第10讲 点的位置与坐标系-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第10讲 点的位置与坐标系思维导图 知识点1 认识平面直角坐标系 一、平面直角坐标系的概念及组成要素 平面直角坐标系是在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴组成的。水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向。两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 二、点的坐标表示方法 平面直角坐标系中，点的位置可以由一对有序实数来确定，这对有序实数即为该点的坐标。表示方法为先横后纵，例如点A的坐标为(x,y)，其中x为横坐标，y为纵坐标。 坐标轴上点的坐标特征 1. x轴上的点，其纵坐标为0，横坐标可以是任意实数，表示为(x,0)。 2. y轴上的点，其横坐标为0，纵坐标可以是任意实数，表示为(0,y)。 四、象限内点的坐标符号规律 平面直角坐标系被坐标轴分为四个象限： 1. 第一象限：x>0，y>0，即横纵坐标都为正。 2. 第二象限：x<0，y>0，即横坐标为负，纵坐标为正。 3. 第三象限：x<0，y<0，即横纵坐标都为负。 4. 第四象限：x>0，y<0，即横坐标为正，纵坐标为负。 注意，坐标轴上的点不属于任何象限。 知识点2 建立合适的平面直角坐标系 一、建立平面直角坐标系的方法 1、根据图形的特点建立坐标系：例如，以正方形的两条边所在的直线为坐标轴，或以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系。建立不同的平面直角坐标系，同一个点就会有不同的坐标。 2、根据实际需要建立坐标系：在实际应用中，我们需要根据问题的具体需求来建立合适的平面直角坐标系。例如，在描述物体的运动轨迹时，我们可以以物体的初始位置为原点，以物体的运动方向为坐标轴的方向来建立坐标系。 二、平面直角坐标系的应用 1、确定点的位置：在平面直角坐标系中，我们可以根据点的坐标来确定点的位置。反之，我们也可以根据点的位置来确定其坐标。 2、描述图形的形状和大小：通过建立平面直角坐标系，我们可以将图形上的点转化为坐标，从而用代数方法来描述图形的形状和大小。例如，我们可以计算图形的面积、周长等几何量。 3、解决实际问题：平面直角坐标系在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。例如，在物理学中，我们可以利用坐标系来描述物体的位置、速度和加速度；在工程学中，我们可以利用坐标系来确定建筑物的位置、尺寸和形状；在计算机图形学中，我们可以利用坐标系来表示屏幕上的像素点，实现图像的绘制和编辑。 三、注意事项 1、在建立平面直角坐标系时，要注意坐标轴的方向和单位长度，确保坐标系的准确性和一致性。 2、在利用平面直角坐标系解决问题时，要注意坐标系的平移和旋转对点坐标的影响，避免产生错误的结果。 综上所述，建立合适的平面直角坐标系是解决数学问题、描述图形形状和大小以及解决实际问题的重要工具。 教材习题01 写出图中的多边形各个顶点的坐标． 解：根据直角坐标系的知识可得：，，，，． 教材习题02 在直角坐标系中描绘下列各点，并将各组内这些点依次用线段连接起来．，，，． (1)图形中哪些点在坐标轴上？ (2)线段与x轴有什么位置关系？ （1）解：如图所示： 点D、A、B在坐标轴上； （2）解：线段平行于x轴． 教材习题03 如图，建立平面直角坐标系，使点的坐标分别为． (1)在图中画出平面直角坐标系； (2)写出点的坐标． （1）解：建立平面直角坐标系如图所示： （2）解：由图可得，． 考点一、判断点所在的象限 1．冰壶，这项被誉为冰上 “国际象棋” 的运动，在冰面展开智慧与技巧的较量．瞧，这是奥运会冰壶比赛的某场赛事中红、黄两队某局投壶结束后的场景，冰壶散落分布．此刻，我们以冰壶大本营的中心点作为原点，构建起平面直角坐标系．比赛规则很明确，哪队的冰壶距离原点更近，哪队就是本局赢家．则胜方最靠近原点的壶所在位置位于(     ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了点所在象限的确定，找到胜方壶所在的位置成为解答本题的关键．先找到最靠近原点的壶所在方位，然后指出其所在的象限即可． 【详解】解：根据题意可得，最靠近原点的壶在原点的右上方， 胜方最靠近原点的壶所在位置位于第一象限． 故选：A． 2．若点在第一象限，则点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了判断坐标轴中的点所在象限，正确判断点的横、纵坐标正负号是解题关键．先根据所在象限判断出、与零的大小关系，然后再判断的横纵坐标的正负情况即可． 【详解】解：∵在第一象限， ∴， 则， ∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数，点在第二象限， 故选：B． 3．某公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件，为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了A，B两个关键点．若点在第四象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据各象限内的点的坐标的符号特征进行判断即可．