精品解析：天津市宝坻区第一中学2024-2025学年高二下学期第四次练习（6月月考）数学试题

宝坻一中2024-2025学年度第二学期高二年级 第四次练习数学试卷 班级：______姓名：______考号：______考场、座位号：______ 一、单选题（共45分） 1. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合补集和交集的运算计算即可. 【详解】因为或，则集合， 又集合，则. 故选：C. 2. 已知命题和命题，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求解命题，再根据充分条件和必要条件的定义即可得到结果 【详解】命题即 命题即，所以，p是q的充分不必要条件 故选：A 3. 某学校要从名男生和名女生中选出人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可求得的值. 【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 且，，， 因此，. 故选：B. 4. 若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，依题意可得在区间内有零点，参变分离可得，根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得到的取值范围，最后检验时不符合题意，即可得解. 【详解】函数，， 若函数在区间上有极值点， 则在区间内有零点， 由可得， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，， 当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是. 故选：C． 5. 已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全概率公式，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】设分别表示产品由甲、乙车间生产；表示产品为优品， 由题可得：， 故. 故选：A. 6. 某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需原材料（吨）的相关性，在生产过程中收集了组对应数据，如表所示： 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，据此计算出样本点的残差为，则表中的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据样本出的残差为，求得的值，再由回归方程必过样本中心，代入即可求解. 【详解】根据样本出的残差为，即，可得， 即回归直线的方程为， 又由样本数据的平均数为，， 所以，解得. 故选为：B 7. 下列说法中正确的是（ ） ①设随机变量X服从二项分布 ②已知随机变量X服从正态分布且，则 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则 ④． A. ②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①② 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式判断①，根据正态分布的性质判断②，根据条件概率判断③，根据方差的性质判断④. 【详解】对于①：随机变量服从二项分布， 则，故①正确； 对于②：随机变量服从正态分布且， 则，故②正确； 对于③：事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”， 则，，所以，故③正确； 对于④：，故④错误． 故选：B 8. 已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构建，根据题意分析可知在上单调递减，结合函数单调性解不等式. 【详解】构建，则， 因为，则，即， 可知在上单调递减，且， 由可得，即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：根据构建，进而利用导数判断函数单调性，结合单调性解不等式. 9. 若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数分别求得与相切的切线方程，可得，进而可得有解，从而利用导数可求的范围. 【详解】设直线与相切于点，因为， 所以切线方程，即， 设直线与相切于点， 因为，所以切线方程，即， ， 所以有解， 令，， 所以函数在，上单调递减，在，上单调递增， 因为，，所以，所以， 的范围为. 故选：A. 【点睛】思路点睛：本题考查曲线公切线相关问题的求解，求解曲线公切线的基本思路是假设切点坐标，利用导数的几何意义分别求得两曲线的切线方程，根据切线方程的唯一性构造方程组来进行求解. 二、填空题（共30分） 10. 命题“，使得”的否定是__________． 【答案】，使得. 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可得到答案. 【详解】根据特称命题的否定为全称命题， 则命题“，使得”的否定是“，使得”. 故答案为：，使得. 11. 在的展开式中，含项的系数为___________. 【答案】60 【解析】 【分析】 先求出的展开式的通项，令的指数为，进而可求出含项的系数. 【详解】由题意，的展开式的通项为， 令，解得， 所以的系数为. 故答案为：60. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查二项展开式中指定项的系数的求法，属于基础题. 12. 不等式的解集为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程根与系数的关系求出即可. 【详解】由不等式的解集为，得是方程的两根， 则，解得，所以. 故答案为： 13. 我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A表示选出的三种药方中至少有一药，事件B表示选出的三种药方中至少有一方，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型求出事件B的概率及事件AB的概率，再利用条件概率公式计算作答. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 14. 已知，且，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用基本不等式，即可求解. 【详解】解： ， （当且仅当且时，即取“=”）， 故答案为：4 15. 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】令，可得，构建，若函数有三个不同的零点，即与有三个不同交点，对求导，利用导数分析其单调性和极值，结合图象即可得结果. 【详解】令，可得， 构建， 若函数有三个不同零点，即与有三个不同交点， 因为， 令，解得；令，解得或； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，极大值， 且当趋近于，趋近于；当趋近于，趋近于0， 可得图象，如图所示：    由函数图象可得. 故答案为：. 三、解答题（共75分） 16. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若成立的一个充分不必要的条件是，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）先确定集合，根据交集运算求解即可； （2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可. 【小问1详解】 由集合知，即， 化简得，解得,则, ， 当时，，． 【小问2详解】 若成立的一个充分不必要条件是， 等价于但，即是的真子集， 结合数轴可知，得． 17. 某电脑公司有6名产品推销员，其中工作年限与年推销金额数据如下表： 推销员编号 1 2 3 4 5 工作年限年 3 5 6 7 9 推销金额万元 2 3 3 4 5 （1）请画出上表数据的散点图； （2）求年推销金额关于工作年限的线性回归方程； （3）若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额. （参考公式：） 【答案】（1） （2） （3）估计第6名推销员的年推销金额为万元 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据，直接描点即可得到散点图； （2）首先求出的平均数，利用最小二乘法求出的值，再利用样本中心点满足线性回程和前面做出的横标和纵标的平均值，求出值，写出线性回归方程； （3）第名推销员的工作年限为年，即时，把自变量的值代入线性回归方程，得到的预报值. 