第10章 第6节 离散型随机变量及其分布列、数字特征(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第六节　离散型随机变量及其分布列、数字特征 [课标要求]　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征． 1．离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 3．离散型随机变量分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1． 4．离散型随机变量的均值(数学期望)与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值(数学期望) 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度． 5．均值(数学期望)与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b． (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数). 【常用结论】 1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． 2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2). 3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2. 4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2). 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　×　) (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　√　) (3)随机试验的结果与随机变量是对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应．(　√　) (4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．(　√　) 2．已知X的分布列为 X －1 0 1 P 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　) A．　　　　　　　B．4 C．－1 D．1 答案　A 解析　∵E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－， ∴E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝. 3．已知随机变量X满足P(X＝1)＝P(X＝2)＝0.4，P(X＝4)＝0.2，则E(X)＝________，D(X)＝________． 答案　2　1.2 解析　E(X)＝(1＋2)×0.4＋4×0.2＝2， D(X)＝(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.4＋(4－2)2×0.2＝1.2. 4．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为 X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________． 答案　乙 解析　E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9， ∵E(Y)<E(X)，∴乙技术较好． 题型一　分布列的性质 [例1]　 (1)(多选)已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的是(　　) A．a＝0.1　　　　　　B．P(X≤2)＝0.7 C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3 答案　ABD 解析　因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，解得a＝0.1，故A正确； 由分布列知P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B正确； P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，故C错误； P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D正确． (2)离散型随机变量X的概率分布规律为P＝，其中a是常数，则P＝________． 答案　 解析　∵P＝， ∴＋＋＋＝1，解得a＝， ∴P＝P＋P＝×＋×＝. 离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值． (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率． (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．　 　[即时训练] (1)随机变量ξ的分布列如下： ξ －1 0 1 P a b c 其中2b＝a＋c，则P(＝1)等于(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　∵2b＝a＋c，且a＋b＋c＝1， 解得b＝， ∴P(＝1)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝1)＝a＋c＝2b＝.故选D. (2)(2025·洛阳模拟)设随机变量X的分布列为P＝ai，则常数a＝________． 答案　 解析　∵P(X＝i)＝ai(i＝1，2，…，8)，∴a(1＋2＋3＋…＋8)＝36a＝1，解得a＝. 题型二　离散型随机变量的分布列及数字特征 命题点1　求离散型随机变量的分布列及数字特征 [例2]　(1)甲、乙两种零件某次性能测评的分值ξ，η的分布如下，则性能更稳定的零件是______． ξ 8 9 10 P 0.3 0.2 0.5 η 8 9 10 P 0.2 0.4 0.4 答案　乙 解析　由题意知：E＝8×0.3＋9×0.2＋10×0.5＝9.2， E＝8×0.2＋9×0.4＋10×0.4＝9.2， 所以D＝0.3×2＋0.2×2＋0.5×2＝0.76， D＝0.2×2＋0.4×2＋0.4×2＝0.56， 因为D<D，所以乙更稳定． (2)(2025·太原模拟)随机变量X的分布列如表所示，若E＝，则D(3X－2)＝________． X －1 0 1 P a b 答案　5 解析　依题意可得 解得 所以D＝2×＋2×＋2×＝， 所以D＝32D＝9×＝5. 均值、方差的大小比较、最值(范围)问题 关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算，还经常从下列几个角度进行考查：(1)均值、方差及概率的大小比较；(2)均值、方差的增减性分析；(3)均值、方差的最值；(4)解均值、方差的不等式求字母的范围． 典例　(1)设随机变量X的分布列如下(其中0<p<1)，D(X)表示X的方差，则当p从0增大到1时(　　) X 0 1 2 P A.D(X)增大　　　　　B．D(X)减小 C．