熟练掌握各象限点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：点在第四象限， ，， 点在第二象限． 故选：B． 考点二、有序数对 1．如图是雷达探测到的6个目标，若目标A用表示，目标E用表示，那么表示的是（   ） A．目标B B．目标C C．目标D D．目标F 【答案】B 【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置，根据题意可知有序数对第一个数表示从里到外的圈数，第二个数表示的是度数，据此可得答案． 【详解】解：∵目标A用表示，目标E用表示， ∴表示的是目标C， 故选：B． 2．如果“2排5号”用坐标表示，那么表示 ． 【答案】3排2号 【分析】本题主要考查了有序数对的相关应用，根据有序数对的两个数表示的含义解答即可． 【详解】解：如果“2排5号”用坐标表示，那么表示3排2号． 故答案为：3排2号． 3．如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（ ， ）， （， ）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程． (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 【答案】(1)，，B， (2)10 (3)见解析 【分析】本题考查坐标确定位置；理解正数与负数在实际问题中的意义是解题的关键. （1）B到D向右走3个格，向下走2个格；C到D向左走2个格，向上走1个格； （2）先确定A到B，B到C，C到D的行走路线，再将所有路线长度相加即可； （3）根据题意，画出路线图即可. 【详解】（1）解：根据题意，B到D的路线为，C到B的路线， 故答案为：，，B，； （2）解：由A到B路线为，由B到C路线为，由C到D路线为， ∴路程为； （3）解：如图： 考点三、写出坐标系中的坐标 1．在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则目标的坐标可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．根据图形，则目标在第四象限，其横坐标是正数，纵坐标是负数． 【详解】解：因为目标在第四象限，所以其坐标的符号是，观察各选项只有B符合题意， 故选：B． 2．如图，航模小组在表演时，飞出了这样一个队形．如果某时刻其中两架飞机中心点的坐标分别为和，那么此时飞机中心点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标表示物体位置，读懂题意，数形结合，由某时刻其中两架飞机中心点的坐标分别为和，建立平面直角坐标系，如图所示，即可得到答案．数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：根据飞机位置，建立平面直角坐标系，如图所示： 此时飞机中心点的坐标为， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标为______． (2)在（1）问条件下，求的面积． 【答案】(1)画图见解答； (2) 【分析】本题考查作图-轴对称变换，平面直角坐标系中点的特征等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． 故答案为：； （2）解：的面积为． 考点四、点到坐标轴的距离 1．在平面直角坐标系中，点在第二象限，且点到轴和轴的距离相等，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第二象限内的点的坐标特点，第二象限内的点横坐标为负，则，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点在第二象限， ∴， ∵点到轴和轴的距离相等， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，点在轴上方，且点到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标特征，根据点到坐标轴的距离把横纵坐标的值计算出来是解题的关键，在做题时，避免少算的情况．根据点在轴的上方得到的纵坐标为正数，再根据点到轴的距离是，到轴的距离是，得到的纵坐标和横坐标，即可得到答案． 【详解】解：∵点在轴上方，且点到轴的距离是， ∴纵坐标为正数，即点的纵坐标是， 又∵点到轴的距离是， ∴点的横坐标的可以是或者， ∴或， 故答案为：或． 3．已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了在x轴上点的坐标特点，点到坐标轴的距离，第二象限内点的坐标特点： （1）根据在x轴上的点纵坐标为0得到，据此可求出，则，由此即可得到答案； （2）根据第二象限内的点横坐标为正，纵坐标为负得到，再由点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在第二象限， ∴， ∵到x轴、y轴的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴． 考点五、在坐标系中描点 1．如图，在平面直角坐标系中，分别作出，，这三个点，并直接写出点关于轴对称点的坐标． