B错误； 对于C，，，为奇函数，C正确； 对于D，令，则，当时，， 对，恒有，即， ，则，，， 因此函数在上单调递增，D正确. 故选：ACD 14．（多选题）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．方程有唯一的实数解 D．函数有最小值 【答案】ABD 【解析】令，得. 因为，所以，即，A正确. 令，得，由，得. 又，所以. 令，得，即，所以， 因为为增函数，且，所以，B正确. 所以等价于.设，因为，所以在上必有一个零点，又， 所以的零点不唯一，从而方程的实数解不唯一，C错误. 因为，所以函数有最小值，D正确. 故选：ABD. 15．（多选题）已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（    ） A．函数为偶函数 B．8是的一个周期 C．的图象关于点对称 D． 【答案】BCD 【解析】对于A，令，得，则， 令，得，函数为偶函数， 则，因此函数为奇函数，A错误； 对于B，令，， 于是，函数周期为4，则8也为函数的一个周期，B正确； 对于C，由选项B知，函数的图象关于对称， 又周期为4，，因此的图象关于点对称，C正确； 对于D，由，得， 所以，D正确. 故选：BCD. 16．（多选题）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．方程有唯一的实数解 D．函数有极大值 【答案】AB 【解析】对于A，令，得. 因为，所以，即，A正确； 对于B，令，得，由，得. 又，所以. 令，得，即，所以， 因为为增函数，且，所以，故B正确； 对于C，由B项可知，等价于.设， 因为，所以在上必至少有一个零点， 又，所以的零点不唯一，从而方程的实数解不唯一，故C错误； 对于D，因，故函数只有极小值，没有极大值，故D错误. 故选：AB. 17．（多选题）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则或 【答案】BCD 【解析】对选项A，令，则，所以， 再令，则，所以，所以选项A错误； 对选项B，定义在上的函数，定义域关于原点对称， 令，则， 所以，所以， 所以是偶函数，所以选项B正确； 对选项C，设，则， 因为当时，，所以， 由，知， 所以，所以， 所以在上单调递增， 因为，所以，所以选项C正确； 选项D，由选项B分析可知是偶函数，由选项C知在上单调递增， 所以在上单调递减，又， 若，则，解得且，所以选项D正确． 故选：BCD． 18．（多选题）（2025·高三·江苏南京·开学考试）已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，令，则有，即， 令，则有，所以， 所以函数不关于中心对称，故A错误B正确； 对于C，令，则有,即， 则, ，故C正确； 对于D，令，则有,即，则，即，又， 令,，则有， 所以数列是等差数列，首项为，公差为1， 所以， 即， 则，故D错误． 故选：BC． 19．（多选题）（2025·山西阳泉·三模）已知定义在上的函数满足，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递减 C．是偶函数 D．在在上单调递增 【答案】AB 【解析】定义在上的函数满足， 令，则，所以， 令，则，所以， 令，则， 所以， 令，则，所以， 因为，且定义域关于原点对称，所以函数是奇函数， 由反比例函数的单调性可得函数在和上单调递减. 故选：AB. 20．（多选题）设函数的定义域为，且满足，当时，，则下列说法一定正确的是（    ） A．是偶函数 B．不是奇函数 C．函数有10个不同的零点 D． 【答案】AC 【解析】，且关于直线对称； 又，且关于中心对称； ，则是周期为8的周期函数； 对于，令，则为偶函数，正确； 对于，令， 则 为奇函数，不正确； 对于，作出和的图象如下图所示， 当时，，又， 由图象可知：与共有10个不同的交点， 则有10个不同的零点，正确； 对于， 错误. 故选：AC 21．（多选题）（多选）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．为奇函数 D．为增函数 【答案】ABC 【解析】对于选项A，令，得，故选项A正确； 对于选项B，令，，得，故选项B正确； 对于选项C，令，得，故，所以为奇函数，故选项C正确； 对于选项D，因为，所以不是增函数，故选项D错误； 故选：ABC． 22．（多选题）（2025·甘肃白银·三模）已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D．函数的值域为 【答案】AC 【解析】令，得，解得或. 若，令，得，则， 此时，而， 显然不恒成立. 若，同理得，代入恒等式中验证有恒成立， 故，A正确，B错误. 易知是偶函数，且在上单调递增. 因为，且等号不能同时成立，所以， 则，则，C正确. ，易得的值域为，D错误. 故选：AC 23．（多选题）（2025·海南·三模）已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（   ） A． B．是奇函数 C． D．若，则 【答案】ABD 【解析】对于A，令可得：， 所以，正确； 对于B，令，可得：， 令可得：，即， 所以，即是奇函数，正确； 对于C：令，可得， 由B可得：， 所以，C错误； 对于D，令，可得：， 所以 所以， ， , 累加可得： 所以， 化简可得：， 当时，代入可得满足， 所以，则， 故选：ABD 24．（多选题）（2025·高三·江苏南通·期末）若函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的，均满足：，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】令，得，即，故A正确； 因为，则， 又因为，是定义在上不恒为零的可导函数，所以可设， 因为，所以，即，则， 所以，则，故B错误； 令，所以，所以， 所以，所以，则， 所以，，，， 累加得：，所以选项C正确； 因为， 所以， ， ， ， 累加得：，即， 设，则， 所以，即， 所以，，，， 累加得， 所以，即 所以，故D正确. 故选：ACD. 25．（多选题）（2025·江西鹰潭·二模）若函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的均满足：，，记，则（    ） A． B．是偶函数 C． D． 【答案】ACD 【解析】令，得，即，故A正确； 对于选项B：令，可得，解得， 令，，可得，所以的图象不是偶函数，故B错误； 令，所以，所以，所以， 所以，则，所以，， ，累加得：，所以选项C正确； 对于选项D，， 又，所以， 设， 则， 所以， 所以 即，故D正确． 故选：ACD． 26．（多选题）（2025·重庆·三模）函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的x，均满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】令，得，代入，得， 当为正整数时，， 所以， 所以，代入，得， 所以，又当时，也符合题意， 所以. 当不为正整数时，经验证也满足， 故为任意实数时，都有. 所以，故A正确；，故B正确； 所以，，故C不正确； 所以， 令， 则， 所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD 27．（多选题）（2025·高三·江苏苏州·开学考试）已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．若，则 【答案】ACD 【解析】因为，所以令，得，故A正确； 令，得，所以， 令，得，所以，故B错误； 令，得，又，所以， 所以函数是奇函数，故C正确； 令，得， 又，，所以，故D正确； 故选：ACD. 28．（多选题）已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则 D．若当时，，则在单调递减 【答案】ACD 【解析】A：令，可得，对； B：令，则， 由在上的不恒为零，故不恒成立，错； C：令，则，则， 令，则，对； D：若，则，即， 取，则，显然，即， 所以，即，故在单调递减，对. 故选：ACD 29．（多选题）（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，，则下列说法中正确的是（　　） A．为偶函数 B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，因为的定义域为，且， 令，则，故，则， 令，则， 又令,结合得，所以不是偶函数，故A错误． 对于B，令，则． 而，，所以，故B正确． 对于C，由选项B可知，， 令，则，所以． 又因为为奇函数，所以，所以，故C正确． 对于D，由选项B以及，可得， 所以，， 令得 , 结合递推可得，． 因为，故，故D错误． 故选：BC 30．（多选题）（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的定义域为R，且，则下列说法中正确的是（   ） A．为偶函数 B． C． D． 【答案】BD 【解析】令，则. 另令，则，由，所以不成立， 所以，所以函数为奇函数，故A错误； 令，，则，故B正确； 令，，则， 又，所以，故C错； 令得.且，，. 所以；； 所以，又，， 所以； 所以； 所以 所以，故D正确. 故选：BD 31．（多选题）定义在上的函数满足，且当时，则（   ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 【答案】ABC 【解析】对于A，令，可得，即，故A正确； 对于B，令，可得，且定义域为，故B正确； 对于C，令，则，， 所以，所以，且当时， 所以，即， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，令，可得， 所以，即， 又函数为增函数，所以， 所以，故D错误； 故选：ABC. 32．（多选题）定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论中正确的有（    ） A．是奇函数 B．是增函数 C． D． 【答案】ABC 【解析】对于选项A：因为， 令，则，可得， 令得：， 再以代，得：， 两式相加得：，即， 令，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，且， 所以在内的值域为， 由，，即，， 所以定义在上的函数为奇函数，故A正确； 对于选项B：因为函数为定义在上的奇函数，且当时，， 不妨设，则， 因为，则且 可知，所以， 则，即， 故函数在上为增函数，B正确； 对于选项C，令，且， 则，即，故C正确； 对于选项D：令，且， 则， 因为，且函数在上为增函数，可得， 即，所以，故D错误. 故选：ABC. 33．（多选题）（2025·浙江·模拟预测）若定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ）． A．若，，，则 B．若，则 C．若，则的图像关于点对称 D．若，则 【答案】BC 【解析】令，则， ∴为奇函数，把y用代替，得到， 设，，∴． 又∵当时，，∴， ∴在上单调递减． ∵，， 当时，，则当时，则，， 当时，则，． 综上，，∴A错误． 令，得，∴， 令，得，∴，∴B正确． 由，得，得， 又∵，为奇函数，∴， 则，则的图像关于点对称，∴C正确． ， 假设，可得，即， 当时，不成立得出矛盾假设不成立，∴D错误． 故选：BC. 34．定义在上的函数满足当时，，且对任意的、，有，，则不等式的解集为   . 【答案】 【解析】对任意的、，有， 设得， 即，， 对，有， 中有， 由已知可得，当时，； 当时，； 当时，， 又， 故对于一切，有，， 函数为增函数， 再令，得，得， ， ，解得， 故原不等式的解集为， 故答案为：. 35．已知定义在上且不恒为0的函数满足如下条件：（1），（2）当时，；则下列结论中正确的是 ． ①； ②函数是奇函数； ③函数在上是减函数； ④不等式的解集为 【答案】①②③ 【解析】①：令，则， 令，则， 所以，故①正确； ②：令，则， 所以函数为奇函数，故②正确； ③：，且，令，则， 所以，又当时，则， 所以，故， 所以函数在上是减函数，故③正确； ④：若，则， 由性质（2）可得，得， 由②可知函数为奇函数，得，， 同理，当时，，当时，， 由，得或， 所以不等式的解集为，故④错误. 故选：①②③. 36．若定义在的函数满足，且有对恒成立，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， 设，则， 因此 ， 所以， 取，得， 所以， 所以 的最小值为. 故答案为：. 37．已知函数满足：对任意实数、，都有成立，且，则 ． 【答案】     【解析】在中，令，得 ，． 令，，得，． 又，所以，即 ，，． 又， ， 所以． 故，． 38．已知函数满足，，则的值为 . 【答案】 【解析】由题意可得、，代入化简即可得解.由，， 令，，可得， 所以， 令可得， 所以 . 故答案为：. 39．如果且，则 ． 【答案】20 【解析】令，，则，， . 故答案为：. https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$