D(X)先减后增 D．D(X)先增后减 答案　D 解析　由分布列可得E(X)＝0×＋1×＋2×＝＋p， 则D(X)＝＋＋ ＝－p2＋p＋＝－＋， 因为0<p<1，所以D(X)先增后减． (2)(多选)已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X＝0，a，2，根据以往销售经验可得0<a<2，随机变量X的分布列为 X 0 a 2 P b 下列结论正确的是(　　) A．b＝ B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为 C．D(X)min＝ D．当D(X)min最小时，E(X)＝ 答案　ABC　 解析　由题意＋b＋＝1，∴b＝，故选项A正确；该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为C××＝，故选项B正确；随机变量X的均值E(X)＝0×＋a×＋2×＝(a＋1)，可知方差D(X)＝×＋×＋×＝×(12a2－12a＋30)＝×，当a＝时，D(X)min＝，故选项C正确；当D(X)min＝时，E(X)＝×＝，故选项D错误． 命题点2　均值(数学期望)与方差的性质应用 [例3]　设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1，2，5)，a∈R，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是(　　) A．P(0<X<3.5)＝ B．E(3X＋2)＝7 C．D(X)＝2 D．D(3X＋1)＝6 答案　C 解析　因为随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1，2，5)， 由分布列的性质可知，P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝5)＝＋＋＝1，解得a＝1. P(0<X<3.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝，故A不正确； 因为E(X)＝1×＋2×＋5×＝2， 所以E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×2＋2＝8，故B不正确； 由D(X)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(5－2)2＝2，故C正确； 因为D(X)＝2， 所以D(3X＋1)＝9D(X)＝18，故D不正确． 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值． (2)求ξ取每个值的概率． (3)写出ξ的分布列． (4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ).　 　[即时训练] (1)(多选)已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P m 3m 则下列结论正确的有(　　) A．m＝ B．E(X)＝ C．E(2X－1)＝ D．D(X)＝ 答案　ABD 解析　由分布列的性质得＋4m＝1，解得m＝，故A正确； E(X)＝－1×＋0×＋1×＝，故B正确； E(2X－1)＝2E(X)－1＝－，故C不正确； D(X)＝×＋×＋×＝，故D正确． (2)学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为ξ，则D(ξ)＝________． 答案　 解析　由题意知，ξ的所有可能取值为5，4，3，2， P(ξ＝5)＝×＝， P(ξ＝4)＝×＝， P(ξ＝3)＝×＝， P(ξ＝2)＝×＝， 则E(ξ)＝5×＋4×＋3×＋2×＝， D(ξ)＝×＋×＋×＋×＝. 题型三　均值与方差中的决策问题 [例4]　(2025·上海模拟)随着五一黄金周的到来，各大旅游景点热闹非凡，为了解A，B两个旅游景点游客的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得关于A旅游景点的问卷100份，关于B旅游景点的问卷80份．问卷中，对景点的满意度等级划分为：非常满意、满意、一般、不满意，对应分数分别为：4分、3分、2分、1分，数据统计如下： 非常满意 满意 一般 不满意 A景点 50 30 5 15 B景点 35 30 7 8 假设用频率估计概率，且游客对A，B两个旅游景点的满意度评价相互独立． (1)从所有(人数足够多)在A旅游景点的游客中随机抽取2人，从所有(人数足够多)在B旅游景点的游客中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出“非常满意”的概率； (2)根据上述数据，你若旅游，你会选择A，B哪个旅游景点？说明理由． 解　(1)设“这4人中恰有2人给出‘非常满意’的评价”为事件C，由表中数据可知，游客在A景点给出“非常满意”评价的概率为＝， 游客在B景点给出“非常满意”评价的概率为＝， 则P(C)＝＋C·C·＋＝. (2)设一位游客对A景点的满意度评分为X，一位游客对B景点的满意度评分为Y， 由数表中数据得X的分布列为 X 4 3 2 1 P Y的分布列为 Y 4 3 2 1 P 则E(X)＝4×＋3×＋2×＋1×＝3.15， D(X)＝0.852×＋(－0.15)2×＋(－1.15)2×＋(－2.15)2×＝1.127 5， E(Y)＝4×＋3×＋2×＋1×＝3.15， D(Y)＝0.852×＋(－0.15)2×＋(－1.15)2×＋(－2.15)2×＝0.902 5， 显然E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)， 所以选择B景点． 随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．　 　[即时训练] 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分． 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 解　(1)由题意得，X的所有可能取值为0，20，100， P(X＝0)＝1－0.8＝0.2， P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32， P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48， 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4. 当小明先回答B类问题时， 记Y为小明的累计得分， 则Y的所有可能取值为0，80，100， P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4， P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12， P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48， 所以Y的分布列为 Y 0 80 100 P 0.4 0.12 0.48 E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6. 因为57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$