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了平面直角坐标系，轴对称的特征．根据关于y轴对称的点的特点横坐标互为相反数，纵坐标相同解题即可． 【详解】解：如图， 点关于轴对称点的坐标． 2．已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，画出； (2)求四边形的面积（写出求解过程）； (3)设点P在y轴上，且与四边形面积相等，直接写出点P的坐标______． 【答案】(1)见详解 (2) (3)， 【分析】本题考查了平面直角坐标系中作图，割补法求不规则图形面积等； （1）根据坐标描出各点，连线，即可求解； （2）由即可求解； （3）由三角形面积得，可得，即可求解； 能熟练作图，并利用割补法求面积是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 为所求作； （2）解：如图， ， 故四边形的面积为； （3）解：由题意得 ， ， 解得：， ， ， 解得：或， 点P的坐标，； 故答案为：，． 3．如图在中，三个顶点的坐标分别是，，．将向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到   (1)在平面直角坐标系中，画出； (2)点，，的坐标分别为： ， ， ； (3)面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题主要考查作图-平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． （1）分别将三个顶点分别向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据坐标系写出点的坐标，即可求解； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）点，，的坐标分别为：，， 故答案为：，，． （3）面积为 故答案为：． 考点六、建立平面直角坐标系 1．如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“马”位于点，“车”位于点． (1)请根据题意，画出平面直角坐标系，并写出炮对应的点坐标； (2)如果“马”再走一步到达第二象限，写出“马”所有可能出现的新位置对应的点坐标．（按照象棋规则，棋子“马”只能沿着棋盘上“”或“”的对角线行走） 【答案】(1)画图见解析，炮的坐标 (2) 【分析】本题考查的是建立坐标系，根据位置确定点的坐标； （1）根据棋子“马”位于点，“车”位于点，确定坐标原点与坐标轴即可得到坐标系，再结合炮的位置可得其坐标； （2）先画“马”再走一步到达第二象限的位置，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵棋子“马”位于点，“车”位于点， ∴画图如下： ∴炮的坐标； （2）解：“马”再走一步到达第二象限，“马”所有可能出现的新位置如图所示： 此时点坐标为：． 2．【紫芝街研学·平面直角坐标系应用】 “八闽大邑，文化名邦”的千年建州理学名城，孕育了灿烂的理学文化．学校组织学生到最具建州风貌的历史文化街区--紫芝街开展研学活动．下图是紫芝街部分景点的平面示意图（图中小正方形的边长代表50米长）．已知小明将杨荣纪念馆的坐标记作G，练夫人祠的坐标记作C． 任务一：景点定位 请你根据小明的设计，在图1中建立平面直角坐标系 （1）写出进士第A和李侗故居F的坐标； （2）滕氏宗祠B在刘氏五忠祠E的东南方向，且在进士第A的正北方向，请根据该叙述在图1中画出滕氏宗祠B的位置，并写出滕氏宗祠B的坐标； 任务二：景区设施维护 （3）景区设施维护期间，在进士第A，练夫人祠C，黄榦故居H三处拉起三角形的安全围栏，求景区需要维护的三角形的实际面积． 【答案】平面直角坐标系见解析；（1），；（2）画图见解析；；（3）27500平方米 【分析】本题考查的是坐标与图形，求解网格三角形的面积； （1）根据点G和点C的坐标建立坐标系，直接得到A和F的坐标； （2）根据方位角的表示方法得到滕氏宗祠B的坐标； （3）根据割补法求三角形的面积． 【详解】解：（1） 如图所示，所画平面直角坐标系即为所求； （2）如图所示，滕氏宗祠B的坐标为 （3）解：连接，分别过点A，H，C画y轴，x轴的平行线得到正方形，      因为1单位长度表示实际距离为50米， 所以米，米，米，米，米，米， 所以三角形的面积=     （平方米） 答：三角形的面积27500平方米； 3．对于边长为10的等边，建立适当的平面直角坐标系，分别求出各个顶点的坐标． 【答案】平面直角系见解析；（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了坐标与图形，等边三角形的性质，勾股定理，以边所在直线为x轴，边的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，再求各个顶点的坐标即可． 【详解】解：以边所在直线为x轴，边的垂直平分线为y轴建立如图所示的直角坐标系， ∵为等边三角形，边长为10， ∴， ∴， ∴各个顶点坐标为：． 知识导图记忆 1．在平面直角坐标系中，下列位于第四象限的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断点所在的象限，解题关键是熟记各象限内点的特征． 根据各象限内点的特征，判断四个点所在的象限，再作出选择． 【详解】解：在第二象限，故A不符合； 在第三象限，故B不符合； 在第四象限，故C符合； 在第一象限，故D不符合， 故选：C ． 2．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“炮”的点的坐标分别为，则表示棋子“車”的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用坐标表示位置，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据题意建立平面直角坐标系，进而写出棋子“車”的点的坐标即可． 【详解】解：由题意可知，棋子“馬”和“炮”的点的坐标分别为，建立平面直角坐标系如下： ∴表示棋子“車”的点的坐标为， 故选：C． 3．如图，下列能描述学校相对于小明家的准确位置是（    ） A．学校在小明家的西北方 B．学校距离小明家 C．学校在小明家的南偏西方向上 D．学校在小明家南偏西方向上，且距离小明家 【答案】D 【分析】本题主要考查了方向角，解题的关键是掌握方向角的描述方法．根据以正西，正南方向为基准，结合图形得出北偏东的角度和距离来描述物体所处的方向进行描述即可． 【详解】解：由图形知，学校在小明家南偏西方向上，且距离小明家处， 故选：D． 4．俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截图，若在以为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后，点恰好落在点处，则上方的方块移动前点所在位置的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标平移的性质：上下平移只改变点的纵坐标，上加下减；左右平移只改变点的横坐标，左减右加，据此求解即可． 【详解】点先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后的位置为点， 将点先向上移动6个格于，再向右移动2个格子后得到点 ∴上方的方块移动前点所在位置的坐标为， 故选：C． 5．若点在平面直角坐标系中的第二象限，m的取值范围是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次不等式组的解集以及点的坐标，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 根据第二象限点的坐标特征得出不等式组，然后确定出的范围即可． 【详解】解：点在平面直角坐标中位于第二象限， ， 解不等式①得：， 解不等式②得： 不等式组的解集为：． 故选：B． 6．点关于y轴的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握对称点的坐标规律．根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 7．若点的坐标是，则它到轴的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标，根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值解答即可． 【详解】解：点到轴的距离是， 故答案为：． 8．如图，以龙卷风中心为圆心，半径为1的圆圈范围内（图中虚线圈内）会受到龙卷风影响．若龙卷风中心沿直线匀速行进，则14时点P处的树木 受到龙卷风的影响．（填“会”或“不会”） 【答案】会 【分析】本题考查了坐标与图形. 延长龙卷风行进路径，判断即可. 【详解】延长龙卷风行进路径，可知14时点P处的树木会受到龙卷风的影响， 故答案为：会 9．如图是古诗《登飞来峰》，如果“浮”用表示，“上”用表示，那么“升”可以表示为 ． 登 飞 来 峰 飞 来 山 上 千 寻 塔 ， 闻 说 鸡 鸣 见 日 升 ． 不 畏 浮 云 遮 望 眼 ， 白 缘 身 在 最 高 层 ． 【答案】 【分析】本题主要考查用坐标表示位置．根据点的坐标确定坐标系的位置，是解题的关键．根据“浮”和“上”的坐标，可建立平面直角坐标系，即可解答． 【详解】解：∵“浮”用表示，“上”用表示 ∴可建立如图所示的平面直角坐标系， ∴“升”可以表示为． 故答案为：． 10．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点到轴的距离记作，到轴的距离记作． （1）若，则 ； （2）若点在第二象限，且（为常数），则的值为 ． 【答案】 10 2 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟知点到坐标轴的距离的定义是解题的关键． （1）点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，则，，据此代入t的值求解即可； （2）第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正，据此可得，，再根据建立方程求解即可． 【详解】（1）∵点的坐标为，将点到轴的距离记作，到轴的距离记作， ，， ， ，， ， 故答案为：10． （2）点在第二象限， ，， ，， ， ， 解得， 故答案为：2． 11．