第10章 第8节 概率与统计的综合问题(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第八节　概率与统计的综合问题 题型一　频率分布直方图与分布列的综合问题 [例1]　(2025·四川成都模拟)某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展茶叶种植．该县农科所为了对比A，B两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了A，B两种茶叶各20亩，所得亩产数据(单位：千克)都在内，根据亩产数据得到频率分布直方图如下： (1)从A种茶叶亩产的20个数据中任取两个，记这两个数据中不低于56千克的个数为X，求X的分布列及数学期望； (2)在频率分布直方图中，若平均数大于中位数，则称为“右拖尾分布”，若平均数小于中位数，则称为“左拖尾分布”，试通过计算判断B种茶叶的亩产量属于上述哪种类型． 解　(1)亩产不低于56千克频率为4×＝0.15， 所以亩产不低于56千克的数据共有20×0.15＝3个， 故X的所有可能取值为0，1，2， P＝＝，P＝＝，P＝＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴X的数学期望E＝0×＋1×＋2×＝＝. (2)根据以上直方图数据，茶叶B亩产平均数为： 42×0.05＋46×0.1＋50×0.15＋54×0.35＋58×0.2＋62×0.15＝54， 设中位数为x，由0.05＋0.1＋0.15＋0.0875×＝0.5得x＝54， 因为54>54，所以B种茶的亩产属于“左拖尾分布”． 高考常将频率分布直方图与分布列等交汇在一起进行考查，解题时要正确理解频率分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据．概率问题以计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来．　 　[即时训练] 4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成、、、、、、、、九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在、、三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有学生中随机抽取8名学生，用P表示这8名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中k＝0，1，2，…，8.当P最大时，请直接写出k的值．(不需要说明理由) 解　(1)由概率和为1得：2×(0.02＋0.03＋0.05＋0.05＋0.15＋a＋0.05＋0.04＋0.01)＝1， 解得a＝0.1. (2)由频率分布直方图得：这500名学生中日平均阅读时间在、、三组内的学生人数分别为：500×0.10＝50人，500×0.08＝40人，500×0.02＝10人， 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则应从阅读时间在中抽取5人，从阅读时间在中抽取4人，从阅读时间在中抽取1人， 现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3， P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝. (3)k＝4，理由如下： 由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在(8，12]内的概率为0.50， 从该地区所有学生中随机抽取8名学生，恰有k名学生日平均阅读时间在(8，12]内的分布列服从二项分布X～B(8，0.50)， P(X＝k)＝Ck8-k＝C8，由组合数的性质可得k＝4时P(k)最大． 题型二　回归模型与分布列的综合问题 [例2]　(2025·牡丹江模拟)近期，一些地方中小学生“课间10分钟”问题受到社会广泛关注，国家号召中小学要增加学生的室外活动时间．但是进入12月后，天气渐冷，很多学生因气温低而减少了外出活动次数．为了解本班情况，一位同学统计了一周(5天)的气温变化和某一固定课间该班级的学生出楼人数，得到如下数据： 温度xi (零下℃) 7 10 11 15 17 出楼人数yi 20 16 17 10 7 (1)利用最小二乘法，求变量x，y之间的线性回归方程； (2)预测当温度为－8℃时，该班级在本节课间的出楼人数(人数：四舍五入取整数)； (3)为了号召学生能够增加室外活动时间，学校举行拔河比赛，采取3局2胜制(无平局).在甲、乙两班的较量中，甲班每局获胜的概率均为，设随机变量X表示甲班获胜的局数，求X的分布列和期望． 附：用最小二乘法求线性回归方程＝x＋的系数：＝＝，＝－. 解　(1)因为＝＝12，＝＝14， ＝×＋×＋×＋×＋×＝－84， 2＝25＋4＋1＋9＋25＝64， 所以＝＝－，＝－＝14－×12＝， 故线性回归直线方程为＝－x＋. (2)当x＝8时，＝－×8＋≈19(人)， 所以预测当温度为－8℃时，该班级在本节课间的出楼人数为19人． (3)随机变量X可取0，1，2. P(X＝0)＝×＝， P(X＝1)＝××＋××＝， P(X＝2)＝×＋××＋××＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以X的数学期望为E＝0×＋1×＋2×＝. 高考常将回归模型与分布列等交汇在一起进行考查，求经验回归方程时要充分利用已知数据，合理利用公式减少运算．