第10章 第5节 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第五节　事件的相互独立性与条件概率、全概率公式 [课标要求]　1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率． 1．相互独立事件 (1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立． 2．条件概率 (1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． (2)两个公式 ①利用古典概型：P(B|A)＝； ②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)． (3)条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设P(A)>0，则 ①P(Ω|A)＝1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． ③设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)．　 3．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai). 【常用结论】 1．如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An).　 2．*贝叶斯公式：设A1，A2，A3…An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪A3…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，3，4…n， 则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1，2，3，4…n. 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　×　) (2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．(　√　) (3)抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A，“第二枚正面朝上”为事件B，则A，B相互独立．(　√　) (4)若事件A1与A2是对立事件，则对任意的事件B⊆Ω，都有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2).(　√　) 2．甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，，则谜题没被破解出的概率为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D．1 答案　A 解析　设“甲独立地破解出谜题”为事件A，“乙独立地破解出谜题”为事件B， 则P(A)＝，P(B)＝，故P()＝，P()＝，所以P()＝×＝， 即谜题没被破解出的概率为. 3．在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品， 所以第二次抽到次品的概率为. 4．某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是 ，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是 .乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，则甲、乙、丙三个家庭中恰好有2个家庭回答正确这道题的概率为________． 答案　 解析　甲、乙、丙三个家庭回答正确的概率分别记为P1，P2，P3， 由题意得P1＝，(1－P3)＝，P3＝，P2P3＝P2·＝，P2＝， 所以甲、乙、丙三个家庭中恰好有2个家庭回答正确这道题的概率是 P＝P1P2(1－P3)＋P1(1－P2)P3＋(1－P1)P2P3＝××＋××＋××＝. 题型一　相互独立事件的概率 命题点1　事件相互独立性的判断 [例1]　(多选)(2025·潍坊模拟)一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则(　　) A．A与D相互独立　 　B．A与B相互独立 C．B与D相互独立 D．A与C相互独立 答案　BCD 解析　不放回依次取出两个，基本事件有12，13，14，23，24，34，21，31，41，32，42，43，共12种， 事件A＝“13，14，23，24，31，41，32，42”； 事件B＝“12，13，14，21，23，24”； 事件C＝“12，21，31，41，32，42”； 事件D＝“12，21，34，43”． 事件AD＝∅，事件AB＝“13，14，23，24”， 事件BD＝“12，21，”， 事件AC＝“31，41，32，42”， 则P＝＝，P＝＝，P＝＝，P＝＝， P＝0，P＝＝，P＝＝，P＝＝， 所以P≠PP，所以A与D不相互独立； P＝PP，所以A与B相互独立； P＝PP，所以B与D相互独立； P＝PP，所以A与C相互独立．故选BCD. 命题点2　相互独立事件的概率 [例2]　甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为． (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率． 解　(1)甲连胜四场的概率为. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛． 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为；乙连胜四场的概率为； 丙上场后连胜三场的概率为. 所以需要进行第五场比赛的概率为 1－－－＝. (3)丙最终获胜，有两种情况： 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为； 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，. 因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝. 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积． (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．　 　