【小问1详解】 （1）散点图如图所示： 【小问2详解】 由（1）知与具有线性相关关系. 年推销金额关于工作年限的线性回归方程为； 【小问3详解】 由（2）知，当时，， 可以估计第6名推销员的年推销金额为万元. 18. 我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列．为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）． （1）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记ξ表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求ξ的分布列及数学期望． （2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，若合格的零件数η超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及η的方差； 【答案】（1）分布列见解答，； （2），； 【解析】 【分析】（1）由题意可知的可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布的概率公式求出相应的概率，得到的分布列，再结合期望公式求解； （2）由题意可知，服从二项分布，再利用二项分布的概率公式和方差公式求解； 【小问1详解】 由题意，可知可取0，1，2，3． 则有；；；． 所以的分布列为： 0 1 2 3 因此的数学期望； 【小问2详解】 由题意，可取的值为0，1，2，3，4，5，6． 则有；；． 技术攻坚成功的概率． ，的方差； 19. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，对任意，有成立，求实数b的取值范围． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增： （2）． 【解析】 【分析】（1）把代入的表达式，利用导数求出函数的单调区间． （2）根据给定条件，把不等式转化为，求出函数在指定区间上的最大最小值，建立不等式并求解即得． 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，，求导得， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由对任意，有成立， 而，则， 由，得， 于是，所以． 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，， 而与，则， 设，求导得， 即函数在上单调递增，则，即有， 从而，于是，即， 设，求导得，函数在上单调递增， 而，因此不等式，即为，而，解得， 所以b的取值范围为． 【点睛】关键点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 20. 已知函数 （1）若函数的图像在处的切线方程是，求a，b的值； （2）若函数在R上是单增函数，求实数a的取值范围； （3）如果恰有两个不同的极值点，证明：. 【答案】（1）； （2）； （3）证明：由已知. ∴. ∵是函数的两个不同极值点(不妨设)， 若时，，即是R上的增函数，至多有一个极值点与已知矛盾 ∴，且，. ∴. 两式相减得：， 于是要证明，即证明， 两边同除以，即证，即证， 即证，令. 即证不等式，当时恒成立. 设，∴. ∵由（2）知，即，∴. ∴，得证∴. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解，由题意可得，可求出，由可求出的值； （2）由函数在R上是单增函数，可得恒成立，即恒成立，构造函数，利用导数求出其最小值即可； （3）由是函数的两个不同极值点(不妨设)，当时可判断出函数不存在两个极值点，所以，则，两式相减可得，所以要证明，即证明，两边同除以，即证，即证，即证，令，则，然后构造函数利用导数证明即可 【小问1详解】 ∵，∴. 于是由题知，解得. ∴，∴，于是，解得. 即. 【小问2详解】 由题意即恒成立，∴恒成立. 设，则. x 0 0 减函数 极小值 增函数 ∴，∴. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查导数的几何意义，考查利用导数证明不等式问题，解题的关键是由，得，所以将不等式转化为，化简变形后得，令. 即证不等式，当时恒成立，构造函数利用导数证明即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝坻一中2024-2025学年度第二学期高二年级 第四次练习数学试卷 班级：______姓名：______考号：______考场、座位号：______ 一、单选题（共45分） 1. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题和命题，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某学校要从名男生和名女生中选出人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 （ ） A. B. C. D. 4. 若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需原材料（吨）的相关性，在生产过程中收集了组对应数据，如表所示： 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，据此计算出样本点的残差为，则表中的值为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中正确的是（ ） ①设随机变量X服从二项分布 ②已知随机变量X服从正态分布且，则 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则 ④． A. ②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①② 8. 已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共30分） 10. 命题“，使得”的否定是__________． 11. 在的展开式中，含项的系数为___________. 12. 不等式的解集为，则_____． 13. 我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A表示选出的三种药方中至少有一药，事件B表示选出的三种药方中至少有一方，则___________. 14. 已知，且，则的最小值为_________． 15. 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_______. 三、解答题（共75分） 16. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若成立的一个充分不必要的条件是，求实数的取值范围． 17. 某电脑公司有6名产品推销员，其中工作年限与年推销金额数据如下表： 推销员编号 1 2 3 4 5 工作年限年 3 5 6 7 9 推销金额万元 2 3 3 4 5 （1）请画出上表数据的散点图； （2）求年推销金额关于工作年限的线性回归方程； （3）若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额. （参考公式：） 18. 我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列．为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）． （1）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记ξ表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求ξ的分布列及数学期望． （2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，若合格的零件数η超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及η的方差； 19. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，对任意，有成立，求实数b的取值范围． 20. 已知函数 （1）若函数的图像在处的切线方程是，求a，b的值； （2）若函数在R上是单增函数，求实数a的取值范围； （3）如果恰有两个不同的极值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $