第10章 第7节 二项分布、超几何分布与正态分布(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第七节　二项分布、超几何分布与正态分布 [课标要求]　1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用． 1．二项分布 (1)伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． (3)两点分布与二项分布的均值、方差 ①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． ②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 2．超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 3．正态分布 (1)定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝e－，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)． (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ②曲线在x＝μ处达到峰值； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． (3)3σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (4)正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 【常用结论】 1．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理． 2．超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝，方差D(X)＝·． 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．(　√　) (2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．(　√　) (3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布．(　×　) (4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．(　×　) 2．若随机变量X服从二项分布B，则P的值为(　　) A．　　　　　　　　　B． C． D． 答案　C 解析　因为随机变量X服从二项分布B， 所以P＝C·6＝.故选C. 3．一袋中装有大小、质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　根据题意，至少含有一个黑球的概率是＝.故选B. 4．设随机变量X～N，若P＝0.8，则P等于(　　) A．0.2 B．0.7 C．0.8 D．0.9 答案　A 解析　由题意知，正态曲线的对称轴为x＝4，m与8－m关于x＝4对称， 所以P＝P＝0.8. 所以P＝1－0.8＝0.2.故选A. 题型一　二项分布 [例1]　某种植户对一块地上的n(n∈N*)个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种． (1)求每个坑不需要补种的概率； (2)当n＝4时，用X表示要补种的坑的个数，求X的分布列和期望． 解　(1)由题意可知，每个坑要补种的概率 P＝C×＋C××＝， 则每个坑不需要补种的概率为1－＝. (2)易知X的可能取值为0，1，2，3，4， 且X～B， 因此P(X＝0)＝C××＝， P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝C××＝， P(X＝3)＝C××＝， P(X＝4)＝C××＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P E(X)＝4×＝2. 二项分布问题的解题关键 (1)定型： ①在每一次试验中，事件发生的概率相同． ②各次试验中的事件是相互独立的． ③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生． (2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．　 　[即时训练] (2025·太原模拟)甲、乙两名同学进行足球点球比赛，每人点球3次，射进点球一次得50分，否则得0分．已知甲每次射进点球的概率为，且每次是否射进点球互不影响；乙第一次射进点球的概率为，从第二次点球开始，受心理因素影响，若前一次射进点球，则下一次射进点球的概率为，若前一次没有射进点球，则下一次射进点球的概率为． (1)设甲3次点球的总得分为X，求X的分布列和均值； (2)求乙总得分为100分的概率． 解　(1)设甲3次点球射进的次数为Y， 则Y～B， Y的可能取值为0，1，2，3，且X＝50Y， 则X的所有可能的取值为0，50，100，150. P(X＝0)＝P(Y＝0)＝＝， P(X＝50)＝P(Y＝1)＝C＝， P(X＝100)＝P(Y＝2)＝C＝， P(X＝150)＝P(Y＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 50 100 150 P E(X)＝0×＋50×＋100×＋150×＝100. (或E(X)＝E(50Y)＝50E(Y)＝50×3×＝100) (2)设“乙第i次射进点球”为事件Ai(i＝1，2，3)， 则乙总得分为100分的事件为 B＝A1A23＋A12A3＋1A2A3. 因为A1A23，A12A3，1A2A3互斥， 所以P(B)＝P(A1A23＋A12A3＋1A2A3)＝××＋××＋××＝， 故乙总得分为100分的概率为. 题型二　超几何分布 [例2]　(2025·宿州模拟)宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市．为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为． (1)求n的值； (2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和均值． 解　(1)由题知，共有(n＋6)个机房，抽取2个机房有C种方法，其中全是小机房有C种方法， 因此全是小机房的概率P＝＝， 解得n＝4.即n的值为4. (2)X的可能取值为0，1，2，3. P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝. 则随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列． (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．　 　[即时训练] 某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同．每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回．若摸出的球中有X个红球，则分得X个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目． (1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率； (2)求每位学生分得月饼数的概率分布列和数学期望． 解　(1)记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A， 可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”， 所以P＝＝. (2)由题意可知X的可能取值为0，1，2，3， 则P＝＝，P＝＝，P＝＝，P＝＝， 可得X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 题型三　正态分布 [例3]　(1)(2025·合肥月考)阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车．若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是(　　) A.Y的数据较X更集中 B．若有34 min可用，那么坐公交车不迟到的概率大 C．若有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大 D．P(X>30)＋P＝1 答案　D 解析　观察图象知，X～N，Y～N. 对于A，Y的密度曲线瘦高、X的密度曲线矮胖，即随机变量Y的标准差小于X的标准差，即σ1>σ2， 因此Y的数据较X更集中，A正确； 对于B，显然P(X≤34)>＝P(Y≤34)，则当有34 min可用时，坐公交车不迟到的概率大，B正确； 对于C，显然P(X≤38)<P(Y≤38)，则当有38 min可用时，骑自行车不迟到的概率大，C正确； 对于D，显然P(X>30)＝，P(Y≤30)<P(Y<34)＝，因此P(X>30)＋P(Y≤30)<1，D错误．故选D. (2)(2025·唐山模拟)某种食盐的袋装质量X服从正态分布N(400，16)，随机抽取10 000袋，则袋装质量在区间(396，408]的约有________袋．(质量单位：g) 附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 答案　8 186 解析　由题意知，X～N(400，42)， 所以P(396≤X≤404)≈0.682 7， P(392≤X≤408)≈0.954 5， 得P(396<X≤408)＝P(392≤X≤408)－P(392≤X≤396)＝P(392≤X≤408)－[P(392≤X≤408)－P(396≤X≤404)]≈0.954 5－×(0.954 5－0.682 7)＝0.818 6， 所以袋装质量在区间(396，408]的约有10 000×0.818 6＝8 186(袋). 解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴为x＝μ. (2)标准差为σ. (3)分布区间． 利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.　 　[即时训练] (1)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N，，N，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是(　　) (注：正态曲线的函数解析式为f(x)＝e－，x∈R) A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 答案　A 解析　由题图可知甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x＝0.8对称， 所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1<μ2，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”(曲线越“高瘦”，σ越小，表示总体的分布越集中)， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为(0.8，1.99)，即＝1.99，所以σ2≠1.99，故D错误．故选A. (2)(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N，则(若随机变量Z服从正态分布N，P(Z<μ＋σ)≈0.8413)(　　) A．P(X>2)>0.2　　　　B．P(X>2)<0.5 C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8 答案　BC 解析　依题可知，＝2.1，s2＝0.01，所以Y～N， 故P＝P＝P(Y<2.1＋0.1)≈0.8413>0.5，C正确，D错误； 因为X～N，所以P＝P. 因为P≈0.8413，所以P(X>1.8＋0.1)≈1－0.8413＝0.1587<0.2， 而P＝P<P(X>1.8＋0.1)<0.2，B正确，A错误．故选BC. 学科网（北京）股份有限公司 $$