求解概率问题时要注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事件类型是关键．　 　[即时训练] (2025·湖南常德模拟)火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，针对这个问题，许多人都会打电话进行投诉．某市火车站为了解每年火车的正点率x%对每年顾客投诉次数y(单位：次)的影响，对近8年(2016年～2023年)每年火车正点率x%和每年顾客投诉次数y的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值． i i iyi 2 600 592 43837.2 93.8 (1)求y关于x的经验回归方程；若预计2025年火车的正点率为84%，试估算2025年顾客对火车站投诉的次数； (2)根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8年中有6年被评为“优秀”，2年为“良好”，若从这8年中随机抽取3年，记其中评价“良好”的年数为X，求X的分布列和数学期望． 附：经验回归直线＝x＋a的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝－. 解　(1)由题设＝＝75，＝＝74，则＝＝＝－6， 所以＝－＝74＋6×75＝524，所以＝－6x＋524. 当x＝84时，代入＝－6x＋524，得到y＝20， 所以2025年顾客对该市火车站投诉的次数约为20次． (2)由题意，X服从超几何分布，可取0，1，2， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 题型三　独立性检验与分布列的综合问题 [例3]　(2025·聊城模拟)某中学在学生选科时，要求每位学生先从物理和历史这两个科目中选定一个科目，再从思想政治、地理、化学、生物这四个科目中任选两个科目．选科工作完成后，为了解该校学生的选科情况，随机抽取了部分学生作为样本，对他们的选科情况统计后得到下表： 思想政治 地理 化学 生物 物理类 100 120 200 180 历史类 120 140 60 80 (1)利用上述样本数据填写下列2×2列联表，并依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析以上两类学生对生物学科的选法是否存在差异； 科类 生物学科选法 选 不选 合计 物理类 历史类 合计 (2)假设该校所有学生中有的学生选择了物理类，其余的学生都选择了历史类，且在物理类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为，而在历史类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为．若从该校所有学生中随机抽取100名学生，用X表示这100名学生中同时选择了地理和化学的人数，求随机变量X的均值E(X).　 附：χ2＝． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解　(1)由题意可得选择物理类的总人数为300，其中选择生物学科的人数为180，不选择生物学科的人数为120；选择历史类的总人数为200，其中选择生物学科的人数为80，不选择生物学科的人数为120，据此完善2×2列联表如下： 科类 生物学科选法 选 不选 合计 物理类 180 120 300 历史类 80 120 200 合计 260 240 500 零假设为H0：两类学生对生物学科的选法没有差异． 由表中数据可得χ2＝＝≈19.231>10.828＝x0.001， 根据小概率值α＝0.001的独立性检验可知零假设不成立，即可以认为两类学生对生物学科的选法存在差异，且此推断犯错误的概率不大于0.001. (2)记“学生选择物理类”为事件M，“学生选择历史类”为事件N，“同时选择地理和化学”为事件C， 则P(M)＝，P(N)＝1－P(M)＝， P(C|M)＝，P(C|N)＝， 故P(C)＝P(M)P(C|M)＋P(N)P(C|N)＝×＋×＝， 由题意可得X～B， 则随机变量X的均值E(X)＝100×＝16. 高考常将独立性检验与分布列等交汇在一起进行考查，解决独立性检验问题，要注意过好“三关”：假设关、公式关、对比关．解决概率问题要准确地把握题中所涉及的事件，明确所求问题所属的事件类型．　 　[即时训练] (2025·云南师大附中模拟)某研究机构随机抽取了新近上映的某部影片的120名观众，对他们是否喜欢这部影片进行了调查，得到如下数据(单位：人)： 喜欢 不喜欢 合计 男性 40 30 70 女性 35 15 50 合计 75 45 120 根据上述信息，解决下列问题： (1)根据小概率值α＝0.10的独立性检验，分析观众喜欢该影片与观众的性别是否有关； (2)从不喜欢该影片的观众中采用分层抽样的方法，随机抽取6人．现从6人中随机抽取2人，若所选2名观众中女性人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.15 0.10 0.05 0.010 0.001 xα 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828 解　(1)由题意得χ2＝≈2.057<2.706＝x0.10， 故根据小概率值α＝0.10的独立性检验，不能认为观众喜欢该影片与观众的性别有关． (2)由题意知从不喜欢该影片的观众中采用分层抽样的方法，随机抽取6人， 由于不喜欢该影片的观众中男性与女性的比例为2∶1，故随机抽取6人中有4名男性和2名女性， 故X的取值可能为0，1，2， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$