如图，平面直角坐标系中，直线与x轴的负半轴交于点，与y轴正半轴交于点，且． (1)求出点A、B的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了非负数的和为零，平面直角坐标系内的三角形面积； （1）由非负数的和为零得，，即可求解； （2）由三角形面积得，即可求解； 能熟练利用非负数的和为零的性质及三角形面积进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， ，； （2）解：由（1）得：，， ． 12．如图，在平面直角坐标系中，火车站的坐标为，写出文化宫、体育馆、市场、超市的坐标． 【答案】文化宫，体育馆，市场，超市 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，关键是正确确定原点位置．根据坐标系确定文化宫、体育馆、市场、超市的坐标即可． 【详解】解：根据题意可得：文化宫，体育馆，市场，超市． 13．如图是某学校的平面示意图，旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)画出图中的直角坐标系； (2)写出图中食堂，图书馆的坐标； (3)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在坐标系中标出办公楼和教学楼的位置； (4)在（3）的条件下，如果一个单位长度表示40米，求宿舍楼到教学楼的实际距离． 【答案】(1)见解析 (2)食堂，图书馆 (3)见解析 (4)320m 【分析】本题考查了平面直角坐标系，点的坐标的表示方法，坐标确定位置，画出正确的平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据旗杆的坐标可以得到原点的位置，建立平面直角坐标系即可； （2）由坐标系可写出这两点的坐标即可； （3）根据坐标，描出点的位置即可； （4）宿舍楼到教学楼的距离是8个单位长度，乘以即可． 【详解】（1）解：以大门为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立直角坐标系如图所示； （2）解：由图可知食堂，图书馆； （3）解：在坐标系中标出办公楼，教学楼的位置如上图所示； （4）解：宿舍楼的坐标为，教学楼的坐标为， 则，（m）． ∴宿舍楼到教学楼的实际距离为320m． 14．如图，在三角形中，点，的坐标分别为，，将三角形向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到三角形，点，，的对应点分别为，，． (1)画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点的坐标． 【答案】(1)见解析，，，； (2)P点坐标为或 【分析】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，再结合坐标系写出点的坐标，即可得出答案． （2）先利用割补法求出，设，得出，因为，即，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求． 由图可得，点，，． （2）． 设，． 因为，即， 解得​． 所以P点坐标为或． 15．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，且． (1)直接写出，的值和三角形的面积； (2)设与轴交于点，求三角形的面积； (3)如图2，连接，点在轴上，使三角形与三角形的面积相等，求的值； (4)如图3，点在四边形内部，使三角形的面积是三角形的面积的2倍，且三角形的面积是三角形的面积的2倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，完全平方公式和算术平方根的非负性，解一元一次方程求三角形的面积， 对于（1），根据平方和二次根式的非负性求出a，c，即可得出，再求出面积即可； 对于（2），先根据求出，进而得出答案； 对于（3），分三种情况根据面积相等列出方程，求出解，并判断即可； 对于（4），先根据求出点的纵坐标为2，再求出，然后根据求出，则答案可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得． ∵点， ∴点， 则， ∴； （2）解：∵ ， ∴， ， ； （3）解：①当点在线段上时， ，， 即， 解得：； 同理：当在点B上方时，， 解得：； 当在点下方时，， 解得：，不存在． 所以m的值为或8； （4）解：，理由如下： 过点作直线轴，交于，交轴于，交于， ∵， ， 即， 解得：， 因此点的纵坐标为2； 设点的坐标为， ， 解得：， ，同理， ． ， ， 解得：， ． 18 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 点的位置与坐标系思维导图 知识点1 认识平面直角坐标系 一、平面直角坐标系的概念及组成要素 平面直角坐标系是在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴组成的。水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向。两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 二、点的坐标表示方法 平面直角坐标系中，点的位置可以由一对有序实数来确定，这对有序实数即为该点的坐标。表示方法为先横后纵，例如点A的坐标为(x,y)，其中x为横坐标，y为纵坐标。 坐标轴上点的坐标特征 1. x轴上的点，其纵坐标为0，横坐标可以是任意实数，表示为(x,0)。 2. y轴上的点，其横坐标为0，纵坐标可以是任意实数，表示为(0,y)。 四、象限内点的坐标符号规律 平面直角坐标系被坐标轴分为四个象限： 1. 第一象限：x>0，y>0，即横纵坐标都为正。 2. 第二象限：x<0，y>0，即横坐标为负，纵坐标为正。 3. 第三象限：x<0，y<0，即横纵坐标都为负。 4. 第四象限：x>0，y<0，即横坐标为正，纵坐标为负。 注意，坐标轴上的点不属于任何象限。 知识点2 建立合适的平面直角坐标系 一、建立平面直角坐标系的方法 1、根据图形的特点建立坐标系：例如，以正方形的两条边所在的直线为坐标轴，或以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系。建立不同的平面直角坐标系，同一个点就会有不同的坐标。 2、根据实际需要建立坐标系：在实际应用中，我们需要根据问题的具体需求来建立合适的平面直角坐标系。例如，在描述物体的运动轨迹时，我们可以以物体的初始位置为原点，以物体的运动方向为坐标轴的方向来建立坐标系。 二、平面直角坐标系的应用 1、确定点的位置：在平面直角坐标系中，我们可以根据点的坐标来确定点的位置。反之，我们也可以根据点的位置来确定其坐标。 2、描述图形的形状和大小：通过建立平面直角坐标系，我们可以将图形上的点转化为坐标，从而用代数方法来描述图形的形状和大小。例如，我们可以计算图形的面积、周长等几何量。 3、解决实际问题：平面直角坐标系在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。例如，在物理学中，我们可以利用坐标系来描述物体的位置、速度和加速度；在工程学中，我们可以利用坐标系来确定建筑物的位置、尺寸和形状；在计算机图形学中，我们可以利用坐标系来表示屏幕上的像素点，实现图像的绘制和编辑。 三、注意事项 1、在建立平面直角坐标系时，要注意坐标轴的方向和单位长度，确保坐标系的准确性和一致性。 2、在利用平面直角坐标系解决问题时，要注意坐标系的平移和旋转对点坐标的影响，避免产生错误的结果。 综上所述，建立合适的平面直角坐标系是解决数学问题、描述图形形状和大小以及解决实际问题的重要工具。 教材习题01 写出图中的多边形各个顶点的坐标． 教材习题02 在直角坐标系中描绘下列各点，并将各组内这些点依次用线段连接起来．，，，． (1)图形中哪些点在坐标轴上？ (2)线段与x轴有什么位置关系？ 教材习题03 如图，建立平面直角坐标系，使点的坐标分别为． (1)在图中画出平面直角坐标系； (2)写出点的坐标． ． 考点一、判断点所在的象限 1．冰壶，这项被誉为冰上 “国际象棋” 的运动，在冰面展开智慧与技巧的较量．瞧，这是奥运会冰壶比赛的某场赛事中红、黄两队某局投壶结束后的场景，冰壶散落分布．此刻，我们以冰壶大本营的中心点作为原点，构建起平面直角坐标系．比赛规则很明确，哪队的冰壶距离原点更近，哪队就是本局赢家．则胜方最靠近原点的壶所在位置位于(     ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若点在第一象限，则点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．某公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件，为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了A，B两个关键点．若点在第四象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点二、有序数对 1．如图是雷达探测到的6个目标，若目标A用表示，目标E用表示，那么表示的是（   ） A．目标B B．目标C C．目标D D．目标F 2．如果“2排5号”用坐标表示，那么表示 ． 3．如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（ ， ）， （， ）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程． (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 考点三、写出坐标系中的坐标 1．在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则目标的坐标可能是（　　） A． B． C． D． 2．如图，航模小组在表演时，飞出了这样一个队形．如果某时刻其中两架飞机中心点的坐标分别为和，那么此时飞机中心点的坐标为 ． 3．在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标为______． (2)在（1）问条件下，求的面积． 考点四、点到坐标轴的距离 1．在平面直角坐标系中，点在第二象限，且点到轴和轴的距离相等，则（    ） A．2 B．1 C． D． 2．在平面直角坐标系中，点在轴上方，且点到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是 ． 3．已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 考点五、在坐标系中描点 1．如图，在平面直角坐标系中，分别作出，，这三个点，并直接写出点关于轴对称点的坐标． 