[即时训练] 为庆祝教师节，某校举办教师联谊会，甲、乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　设事件A＝“甲猜对”，B＝“乙猜对”，C＝“几何队至少猜对一个成语”， 所以P＝，P＝，则P＝，P＝. 由题意知，事件A，B相互独立，则与B，A与，与也相互独立， 法一：C＝∪∪，且B，A，AB两两互互斥， 则P(C)＝P(B)＋P(A)＋P(AB)＝P()P(B)＋P(A)P()＋P(A)P(B)＝×＋×＋×＝. 法二：事件C的对立事件＝“几何队一个成语也没有猜对”，即＝， 则P(C)＝1－P()＝1－P()＝1－P()P()＝1－×＝.故选B. 题型二　条件概率 命题点1　条件概率 [例3]　(2025·汉中模拟)袋中有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个白球和2个红球，现从袋中不放回地连取两个．在第一次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为(　　) A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6 答案　B 解析　设第一次取得白球为事件A，第二次取得红球为事件B， 所以在第一次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为： P(B|A)＝＝＝＝0.4.故选B. 命题点2　条件概率性质的应用 [例4]　(多选)若、分别为随机事件A、B的对立事件，P>0，P>0，则下列结论正确的是(　　) A．P＋P＝1 B．PP＝PP C．P＋P＝P D．若P＝P，则P＝P 答案　BD 解析　对于A选项，因为P＋P＝＋＝＝＝1，但P与P不一定相等， 故P＋P不一定等于1，A错； 对于B选项，因为PP＝P， PP＝P， 所以PP＝PP，B对； 对于C选项，P＋P＝＋＝＝1，C错； 对于D选项，因为P＝＝P，所以P＝PP， 所以事件A、B独立，故P＝＝P，D对．故选BD. 命题点3　乘法公式的应用 [例5]　已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球(白球与红球大小、形状、质地相同)，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　设“从1号箱中取到红球放入2号箱”为事件A，“从2号箱中取到红球”为事件B. 由题意，知P(A)＝＝，P＝＝，所以P(BA)＝PP(A)＝×＝， 所以两次都取到红球的概率为.故选C. 求条件概率的常用方法 (1)定义法：P(B|A)＝． (2)样本点法：P(B|A)＝． (3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．　 　[即时训练] (1)(多选)设A，B是随机试验的两个事件，P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则(　　) A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B相互独立 C．P(A|B)＝ D．P()＝ 答案　BCD 解析　因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，　 所以P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝＋－＝，故A错误； 因为P(A)P(B)＝×＝＝P(AB)，所以事件A与事件B相互独立，故B正确； 因为P(A|B)＝＝＝，故C正确； 因为P()＝1－P(AB)＝1－＝，故D正确． (2)一个盒子中装有2个红球，8个黑球，从中不放回地任取1个小球，则第二次才取出红球的概率是________． 答案　 解析　由题意知第一次取出的是黑球，设为事件A，第二次取出红球设为事件B， 则P＝＝，则P＝， 所以第二次才取出红球的概率是P＝PP＝×＝. 题型三　全概率公式的应用 [例6]　(1)某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.1.若邻居浇水的概率为P，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.83，则实数P的值为(　　) A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.75 答案　A 解析　记A为事件“盆栽没有枯萎”，W为事件“邻居给盆栽浇水”，由题意可得P(W)＝P，P()＝1－P，P(|)＝0.8，P(|W)＝0.1，由对立事件的概率公式可得P()＝1－P(A)＝1－0.83＝0.17. 由全概率公式可得 P()＝P(W)P(|W)＋P()P(|)＝P×0.1＋(1－P)×0.8＝0.17，解得P＝0.9.故选A. (2)(2025·石嘴山模拟)一堆苹果中大果与小果的比例为9∶1，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为5%，把小果筛选为大果的概率为2%.经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　记事件A1：放入水果分选机的苹果为大果，事件A2：放入水果分选机的苹果为小果， 记事件B：水果分选机筛选的苹果为“大果”， 则P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝， P(B|A2)＝， 由全概率公式可得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋ P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝， P(A1B)＝P(A1)P(B|A1)＝×＝， 因此，P(A1|B)＝＝×＝. 利用全概率公式解题的思路 (1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n). (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai). (3)代入全概率公式计算．　 　[即时训练] (2025·汉中模拟)某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.90，0.10.设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为________． 答案　0.012 解析　设事件A：“取得一件次品”，事件B1：“取得次品是甲厂生产”，B2：“取得次品是乙厂生产”， 由题意可知P＝0.9，P＝0.1， P＝0.01，P＝0.03， 所以由全概率公式知取得次品的概率为 P＝PP＋PP＝0.01×0.90＋0.03×0.10＝0.012. 学科网（北京）股份有限公司 $$