上海市闵行区2024-2025学年高一下学期六校联考数学试卷

- 1 - 2024 学年第二学期高一期末试卷 高 一 年级 数学 学科 试卷 满分分值：150分 完卷时间：120分钟 一、填空题（本大题共有 12题，满分 54分，第 1—6题每题 4分，第 7—12题 每题 5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果. 1.函数 3sin(3 ) 6 y x   的最小正周期是 ． 2.已知 4sin 5   ，且 是第二象限角，则 tan 的值是 . 3.已知向量 (4,3)a   ，则 a  的单位向量 0a  的坐标为 . 4. 已知等比数列 na 满足 2 3 1 420, 64, 1a a a a q    ，则数列 na 的通项公式 na  ． 5. 已知 3a   ， 4b   ，且b  在 a  上的数量投影为 2 ，则 a b    ． 6.已知复数3 2i 是实系数二次方程 2 0x bx c   的一根，则 b= . 7.若复数 z满足 2i 1z   ，则 z 的最小值是 . 8.已知向量  ,1a  r ，  2,3b   ，若 a  与b  的夹角是锐角，则实数 的取值范围是 ． 9.如果满足 45ABC  ， 6AB  ， AC b 的 ABCV 有且只有一个，那么实数b的取值范围 是 . 10.如图，在 ABCV 中， ,D E是 BC上的两个三等分点， 12, 9, 60AB AC BAC   ，则 AD AE   的值为 . 11.已知    sin 3cos 0f x x x     ， π π 06 2f f             ，且函数  y f x 在区间 π π, 24 6       上是单调函数，则的值为 . 12. 高斯被认为是历史上最重要的数学家之一.在求 1到 100这 100个自然数的和时，10岁 的高斯是这样算的：1 100 101  ，2 99 101  ，…，50 51 101  ，共有 50组，所以 1 2 3 100 50 101 5050       ，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前 n项和的 - 2 - 方法正是借助了高斯算法.已知等比数列{ }na 的各项均为正数，且公比不等于 1， 1 2024 1a a  ， 试根据提示探究：若 1( ) 1 f x x   ，则 1 2 2024( ) ( ) ( )f a f a f a    . 二、选择题（本大题共有 4题，满分 18分，第 13—14题每题 4分，第 15—16 题每题 5分） 13．已知角 终边上一点  , 2P m ，若 2 5sin 5   ，则实数m的值为（ ） A．1 B．2 C． 1 D． 2 14.设数列 na 是以 d为公差的等差数列， nS 是其前 n项和， 1 0a  ，且 6 9S S ，则下列结 论错误的是（ ） A． 0d  B． 8 0a  C． 5 6S S D． 7S 或 8S 为 nS 的最大值 15．利用数学归纳法证明不等式 nn   12 1 3 1 2 11  （ 2n ， Nn ）的过程中，由 kn  到 1 kn 时，左边增加了（ ） A． 2 1k  项 B． 2k 项 C．k项 D．1项 16.在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对   1 2 1 2, ,z z z z C 看作一个向量，记  1 2,a z z  ，则称 a  为复向量.类比平面向量的相关运算 法则，对于  1 2,a z z  ，  3 4,b z z  ， 1 2 3 4, , ,z z z z C ，规定如下运算法则： ①  1 3 2 4,a b z z z z     ；②  1 3 2 4,a b z z z z     ；③ 1 3 2 4a b z z z z    ；④ a a a     . 则下列结论错误的是（ ） A．若  i,1 ia   ，  2,2 ib    ，则 1 5ia b    B．若 0a   ，则  0,0a  C． a b b a      D．  a b c a b a c           - 3 - 三、解答题（本大题共有 5题，满分 78分）解答下列各题必须在答题纸的相应 位置写出必要的步骤. 17．（本题满分 14 分)( 第一小题 7 分，第二小题 7 分） 已知    0,1 , 1,2a b    .设  2 ,AB a b BC a b      R     . (1)若 , ,A B C三点共线，求的值； (2)若 AB BC ，求的值. 18．（本题满分 14 分)( 第一小题 6 分，第二小题 8 分） 已知复数 1 iz a  ， 2 1 iz a  ，其中 i是虚数单位， aR． （1）若 1 2z z 为纯虚数，求 a的值； （2）若 21 12 2 0z z   ，求 1 2 z z 的虚部． 19、（本题满分 14分）（第一小题 6 分，第二小题 8 分） ABCV 的内角A， B，C的对边分别为 a，b， c，已知 2 2 2 2sin sin sin b c a B A ab A     ． (1)求C的大小； (2)若 ABCV 面积为6 3，外接圆面积为 49 π 3 ，求 ABCV 周长. - 4 - 20、（本题满分 18分）（第一小题 4 分，第二小题 6 分，第三小题 8 分） 已知函数 ( ) sin( )( 0,0 )f x x         的最小正周期为 2 ,且其图像的一个对称 轴为 2 x  ,将函数 ( )f x 图像上所有点的橫坐标缩小到原来的 1 2 倍,再将图像向左平移 4  个单位长度,得到函数 ( )g x 的图像. (1)求 ( )f x 的解析式； (2)求函数 ( ) ( )y f x g x  在区间[0, 2 ] 上的零点； (3)对于任意的实数 t ,记函数 ( )f x 在区间[ , ] 2 t t  上的最大值为 ( )M t ,最小值为 ( )m t ,求 函数 ( ) ( ) ( )h t M t m t  在区间[0, ] 上的最大值. 21、（本题满分 18分）（第一小题 4 分，第二小题 6 分，第三小题 8 分） 已知数列 na 的前 n项和为 nS ，且 12 2nn nS a   ，数列 nb 满足 2log 1 n n ab n   . (1)证明：{ }2 n n a 为等差数列； (2)求数列 2 { } 1 na n  的前 n项和 nT ； (3)若不等式 12 1231 111111                      n n bm bbb  对 1n ， Nn 都成立，求m的最 大值.