2．已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，画出； (2)求四边形的面积（写出求解过程）； (3)设点P在y轴上，且与四边形面积相等，直接写出点P的坐标______． 3．如图在中，三个顶点的坐标分别是，，．将向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到   (1)在平面直角坐标系中，画出； (2)点，，的坐标分别为： ， ， ； (3)面积为 ． 考点六、建立平面直角坐标系 1．如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“马”位于点，“车”位于点． (1)请根据题意，画出平面直角坐标系，并写出炮对应的点坐标； (2)如果“马”再走一步到达第二象限，写出“马”所有可能出现的新位置对应的点坐标．（按照象棋规则，棋子“马”只能沿着棋盘上“”或“”的对角线行走） 2．【紫芝街研学·平面直角坐标系应用】 “八闽大邑，文化名邦”的千年建州理学名城，孕育了灿烂的理学文化．学校组织学生到最具建州风貌的历史文化街区--紫芝街开展研学活动．下图是紫芝街部分景点的平面示意图（图中小正方形的边长代表50米长）．已知小明将杨荣纪念馆的坐标记作G，练夫人祠的坐标记作C． 任务一：景点定位 请你根据小明的设计，在图1中建立平面直角坐标系 （1）写出进士第A和李侗故居F的坐标； （2）滕氏宗祠B在刘氏五忠祠E的东南方向，且在进士第A的正北方向，请根据该叙述在图1中画出滕氏宗祠B的位置，并写出滕氏宗祠B的坐标； 任务二：景区设施维护 （3）景区设施维护期间，在进士第A，练夫人祠C，黄榦故居H三处拉起三角形的安全围栏，求景区需要维护的三角形的实际面积． 3．对于边长为10的等边，建立适当的平面直角坐标系，分别求出各个顶点的坐标． 知识导图记忆 1．在平面直角坐标系中，下列位于第四象限的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“炮”的点的坐标分别为，则表示棋子“車”的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，下列能描述学校相对于小明家的准确位置是（    ） A．学校在小明家的西北方 B．学校距离小明家 C．学校在小明家的南偏西方向上 D．学校在小明家南偏西方向上，且距离小明家 4．俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截图，若在以为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后，点恰好落在点处，则上方的方块移动前点所在位置的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．若点在平面直角坐标系中的第二象限，m的取值范围是（   ） A． B． C． D．不存在 6．点关于y轴的对称点的坐标是 ． 7．若点的坐标是，则它到轴的距离是 ． 8．如图，以龙卷风中心为圆心，半径为1的圆圈范围内（图中虚线圈内）会受到龙卷风影响．若龙卷风中心沿直线匀速行进，则14时点P处的树木 受到龙卷风的影响．（填“会”或“不会”） 9．如图是古诗《登飞来峰》，如果“浮”用表示，“上”用表示，那么“升”可以表示为 ． 登 飞 来 峰 飞 来 山 上 千 寻 塔 ， 闻 说 鸡 鸣 见 日 升 ． 不 畏 浮 云 遮 望 眼 ， 白 缘 身 在 最 高 层 ． 10．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点到轴的距离记作，到轴的距离记作． （1）若，则 ； （2）若点在第二象限，且（为常数），则的值为 ． 11．如图，平面直角坐标系中，直线与x轴的负半轴交于点，与y轴正半轴交于点，且． (1)求出点A、B的坐标； (2)求的面积． 12．如图，在平面直角坐标系中，火车站的坐标为，写出文化宫、体育馆、市场、超市的坐标． 13．如图是某学校的平面示意图，旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)画出图中的直角坐标系； (2)写出图中食堂，图书馆的坐标； (3)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在坐标系中标出办公楼和教学楼的位置； (4)在（3）的条件下，如果一个单位长度表示40米，求宿舍楼到教学楼的实际距离． 14．如图，在三角形中，点，的坐标分别为，，将三角形向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到三角形，点，，的对应点分别为，，． (1)画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点的坐标． 15．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，且． (1)直接写出，的值和三角形的面积； (2)设与轴交于点，求三角形的面积； (3)如图2，连接，点在轴上，使三角形与三角形的面积相等，求的值； (4)如图3，点在四边形内部，使三角形的面积是三角形的面积的2倍，且三角形的面积是三角形的面积的2倍，直接写出点的坐标． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$